Экспериментальные методы ядерной физики (ЭМЯФ) / Boyko_Fizika_vzaimodeystviya_zaryazhennykh_chastits_i_gamma_2023

Глава 2

Рис. 2.10. Ионизационные и радиационные потери энергии электронов на 1 г/см2вещества в воздухе (1) и свинце (2)

При релятивистских скоростях электромагнитное поле, оставаясь симметричным в системе покоя частицы, в лабораторной системе вытягивается в поперечной плоскости. При скорости частицы, приближающейся к скорости света, ее электромагнитное поле стремится к поперечному полю фотона. В результате увеличивается эффективная область вещества, с атомами которой взаимодействует электрон. Это приводит к логарифмическому росту ( dE/dx).

Далее ограничение логарифмического роста связано с поляризацией атомов среды вблизи траектории частицы, которая приводит к экранировке (уменьшению) электромагнитного поля, действующего на электроны далеких атомов. Это и есть эффект плотности, описываемый членом в формуле ионизационных потерь.

Пробег электронов в веществе

Теперь рассмотрим вопрос о пробеге электронов в веществе. Все рассуждения, которые были приведены ранее при рассмотрении пробега тяжелой заряженной частицы в веществе, будут справедливы и в случае с электроном. Однако в отличие от тяжелых заряженных частиц электроны имеют малую массу покоя, и это приводит к относительно большому изменению импульса при каждом столкновении, что вызывает заметное изменение

50

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

направления движения электрона. Если рассматривать большие энергии электронов, то их траектория будет близка к линейной, так же как и для тяжелой заряженной частицы. Однако при уменьшении энергии электрон из-за рассеяния начинает двигаться по извилистой кривой (Рис. 2.11).

Рис. 2.11. Рассчитанная методом Монте-Карло траектория движения электронов в пучке

при ускоряющем напряжении 5 кэВ [5]

Вотличие от тяжелых заряженных частиц, электрон в одном соударении может потерять значительную часть своей энергии (максимально – половину) и рассеяться на большой угол. Это означает, что флуктуации в длине пробега электронов значительно больше, чем для тяжелых заряженных частиц, и путь электрона в среде оказывается не прямолинейным, как для тяжелых заряженных частиц. Когда быстрый электрон входит в вещество, то вначале происходит рассеяние на малые углы (рассеяние на большие углы маловероятно).

Врезультате ионизационных и радиационных потерь энергия электрона уменьшается, и все большее значение приобретает

51

Глава 2

рассеяние на большие углы. Средний угол отклонения электронов возрастает с увеличением пройденного пути в веществе. После большого числа актов рассеяния на большие углы перемещение электрона можно рассматривать как диффузию.

Рассмотрим вопрос о пути, проходимом электроном в веществе. Для одинаковой геометрии облучения кривая ослабления для электронов отличается от кривой для тяжелых частиц (Рис.

2.12).

Рис. 2.12. Зависимость числа моноэнергетических частиц, прошедших поглотитель, от его толщины:

а) альфа-частиц; б) электронов [6]

Из-за сильного рассеяния электронов отсутствует горизонтальный участок на кривой ослабления. Глубина проникновения в образец для большинства электронов значительно меньше среднего пути.

Однозначное определение границы кривой ослабления из экспериментальных данных затруднительно, поэтому обычно экстраполируют спадающую линейную часть функции к нулю. Относительный разброс пробегов и параметр разброса Rэ− Rср для электронов значительно больше, чем для других частиц. Вводят еще одно понятие для определения пробега – максимальный пробег Rmax. Rmax – это минимальная толщина вещества, в которой задерживаются все электроны (Рис. 2.12). Средним пробегом называется слой вещества, который проходят электроны в среднем.

52

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

Теоретически рассчитать максимальный пробег Rmax очень трудно. Поэтому для оценок обычно пользуются полуэмпирическими формулами. Эмпирические формулы приводят для найденного экстраполированного пробега.

Оказалось, что экстраполированная длина пробега Rэ линейно связана с энергией электронов. Например, для оценки пробега электронов в алюминии известны следующие эмпирические формулы:

R = 0,407 Ee1,38

R = 0,562 Ee 0,094 R = 0,542 Ee 0,133 R = 0,246 Ee 0,106

Удельные радиационные потери энергии электронов. Тормозное излучение

При пролете заряженной частицы рядом с ядром она взаимодействует с электростатическим полем атомного ядра и атомных электронов. В результате ее скорость меняется, частица приобретает некоторое ускорение, что, согласно классической электродинамике, сопровождается электромагнитным излучением. При этом энергия частицы уменьшается на некоторое значение и передается возникающему кванту электромагнитного излучения. Это электромагнитное излучение называется тормозным, а потери энергии – радиационными.

Основные закономерности тормозного излучения можно понять на основе классической электродинамики.

Пусть частица с массой m, зарядом ze и скоростью движется мимо ядра с зарядом Ze и массой М. При кулоновском рассеянии на ядре частица претерпевает отклонение (Рис. 2.13) и, следовательно, получает ускорение d /dt. Ускорение заряженной частицы, которое она испытывает в кулоновском поле ядра, равно:

d F zZe2 . dt m b2m

53

Глава 2

Рис. 2.13. Схема взаимодействия заряженной частицы

сэлектростатическим полем атомного ядра

Втечение времени dt частица излучает энергию, пропорциональную квадрату ускорения:

Из этого соотношения следует:

1.Потери энергии на излучение обратно пропорциональны квадрату массы частицы.

2.Излучаемая энергия прямо пропорциональна квадрату заряда рассеивающего центра.

Это значит, что тяжелые частицы будут излучать значительно меньшую энергию, чем легкие. Для электронов больших энергий радиационные потери энергии на тормозное излучение составляют значительную долю общих потерь энергии.

Наиболее значимы радиационные потери в тяжелых веществах.

Полное рассмотрение потерь энергии на излучение электроном было проведено в 1934 г. Бете и Гайтлером. Ими было получено выражение для вероятности излучения электроном с энергией Е фотона с энергией Е′ в интервале (E′, E′+dE′) при прохождении слоя вещества (Z, A, ρ) толщиной 1 см. Общий вид формулы имеет достаточно сложный вид.

Для случая, когда энергия налетающего электрона много больше его энергии покоя ( Е mес2 ), вероятность излучения фотона будет определяться следующим выражением:

54

Глава 2

Величины функций, входящих в формулу вероятности излучения фотона электроном, были определены Бете и Гайтлером в зависимости от эффективного расстояния электрона от ядра.

Для случая полного экранирования формула Бете – Гайтлера примет более простой вид, и для вероятности излучения электроном с энергией E фотона с энергией E' в интервале (E', E' + dE') в поле атомных ядер с зарядом Ze на пути в 1 см этого вещества можно записать следующее выражение:

we (E, E ) 4αre2nZ 2 ln 183 Z 1/3 dEE .

При прохождении вблизи атома электрон будет испытывать торможение не только в поле ядра, но и в поле атомных электронов. В этом случае в формуле для вероятности излучения фотона электроном с энергией Е вместо Z2 будет произведение Z (Z+1), которое и учитывает тормозное излучение в поле атомных электронов. Тогда полная вероятность излучения фотона электроном с энергией Е в поле ядра и в поле атомных электронов равна:

we (E, E ) 4αre2nZ (Z 1)ln 183 Z 1/3 dEE .

В этой формуле весь коэффициент при Е, имеющий размер-

здесь t0 – это радиационная единица длины. Размерность

[t0] = см.

Величина радиационной единицы длины не зависит от энергии налетающего электрона E и энергии излученного фотона E', она зависит от рода вещества и его плотности. Часто в справочниках приводятся радиационные единицы длины в г/см2.

Из формулы Бете – Гайтлера для случая полного экранирования можно получить следующие сведения:

1. Энергетический спектр тормозных фотонов, т. е. распределение излученных фотонов по энергиям (Рис. 2.14), является

56

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

сплошным и имеет вид гиперболы (we(E, E') ~ 1/E' ), т. е. на единице пути излучается либо много фотонов малой энергии, либо мало фотонов большой энергии.

Рис. 2.14. Энергетический спектр тормозных фотонов

Возникает большой разброс электронов по энергиям после первого же акта торможения их в веществе − электрон может передать значительную часть своей энергии фотону и сразу затормозиться. Таким образом, при торможении электрон либо тормозится сразу, образовав фотон большой энергии, либо постепенно теряет энергию, создавая много фотонов. Это обстоятельство приводит к сильным флуктуациям в радиационных потерях энергии.

В этом проявляется различие между ионизационными потерями и потерями энергии на тормозное излучение. Энергия, израсходованная на ионизацию, передается атомным электронам, как правило, малыми порциями. При тормозном излучении фотон имеет большую вероятность унести энергию, сравнимую

сэнергией электрона.

2.Полную излучаемую электроном энергию на единице пути можно выразить следующим образом:

Отсюда следует, что полная излучаемая на единице пути энергия пропорциональна энергии электрона E.

57

Глава 2

ине зависит от энергии излучающего электрона.

4.Проинтегрировав дифференциальное уравнение dE/E = dx/t0, получаем закон убывания энергии электрона за счет тормозного излучения при прохождении слоя вещества толщиной x:

EE0exp tx ,

0

где E0 − начальная энергия электрона.

Отсюда становится понятным смысл радиационной единицы длины – это расстояние t0, на котором энергия электрона в среднем за счет тормозного излучения уменьшается в e раз.

Угловое распределение фотонов тормозного излучения существенно зависит от энергии образующих их электронов. В нерелятивистском случае фотоны могут испускаться как вперед, так и назад. Их угловое распределение пропорционально cos2θ.

Чем выше энергия электронов E, тем больше фотонов будет излучаться по направлению движения электронов. В ультрареля-

тивистском случае ( E mec2 ) фотоны тормозного излучения сильно коллимированы в направлении движения электронов.

Ниже приведены формулы для вычисления потерь энергии на излучение на единице пути при разных энергиях электронов.

58

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

Здесь n – концентрация атомов, Z – заряд ядра, me – масса электрона, meс2 = 0,511 МэВ – энергия покоя электрона, Е – кинетическая энергия налетающего электрона, re = e2/mec2 − классический радиус электрона.

Из этих формул следует, что потери энергии на излучение пропорциональны квадрату заряда ядер среды, концентрации атомов и энергии электронов. Таким образом, в отличие от удельных ионизационных потерь, пропорциональных заряду ядер среды и концентрации атомов, радиационные потери электронов сильнее зависят от энергии электрона. При больших энергиях электронов потери на излучение являются гораздо более существенными, чем ионизационные потери (Рис. 2.15).

Рис. 2.15. Зависимость потерь энергии на излучение (кривая 1) и ионизацию (кривая 2) от энергии частицы

Количественное сравнение потерь энергии электронами на ионизацию и тормозное излучение приводит к следующему соотношению:

где const ≈ 800 МэВ, если энергию электрона E измерять в МэВ. Из этой формулы следует, что радиационные потери превы-

Екр = const/Z = 800/Z МэВ (Рис. 2.15). Она разная для разных веществ.

59