Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

28. ∫∫∫ x 2 y2 z 2 dx dy dz,

29. ∫∫∫(x + y − 2z) dx dy dz,

30. ∫∫∫	dx dy dz
		,


v	x 2 + y2 + z 2

x 2 + y2 = 9, z = 0,

v :

x + y + z = 5;

x = 0, y = 0, z = 0, v : z = 1, x + y = 4;

	2	+ y		2	+ z	2	= 9,
x		+ y			+ z		= 9,
v :
v :			x		2 + y2 .
z =			x		2 + y2 .

Задание №9

Найти объем тела, заданного ограничивающими их поверхностями, с

помощью тройного интеграла: V = ∫∫∫ dx dy dz

x 2 + y2 = 4, y + z = 2, z = 0;

z = 9 − y2 , x 2 + y2 = 9, z = 0;

z = 2 − x − y, z = 0, x 2 + y2 = 1;

z = y2 , x 2 + y2 = 9, z = 0;

z = y, z = 0, x = 0, x = 4, y =

;

25 − x 2

z = x 2 + y2 , z =

;

x 2 + y2

( )

x 2

z 2

= 1;

a 2

z = 6 − x 2 − y2 , z =

;

x 2 + y2

x 2 + y2 = 4, z 2 = 4 − y;

10. z = x 2 + y2 ,

y = x 2 , y = 1, z = 0;

( ) Сделать переход в сферическую систему координат по формулам:

= r× sin q × cos j;

= r× sin q × sin j;

= r× cos q;

= r2 × sin q a b c.

11.

z = 0, z = 1 − y2 , x = y2 , x = 2 y2 + 1;

12.

x 2

= 2 y, z = 4 − y2 ,

x = 0, z = 0;

13.

x 2

+ y2

= 2,

x 2 + z 2

= 2, x = 0, y = 0,

z = 0;

14.

2 − z = x 2 + y2 , z 2 = x 2 + y2 ;

15.

4z = x 2

+ y2 ,

x 2 + y2 = 2 x, x = 0, y = 0, z = 0;

16.

x 2

+ y2

= 6 − 2 z, z = x 2 + y2 ;

μ = μ(x, y, z)−

17. x 2 + y2 - z = 1, z = 1;

18. x 2 + y2 + z 2 = 25, z 2 = x 2 + y2 , z ³ 0, y ³ 0, x ³ 0;

19.z = 16 - y2 , z = 8 + y2 , x = 1, x = 2;

20.z = 3 x 2 + y2 , z = 10 - x 2 - y2 ;

21.	x 2	+ y2	= y,	x 2 + y	2 = 2 y,	z =	x 2 + y2 ,	z = 0;
22.	z = x 2 + y2 ,			z = 0,	x 2 + y2	= 4;
23.	z = 1 - y2 , y2 = x, x = 2 y2 +1,						z = 0;
24.	z = x 2 + y2 ,			z = x 2 + 2 y2 ,		y = x, y = 2 x,		x = 1;
25.	x 2	+ y2	+ z 2	= 1, z 2	= y2 + x 2 ,		x = 0, y = 0, z = 0;
26.	y2	+ z 2	= 3 x; x 2 + y2 + z 2			= 4 (внутренний объем по отношению

кпараболоиду);

27.z = 6 - x 2 - y2 , z = x 2 + y2 ;

28.	z = 4 - y2 , z = 2 + y2 , x = 1, x = -1;

29.	z = 64 - x 2 - y2 ,	z = 1, x 2 + y2 = 60;
30.	x 2 + y2 + z 2 = 4,	z 2 = x 2 + y2	(вне конуса).

Задание №10

Тело задано ограничивающими его поверхностями, плотность массы тела. Найти центр тяжести тела с помощью тройного интеграла


1.	z 2 = x 2 + y2 , x = 5, y = 5, z = 0, m = 1;
2.	2x + 3y -12 = 0, x = 0,			y = 0, z = 0, z =			1	y2 , m = 1;

				2
3.	x + y = 1, z = x 2 + y2 , x = 0, y = 0, z = 0, m = 1;
4.	0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, μ (x, y, z) = x + y + z;
5.	z = 9 - x 2 - y2 , z = 0, m = 1;
6.	x 2 = 2 y, y + z = 1, 2y + z = 2, m = y;
7.	x 2 + y2 = 4, 0 £ z £ 3, m(x, y, z) = x 2 + y2 ;
8.	x 2 + y2 + z 2 = 3, x 2 + y2 = 2 z, m = 1;
	z =		, z ³ 0, m(x, y, z) =						;
9.		4 - x 2 - y2				x 2 + y2 + z 2

10. x 2 + y2 + z 2 = 16, z =					x 2 + y2 , m = 1;

11.

x + y + z = 1,

x = 0,

y = 0,

z = 0,

μ = y;

12.

x ³ 0, y ³ 0,

z ³ 0,

x + y + z = 1, m = 1;

13.

x 2 + y2 + z 2

= 1, 3z = x 2 + y2 ,

z ³ 0,

m = 1;

14.

y = 3 - x 2 - z 2 , y = 0,

y ³ 0,

m = 1;

15.

x 2 + y2

= R 2 ,

x 2 + y2

= r 2 ,

0 £ z £ 3,

m = 1;

16.

x = z 2 + y2 ,

y + z = a,

x = 0,

y = 0, z = 0, m = 1;

17.

x 2 + y2 + z 2 £ 2Rz,

m(x y z) =

;

x 2 + y2 + z 2

18.

x 2 + y2 - z 2

= 0,

z = h, m(x, y, z) = z;

19.

x 2 + y2

= z 2 ,

x 2 + y2

= 1,

y ³ 0, z ³ 0,

m = x 2 + y2 ;

20.

x 2 + y2

= z 2 ,

x 2 + y2

= z,

m(x, y, z) = x z;

21.

x 2 + y2 + z 2

= 1,

x 2 + y2

= z 2 ,

x = 0,

y = 0, z ³ 0,

m = z;

22.

x 2 + y2 + z 2

= 4,

x 2 + y2

= 1,

m = z;

23.

x 2 + y2

= z 2 , x 2 + y2

= 4,

x ³ 0,

y ³ 0,

z ³ 0, m = x 2 + y2 ;

24.

x 2 + y2 = 1,

x 2 + y2 = 6x,

x = 0,

y ³ 0,

z = 0, m = y;

25.

x 2 + y2 + z 2

= 4,

x 2 + y2

= 4(1 - z),

m = 1;

26.

x 2 + y2 + z 2 £ 1,

x 2 + z 2

= y2 ,

x ³ 0,

y ³ 0, z ³ 0,

m = y;

27.

x 2 + y2

= 4,

x 2 + y2

= 8z,

z ³ 0,

m = 1;

28.

x 2 + y2 + z 2

= 16, x 2 + y2

= 4,

m =

;

29.

x 2 + y2

= z 2 ,

x 2 + y 2

= z,

z = 0,

y ³ 0, x ³ 0,

m = y z;

30.

x 2 + y2

= z 2 ,

x 2 + y2

= 4,

x ³ 0,

y ³ 0,

z ³ 0,

m = x 2 + y2 .

ЧАСТЬ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Задание №11

Вычислить криволинейный интеграл

1. ∫	(x + 2y)dL,	L − отрезок прямой от точки A(1;1) до B(5;3);
L		L − отрезок прямой от точки A(1;1) до B(5;3);
L

∫

dL,

∫

x 2 + y2 dL,

∫

L x 2 + y2 + z 2

∫

y − x

∫ x y2 dL,

∫

2 y

dL,

(z −

)dL,

∫

x 2 + y2

∫

x 2 dL,

10. ∫

(x + y )dL,

11. ∫

(x 2 + y2 )dL,

12. ∫

(x 2 3 + y2 3 )dL,

13. ∫

y dL,

14. ∫

x dL,

15. ∫

e x2 + y2

dL,

L − дуга y2	=	9	x3 от точки A(0;0) до B(4; 25 4);

	25
L : x 2 + y2	= 4
L − первый виток винтовой				линии	x = 2 cos t,
y = 2 sin t, z = t;
L −отрезок прямой от точки A(0;−1) до B(2;0);
L −контур	параллелограмма			с	вершинами
A(0;1), B(3;0), C(3;2), D(0;2);
L −первая	арка циклоиды			x = a(t −sin t),
y = a(1 − cos t);
L −первый виток винтовой линии					x = a × cos t ,
y = a × sin t, z = b × t;
L −контур	треугольника с вершинами A(0;1);
B(3;0); C(0;2);

L −контур треугольника с вершинами

A(0;0), B(1;0), C(0;1);

x = a(cos t + t sin t),

L : y = a(sin t − t cos t), 0 ≤ t ≤ 2π;

L −дуга x = a cos3 t, y = a sin 3 t, 0 ≤ t ≤ π; 2

L −дуга эллипса x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ π;

L −часть эллипса x = a cos t; y = a sin t; 0 ≤ t ≤ π;

		2
L −часть	окружности	x = a cos t; y = a sin t ,
находящаяся в 1-й четверти.

16.

∫

(x 2 + y2 + z 2 )dL,

17.

∫

z dL,

∫

18.

x dL,

19.

∫ (2x − y)dL,

20.

∫

y dL,

21.

∫

x 3 dL,

22.

∫

x − y

23.

∫ ( y − x)dL,

24.

∫ 5

x2 + y2

dL,

25.

∫

dL,

26.

∫

(3x 2 − y2 )dL,

)dL,

∫

+ 3

27.

28.

∫

x 2 dL,

29.

∫

x y dL,

30.

∫

L − часть	цилиндрической	винтовой	линии
x = a × cos t, y = a × sin t, z = b × t (0 £ t £ 2p);
L − коническая винтовая линии
x = t × cos t, y = t × sin t, z = t (0 £ t £ 2p);
L −первая	арка циклоиды x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t);
L −отрезок прямой от точки		A(2;2) до B(1;3);
L :контур	треугольника с	вершинами	A(0; 0);

B(1; 0); C(0;1).

L :дуга y = x 3 , находящаяся внутри окружности x 2 + y2 = 2;

L −отрезок прямой, заключенный между точками

A(2;1) и B(− 3;4);

L −контур треугольника с вершинами

A(0;1), B(2;0), C(0;2);

L −часть окружности ρ = a,							0 ≤ ϕ ≤ π ;
							3
		2	=		y3			1
L −дуга линии x						от	A(0;0) до B		;1 ;
L −дуга линии x				16		от	A(0;0) до B		;1 ;
				16			4
L :	дуга эллипса			x = a × cos t, y = b × sin t					в	1-й
четверти.							0 ≤ t ≤ π ;
L : x = a cos3 t,		y = a sin 3 t,					0 ≤ t ≤ π ;
							2
L − арка циклоиды x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π);
L :	контур трапеции с						вершинами	A(0;0),
B(5;0); C(4;3); D(3;3);
L :	дуга эллипса				x = a cos t; y = b sin t				в	1-й
четверти.

Задание №12

Вычислить криволинейный интеграл по заданной линии L :

cos t ,

∫

y dy - y

x dx,

x =

£ t £

L :

;

y =

sin t

∫

(x 2 - y2 )dx + x y dy,

L −отрезок прямой от точки A(1;1)

до B(3;4);

3. ∫ (x 2 + 2x y)dy,

4. ∫ y dx - (y - x 2 )dy,

5. ∫ y2 dx - x 2 dy,

6. ∫ x 2 dy - y2 dx,

L x 23 + y23

7. ∫ y2 dx + x 2 dy,

8. ∫ y dx + 2x dy,

9. ∫ x dy + y dx,

10. ∫2 x dy −3 y dx,

	L
11.	∫	(x 2 - 2xy)dx + (y2 - 2xy)dy,
	L
12.	∫ (x - y)2 dx + (x + y)2 dy,
	L
13.	∫ (x + y)dx + (x − y)dy					,
	L			x 2 + y2
14.	∫x 2 y dx + x 3dy,
	L
15.	∫	dy	-	dx	,
15.	∫		-		,
	L	x y

L : y = b 1 -

, (y ³ 0)

против

a 2

часовой стрелки;

L : y = 2 - x 2 , (y ³ 0);

x -1 = cos t,

L : y -1 = sin t;

x = a × cos3 t,

£ t £

L :

;

= a × sin

x = a × cos t,

L : y = b × sin t;

L :

= ±1;

L −отрезок

прямой

от

точки

A(0;0) до B(1;2);

L −контур треугольника с вершинами A(1;2), B(3;1), C(2;5);

L : y = x 2 , -1 £ x £ 1;

L − ломаная OAB, где

O(0;0), A(2;0), B(4;2);

L :x 2 + y2 = a 2 ;

L : y = x 2 , y2 = x;

L :x 2 + y2 = R 2 , (x ³ 0, y ³ 0);

16.	∫ (2a − y)dx + x dy,
	L
17.	∫ arctg				y	dy - dx,
17.	∫ arctg					dy - dx,
	L				x
18.	∫	x		dx − y dy			,


	L			x 2 + y2
	∫	y	2 dx - x 2 dy
19.								,
19.								,
	L			x 2 + y2
20.	∫ (x + y)dx + (x − y)dy,
	L
21.	∫ sin y dx − sin x dy,
	L
22.	∫ (x + y)dx − (x − y)dy								,
	L				x 2 + y2
23.	∫ (x 2 - 2x y)dx + (y2 - 2x y)dy,

24. ∫ (x 2 + y2 )dx + (x 2 - y2 )dy,

25. ∫ (x + y)2 dx - (x 2 + y2 )dy,

26. ∫ y dx + x dy,

27. ∫ y2 dx + z 2dy + x 2 dz,

28. ∫ x 2 + y2 dx + (x 2 + y2 )dy,

29. ∫ y dx − x dy,

30. ∫ x y dx + y z dy + z x dz,

x = a(t − sin t),

(0 £ t £ 2p);

L :

(1 - cos t),

y = a

L : y = x

£ x £

1 ;

L − отрезок прямой от точки A(0,1)

до B(2,5);

x = a × cos t,

(0 £ t £ 2p);

L :

× sin t,

y = a

L :x = a cos t,

y = b sin t;

L − отрезок прямой от точки A(0; π)

до B(π;0);

L :x = a sin t,

y = a cos t;

L : y =

, (1 £ x £ 4);

L : y = 1 -

1 - x

, (0 £ x £ 2);

L −

контур

треугольника

вершинами A(1;1), B(3;2), C(2;5);

x = R × cos t,

£ t £

L :

;

y = R × sin t,

L : x = a cos t,

y = a sin t,

z = h;

L −

контур

треугольника

вершинами A(0;1), B(2;4), C(3;6);x = a × cos t,

L : y = b × sin t;

L : x = cos t, y = sin t, z = 1.

Задание №13

Вычислить криволинейный интеграл с помощью формулы Грина

1.	∫(x - y2 )dx + 2xydy,	L : контур треугольника OAB с
		вершинами
	L	O(0;0), A(0;1), B(1;1);

2.	∫(2x y dx - x 2 dy),	L : контур треугольника ABC с
		вершинами
	L	A(0;0), B(1;1), C(2;0);

3.	∫ y2 dx + x 2 dy,	L :x	2	+ y	2	= R	2	;
	L
		L : контур треугольника ABC с
	∫x y2 dy - x 2 ydx,
4.		вершинами
	L	A(1;3), B(2;4), C(2,0);

	∫2 (x 2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy,	L : контур треугольника ABC с
5.		вершинами
	L	A(1;1), B(2;2), C(1;3);

6.	∫(x − y 2 )dx + 2 x y dy,	L : x 2 + y2				= R 2 ;
	L

7. ∫(x + y)2 dx - (x 2 + y2 )dy,

8. ∫x y2 dy - x 2 ydx,

9. ∫(x + y)dx − (x − y)dy,

10. ∫ex ×[(1 - cos y)dx - (y - sin y)dy],

∫(e x sin y - m y)dx +

11.L (e x cos y - m)dy,+

12. ∫	x dy − y dx	,

L x 2 + y2

13. ∫	xdy + ydx	,

L x 2 + y2

L : контур треугольника ABC с вершинами

A(1;1), B(3;2), C(2;5); L :x 2 + y2 = R 2 ;

L : x = a cos t, y = b sin t.

L : замкнутый контур, составленный из линии y = sin x, y = 0, (0 ≤ x ≤ π);

L :x 2 + y2 = a x;

r 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 ;

L : любой замкнутый контур, не проходящий через начало

14.	∫(x + y)2 dx - (x - y)2 dy,
	L
15.	∫(x + y)2 dx - (x - y)dy,
	L
16.	∫	x dy − y dx			,

	L x 2 + y2
17.	∫(1 - x 2 )y dx + x(1 + y2 )dy,
	L
18.	∫(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy,
	L
19.	∫(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy,
	L
20.	∫(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy,
	L
21.	∫	xdy + ydx		,

	L x 2 + y2
22.	∫x 2 dx + y2 dy,
	L
23.	∫(2xy - y)dx + x 2 dy,
	L
24.	∫(2xy - y)dx + x 2 dy,
	L
25.	∫	xdy − ydx	,

	L x 2 + y2
26.	∫x y2 dy - x 2 ydx,
	L

координат;

L : контур треугольника ABC с вершинами

A(1;1), B(2;6), C(2;1);


L : y = x 2				и отрезок от точки
A(2;4) до B(− 2;4);
x		2 + y		2		= R	2 ,	(y ³ 0);
L :		= 0,
y
x		2 + y		2		= R	2 ,	(y £ 0);
L :		= 0,
y
L :	x 2	+	y2			= 1;

4		9
L : x = a × cos t,
y = b × sin t;
L :x 2 + y2					= a x;

L : x −1 = cos t; y −1 = sin t;

L :x 2 + y2 = 4;

L : x 2 + y2 = 25 ;

L : контур треугольника ABC с вершинами

A(1;2), B(−1;3), C(0;4);

L :	x 2	+	y	2	= 1;
	a 2		b	2

L :		замкнутый контур из
y = x 2 +1					и отрезка прямой

y = 2 ;

27.	∫ x 2 ydx + xy2 dy,
	L	x dy − ydx
28.	∫			,

	L	x 2	+ y2
29.	∫	x dy − ydx		,

	L	x 2	+ y2
30.	∫	x dy − ydx		,

	L	x 2	+ y2

L :x 2 + y2 = R 2 ;

L : x 2 + y2 = 1; 16 64

L :x = a × cos t, y = a × sin t;

L :x = a × cos t, y = b × sin t.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.12.2018678.91 Кб2271-88.doc
#
21.09.201980.04 Кб13719664.docx
#
22.12.20183.46 Mб32738_s96.doc
#
17.04.20191.24 Mб6745_f86.doc
#
10.07.2019967.17 Кб77_Экономическая часть_7.doc
#
17.03.20152.11 Mб247УМК.PDF
#
20.07.20191.3 Mб28 деятели.rtf
#
17.03.2015494.92 Кб588 Расчет пространственной модели здания.pdf
#
18.09.201979.36 Кб58 часть.doc
#
19.07.20194.81 Mб48. Дозатор.doc
#
19.11.2018153.09 Кб198. особенности занятий избранным видом спорта.doc