ТЭП-Курс_лекций_04-2006

симметричными, и поэтому RA RB RC RS - активное сопротивление статорной обмотки,

Ra Rb Rc RR - активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепление обмоток с токами, протекающими по обмоткам:

Для статора:

Последняя система уравнений для определения потокосцеплений показывает, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; и эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (48.3) и (48.4) LAA , LBB , LCC , Laa , Lbb , Lcc являются

собственными индуктивностями соответствующих обмоток, все остальные - взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона - закон равновесия моментов на валу машины:

J d m M M H , (49) dt

где J - момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора, кГМ2;

m - угловая скорость вала машины, 1rad ;

M H - момент рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае, он может быть функцией скорости и угла поворота, Нм.

Наконец, четверым и последним законом, лежащим в основе анализа машины, является закон, сформулированный Ленцем - правило левой руки. Этот закон связывает векторные величины момента, потокосцепления и тока:

M k( i) (50)

Следует сразу подчеркнуть, что, несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (48) - (50) для исследования машины встречает серьезные трудности:

1)в уравнениях (49) и (50) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (48) - ска-

лярные;

2)количество взаимосвязанных уравнений равно 14, а количество коэффициентов - 4;

3)коэффициенты взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора в уравнениях (48.3) и (48.4) является нелинейными, так как в них перемножаются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного тока, удивительно удачным и изящным оказался метод пространственного вектора, который позволяет существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений. Этот метод позволяет связать уравнения (48) - (50) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряжения, тока, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором. Это математическое преобразование имеет вид (например, для тока статора):

2

где a, a - векторы, учитывающие пространственное смещение обмоток,

52

писаны в неподвижной системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия ЭДС для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся с произвольной скоростью k . В этом случае уравнения (52) преобразуются к виду:

где p m ,

p - число пар полюсов в машине.

В уравнениях (53) все коэффициен6ты являются величинам постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть определены по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.

Шаг третий. Этот шаг связан с определением момента. Момент в уравнении (50) является векторным произведением любой пары векторов. Из уравнения (53) следует, что таких пар мо-

жет быть шесть (iS ,iR ), ( S , R ), (iS , S ), (iS , R ), (iR , S ), (iS , S ). Часто в рассмотрение

вводится потокосцепление взаимной индукции m Lm (iS iR ). В том случае появляется ещё четыре возможности представления электромагнитного момента машины через следующие па-

ры: (iS , m ), (iR , m ), ( S , m ), ( R , m ). После выбора той или иной пары уравнение момента приобретает определённости, а количество уравнений в системе (53) сокращается до двух. Кроме того, в уравнениях (49) и (50) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями. Это является следствием того, что пространственные векторы токов и потокосцепления расположены в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой скорости совпадают с осью. В качестве примера покажем запись уравнений момента через некоторые пары переменных состояния машины.

Шаг четвертый. На этом этапе уравнения (49), (53) и (54) приводят к безразмерным (относительным) величинам. В качестве основных базовых величин набираются амплитудные номинальные значения фазного напряжения и тока, а также номинальные значения угловой частоты:

В дальнейшем используются только в относительные величины. Обобщенная система уравнений для описания асинхронной машины принимает вид:

54

В этих уравнениях все переменные относительные, полученные как результат деления реальных значений на базовые, все коэффициенты также безразмерные, полученные аналогично. Переменные и параметры в относительных единицах:

u u , i i , - относительные электромагнитные переменные состояния;

чин сокращает время моделирования и позволяет устранить её многие проблемы.

Рассмотрим предварительно вопросы преобразования координат, а затем модели асинхронной машины в различных системах координат и их основные характеристики.

2.5.6 Преобразователи координат и фаз

Математическая основа преобразования координат поясняется на рис.61

Рис.61 Преобразование координат

55

В неподвижной системе координат ( , ) вектор тока (напряжения, потокосцепления) может быть представлен в алгебраической и показательной форме:

iS.H i ji Imej i

Аналогично, в системе вращающихся координат (x, y), тот же вектор может быть представлен в виде:

iS.Вр ix jiу Imej( i K t) iS.He j K t

Отсюда легко получить уравнение перехода от неподвижной системы координат к вращающейся, и наоборот:

iS.Вр iS.H e j K t , iK i Cos K t i Sin K t, iy i Cos K t i Sin K t

При построении реальных систем электропривода переменного тока, как асинхронных, так и синхронных, практически всегда в систему управления включаются преобразователи координат. Это обусловлено тем, что реальные токи в обмотках статора - это токи в неподвижной системе координат.

Поэтому, как правило, современные электроприводы переменные тока содержат преобразователи обоих типов. Кроме того, они содержат преобразователи фаз 2/3 и 3/2. Первые преобразовывают токи i и i в фазные токи iA , iB , iC , в соответствии с выражениями:

В итоге, функциональная схема электропривода приобретает вид, представленный на рис.62.

Рис.62 Функциональная схема асинхронного электропривода

В блоке регуляторов на основе задающего сигнала u и сигналов из каналов обратной связи, переменными состояниями вырабатываются сигналы управления во вращающейся системе координат, а также скорость вращения системы координат ( k ). Затем эти сигналы переводятся

в систему неподвижных координат, которые управляют инвертором. Используя вращающуюся систему координат при анализе и синтезе асинхронного электропривода, удается часть схемы, обведённую жирной линией на рис.62, описать одной системой уравнений (55) . это описание достаточно точно, когда инвертор управляется синусоидальным ШИМ. В этом случае моделирование не встречает больших затруднений.

2.5.7 Асинхронная машина с короткозамкнутым ротором

56

Схема асинхронной машины с короткозамкнутым ротором (АД с КЗР) получается из обобщённой схемы (рис.59), если обмотки ротора замкнуть накоротко. При этом, в общих

Для динамических систем необходимо учитывать переходные электромагнитные процессы в машине. В этом случае, в качестве пары переменных, описывающих машину, оставим

пространственные векторы тока статора и потокосцепления ротора (iS , R ). Тогда система уравнений (57) после соответствующих преобразований примет вид:

.

где r , xS , kR , TR - безразмерные коэффициенты, r (rS kR2rR ),

x. S (xS xm2 ), xR

kR xm , xR

TR xR . rR

Для того чтобы лучше понять физические процессы, происходящие в АД с КЗР, исследуем машину в различных системах координат, сравним результаты и сделаем некоторые вводы, необходимые при построении электропривода на базе этой машины. Заметим, что для представления пространственных векторов используется комплексная плоскость.

2.5.7.1Анализ АД с КЗР в неподвижной системе координат

Внеподвижной комплексной системе координат ( k 0, k 0), вещественная ось обо-

значается через , а мнимая через . Пространственные векторы, в этом случае, раскладыва-

ются по осям: uS uS juS , iS iS jiS , R R j R . Подставим эти значения в систему уравнений (57), и приравняем отдельно вещественные и мнимые части, получим:

57

Система уравнений (59) в операторной форме примет вид:

2.5.7.2Анализ АД с КЗР во вращающейся системе координат

Всистеме координат с вещественной осью xи мнимой осью y , вращающейся с относи-

тельной скоростью k , система уравнений (58) в операторной форме запишется в виде: