Экспериментальные методы ядерной физики (ЭМЯФ) / Boyko_Fizika_vzaimodeystviya_zaryazhennykh_chastits_i_gamma_2023

Глава 2

передается электрону при неупругом соударении, то есть энергией, близкой к энергии связи этого электрона с ядром. Так как энергия связи разных электронов атома различна, то берется

средний потенциал ионизации I , который является некоторой усредненной характеристикой энергии связи электронов в атомах данного элемента (A, Z).

Следовательно, в качестве bmax выбираем такое значение, при котором электрону передается энергия, равная среднему потенциалу ионизации: Emin I :

Это выражение для удельных ионизационных потерь, полученное на основе классических представлений, называется формулой Бора. В более уточненном варианте формула Бора имеет вид:

Учет релятивистских эффектов и эффект плотности. Формула Бете – Блоха

Позднее Г.А. Бете и Ф. Блохом были вычислены и получены величины bmin и bmax. Кроме того, Ф. Блох с помощью модели Томаса – Ферми пришел к следующему выражению для среднего потенциала ионизации: I 13,5 эВ .

Точный подсчет с учетом квантовых и релятивистских эффектов дает следующую формулу (формула Бете – Блоха) для вы-

30

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

числения удельных ионизационных потерь dЕ/dx для тяжелой заряженной частицы, если скорость заряженной частицы много больше средней скорости электронов в атоме:

Здесь I – средний ионизационный потенциал атомов поглощающего вещества, δ и U – члены, учитывающие релятивистские эффект поляризации среды (эффект плотности) и энергию связи электронов соответственно.

В общем случае удельные потери энергии на единице пути dE /dx являются довольно сложной функцией скорости (и, следовательно, кинетической энергии) частицы. На рисунке 2.3 схематически представлена зависимость ионизационных потерь энергии от энергии тяжелых частиц, где по оси абсцисс отложена кинетическая энергия в единицах своей собственной энергии mc2, а по оси ординат – средние удельные потери энергии этой частицей на ионизацию среды.

Рис. 2.3. Удельные ионизационные потери энергии dE/dx в зависимости от энергии частиц

31

Глава 2

На первом (I) участке кривой наблюдается резкий спад удельных ионизационных потерь с уменьшением энергии частицы. Формула для ионизационных потерь была выведена в предположении, что все электроны атомов среды при взаимодействии с частицей могут считаться свободными. На самом деле при малых энергиях частицы необходимо учесть два эффекта – связь электронов в атомах и эффект перезарядки. Первый заключается в том, что по мере уменьшения скорости частицы она не сможет передать энергию сначала электронам K-оболочки атома (с наибольшей энергией связи), затем L-оболочки и т. д.

Следовательно, по мере уменьшения скорости частицы K-электроны, затем L-электроны и т. д. должны быть исключены при вычислении плотности электронов в среде, т. е. число их как бы уменьшится, и, соответственно, потери энергии также уменьшатся. Уменьшение потерь энергии частицей при малых энергиях в формуле Бете – Блоха (2.8) учитывается последним членом в квадратных скобках, так называемая U-поправка. Эта поправка впервые была введена Бете и является суммой слагаемых, учитывающих различные оболочки атома. Величина всей поправки U определяется в основном поправкой для K-оболочки. Чем больше Z среды, тем больше энергия связи и тем выше граничная энергия частицы, при которой следует учитывать этот эффект.

Второй эффект обусловлен тем, что при скоростях пролетающей частицы порядка скоростей орбитального движения электронов она захватывает электроны. В дальнейшем этот электрон может быть потерян частицей, вновь захвачен и т. д. Эффективный заряд частицы будет определяться соотношением между вероятностью захвата электрона и вероятностью его потери. Поскольку удельные ионизационные потери пропорциональны квадрату теперь уже эффективного заряда частицы, они начинают резко уменьшаться по мере уменьшения скорости частицы и в связи с перезарядкой её эффективного заряда.

На втором (II) участке зависимость удельных ионизационных потерь определяется членом, стоящим перед квадратными скобками в формуле Бета – Блоха (2.8), и, соответственно, обратно пропорциональна квадрату скорости частицы. Этот уча-

32

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

сток соответствует случаю быстрой (но нерелятивистской) частицы, когда все электроны атомов могут считаться свободными.

Такая зависимость dE / dx ~ 1 / 2 имеет место вплоть до реляти-

вистских скоростей ≈ c.

На третьем (III) участке в результате возрастания вклада релятивистских эффектов происходит увеличение ионизационных потерь. Этот рост потерь учитывается логарифмическим чле-

1/(1 − β2) → ∞. Поскольку этот множитель стоит под знаком логарифма, то наблюдается медленное возрастание удельных ионизационных потерь с увеличением энергии, которое обычно называют релятивистским подъемом ионизации. Логарифмический подъем начинается после того, как dE/dx достигнет минимальной величины при скорости, близкой к скорости света. Частично этот подъем происходит за счет близких столкновений, так как увеличивается максимальная передаваемая энергия ∆Emax, а частично за счет далеких столкновений из-за релятивистского увеличения bmax.

На четвертом (VI) участке возникает так называемый эффект поляризации среды (эффект плотности). Эффект плотности связан с тем, что поле летящей частицы поляризует атомы среды. В результате поляризации многих атомов возникает поле диполей, направленное в сторону, противоположную полю летящей частицы. Оно ослабляет поле частицы и как бы экранирует от него далеко расположенные электроны. В формуле Бете – Блоха (2.8) эффект плотности учитывается членом δ. Название «эффект плотности» объясняется тем, что эффект поляризации прямо пропорционален плотности электронов среды, а плотность электронов зависит от плотности вещества :

ne = Zn = (Z/A) ·NA· .

Иллюстрацией зависимости удельных ионизационных потерь, описываемых формулой Бете – Блоха (2.8), от расстояния, пройденного заряженной частицей в веществе, является кривая Брэгга (рисунок 2.4).

33

Глава 2

Рис. 2.4. График зависимости удельных ионизационных потерь от расстояния, пройденного заряженными частицами

в веществе

Из приведенного графика видно возрастание удельной ионизации dE/dx к концу пробега заряженных частиц (то есть при уменьшении скорости частиц и особенно перед их остановкой в веществе), причем эта зависимость имеет в конце пути характерный максимум, называющийся пиком Брэгга. Эту особенность проникновения тяжелых заряженных частиц используют, например, в протонной терапии, выбирая энергию терапевтического пучка так, чтобы максимум удельной ионизации соответствовал глубине залегания опухоли, минимально облучая здоровые клетки, расположенные ближе к поверхности.

Зависимость ионизационных потерь от свойств частицы и среды

Важный результат, получаемый из формулы (2.8), заключается в том, что зависимость ионизационных потерь (или тормозной способности) от свойств частицы и вещества в широком интервале энергий в основном определяется выражением, стоящим

34

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

перед логарифмом, так как логарифмический множитель – медленно меняющаяся функция скорости частицы:

dEdx ~ ne z2φ( ).

Выделим следующие очевидные закономерности:

1.Удельные потери пропорциональны квадрату заряда частицы. Например, при равной скорости, потери энергии α-частиц на ионизацию в 4 раза больше, чем потери энергии протонов.

2.Функция скорости ( ) для всех быстрых нерелятивистских частиц одинакова и обратно пропорциональна квадрату ско-

рости ( ) ~ 1/ 2.

3.Удельные потери энергии не зависят от массы частицы, так как взаимодействуют электрические заряды частиц, а не их массы.

Однако, если сопоставлять потери энергии на ионизацию для различных частиц с одинаковой кинетической энергией, то

вкоэффициент перед логарифмом войдет масса частицы, поскольку в нерелятивистском случае ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы (область II на графике удельных ионизационных потерь):

dEdx ~ 12 ~ mE .

Следовательно, частицы с одинаковой кинетической энергией теряют ее на ионизацию тем больше, чем больше их масса.

Например, на единице своего пути дейтрон теряет на ионизацию энергию в 2 раза большую, чем протон с такой же кинетической энергией.

Простой вид зависимости удельных ионизационных потерь от параметров движущейся частицы и среды:

dEdx ~ ne z2φ( ),

позволяет легко пересчитывать dЕ/dx на другие частицы и среды.

Предположим, что в одной и той же среде (ne= const) движутся две частицы с одинаковым зарядом (z1 = z2), например протон и дейтрон. Тогда в местах с равной скоростью обе частицы

35

Глава 2

будут иметь одинаковые значения удельных ионизационных потерь dЕ/dx:

Но при одинаковых скоростях частиц их энергии относятся как их массы. Следовательно, для рассматриваемого примера равенство удельных ионизационных потерь можно записать в следующем виде:

То есть ионизационные потери при движении дейтрона определенной энергии будут соответствовать ионизационным потерям протона с половинной энергией.

Аналогично можно подсчитать величину удельных ионизационных потерь для частицы с другим зарядом z (заряд не равен 1). При этом надо учитывать, что частица с отличным от единицы зарядом имеет в z2 большую величину потерь энергии на ионизацию, чем движущаяся с той же скоростью частица с зарядом, равным 1. Например, удельные ионизационные потери для -частицы и протона связаны следующим соотношением:

Так как dЕ/dx – это линейная функция концентрации электронов в среде пе (2.8), то можно легко оценить ионизационные потери частицы для разных сред.

Как известно, концентрация электронов в среде в Z раз больше концентрации атомов: nе = nат Z (Z – заряд ядер атомов среды, nат – концентрация ядер атомов среды). Но nат имеет близкие значения для всех веществ, и, следовательно, при пересчете на другую среду надо вводить множитель Z2/Z1,гдe Z1 и Z2 заряды ядер первой и второй сред. Так, например, при прочих равных условиях, когда скорость и заряд частицы постоянны

36

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

(z = const, = const), ионизационные потери частицы, движущейся

всвинце, будут превышать ионизационные потери при движении

вуглероде приблизительно в 14 раз: ZPb /ZC ≈ 82/6 ≈ 14.

Если плотность среды [г/см3], то плотность электронов

в ней будет ne nат Z ρNA (Z / A) , здесь NA – число Авогадро, Z и A – заряд и атомный вес среды.

Учитывая, что отношение Z/A меняется от вещества к веществу в довольно узких пределах (0,5 для гелия и 0,4 для свинца), получаем, что тормозная способность вещества пропорциональна в основном его плотности:

dE

dx ~ ne ~ ρ.

Таким образом, удельные ионизационные потери dЕ/dx сильно меняются при переходе от среды к среде. Поэтому вводят величину удельных ионизационных потерь, отнесенную не к единице длины х [см], а к массовой единице длины х ( – плотность среды), выражающей толщину в г/см2. Это так называемая массовая тормозная способность.

В массовых единицах формула Бете – Блоха примет следующий вид:

Так как Z/A 0,5, а I(Z, A) под знаком логарифма, то оказывается, что при расчете на 1 г/см2 ионизационные потери во всех веществах приблизительно одинаковы, что более удобно для быстрых оценочных расчетов.

Если среда содержит атомы различных элементов Zi, Аi и ρi, то плотность электронов в среде будет зависеть от всех этих величин и тормозная способность будет линейной комбинацией тормозных способностей этих элементов (правило Брэгга). И хотя потенциал ионизации I(Z, A) стоит под знаком логарифма и слабо влияет на величину ионизационных потерь, для точных расчетов его также необходимо учитывать. Тогда в формуле (2.9)

37

Глава 2

для средних ионизационных потерь в г/см2 вместо Z/A и ln I можно поставить следующие выражения:

i

Здесь ni – число атомов элемента с атомным номером Zi, а Ii – его средний потенциал ионизации.

Пробег тяжелых заряженных частиц. Связь пробега с энергией

Полный путь, проходимый заряженной частицей в веществе, называется пробегом. Обычно пробег обозначается латинской буквой R и измеряется в единицах длины (м, см, мкм) или в массовых единицах (г/см2) (длина, умноженная на плотность).

Длина пробега частицы зависит от ее заряда, массы,

начальной энергии, а также от свойств среды, в которой ча-

стица движется. По измеренному пробегу частицы в среде можно определять ее энергию или, зная зависимость величины пробега от энергии, определять массу частицы.

Расстояние, на котором частица теряет всю свою энергию, называется полным максимальным пробегом. Теоретически полный пробег R тяжелой заряженной частицы с начальной скоростью 0 (начальной энергией Е0), можно получить с помощью формулы Бете – Блоха.

Для данной среды и для частицы с зарядом ze величина удельных потерь является функцией только скорости, а у частицы с известной массой функцией только кинетической энер-

гии f E dEdx .

Для нерелятивистских энергий, когда скорость частицы много меньше скорости света ( c ) dE = d (M 2/2) = M d , пробег можно представить в таком виде:

38

Взаимодействие заряженных частиц с веществом

Здесь NA – число Авогадро, nат – концентрация атомов в веществе, L( ) – логарифмическая функция в формуле Бета – Блоха.

Пренебрегая слабой зависимостью тормозной способности от логарифмической функции, получаем соотношение для пробега заряженной частицы в веществе:

Из этого соотношения следует, что:

1) При равных скоростях пробеги заряженных частиц в веществе пропорциональны массам этих частиц и обратно пропорциональны квадратам зарядов:

R2 m2 z12 . R1 z22 m1

2) При равных энергиях частиц их пробеги обратно пропорциональны массам:

R2 z12m1 .

R1 z22m2

3)Если известен пробег R1(E1) в веществе для одного сорта частиц (z1, m1), то можно получить величину пробега для другого сорта частиц (z2, m2) в том же веществе.

4)Пробеги обратно пропорциональны плотности среды (R ~ 1/ ). Удобно измерять пробеги в массовых единицах длины

39