Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

3.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1. Вычислить двойной интеграл:

а) ∫∫ x 2 ydxdy, где область интегрирования D

ограничена линиями

y = x 2 ;

y = 1;

+ y +

≤ x ≤

; −

б) ∫∫ sin 2x

dxdy , где

D = 0

≤ y ≤ 0 ;

в) ∫∫

dxdy ,

где

D = {0 ≤ x ≤ 1; 1 ≤ y ≤ 3};

1 + x

г) ∫∫

dxdy ,

где D = y

; y = x; x = 1 ;

x 2

д) ∫∫

x − y

dxdy ,

где D = {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}.

(x + y)2

3.2.2. Изменить порядок интегрирования:

(x, y)dy ;

9−x 2

а) ∫ dy ∫ f

б) ∫ dx ∫ f (x, y)dy ;

ln y

3−x

4−y

π 4

cos x

в) ∫ dy ∫ f (x, y)dy ;

г) ∫ dx ∫ f (x, y)dx .

sin x

∫∫ f (x, y)dxdy ,

3.2.3.

Расставить

пределы интегрирования

где

D= {y = x − 2 }.

3.2.4.Вычислить интегралы, переменив предварительно порядок интегрирования:

y2 + y

а) ∫ dy ∫ dx ;

б) ∫ dx∫ dy ;

4−y2

sin x

в) ∫ dy

∫ dx ;

г) ∫ dx ∫ dy ;

−

π 4

cos x

12−y2

1+ y

д) ∫ dy

∫ ;

е) ∫ dx ∫ dy .

−1

ln x

1−y2

3.2.5. Вычислить ∫∫ f (x, y)dxdy в заданной области:

а) f (x, y) = 1;

б) f (x, y) = 1;

в) f (x, y) = x + y ;

г) f (x, y) = x + y ; д) f (x, y) = 14 ;

е) f (x, y) = 1;

ж) f (x, y) = x 2 + y2 ; з) f (x, y) = x × y ;

и) f (x, y) = x 2 + y2 ;

к) f (x, y) = x - y ;

л) f (x, y) = 1;

м) f (x, y) = 1 -	x 2	-	y2
	a 2		b2

D = {y = x 2 ; x + y = 2};

D = {x = 0; x = -y; x = -2 - y};

D = x = 0; x = sin x; x = cos y; 0 £ y £ p ;
	2

D = {2y = x; 2y = x + 6; y = 2x; y = 2x - 3};

D = {x 2 + y2	£ 2x};
D = {x 2 + y2	£ 4x; y ³ x};
D = {x 2 + y2	£ 2; x 2 - y2 £ 1; x ³ 0; y ³ 0};

D = {0 £ y £ 6; x < 6; xy ³ 3; y - x - 2 < 0}; D = {0 £ x £ 4; 2 £ y £ 4};

D = {x = cos3 t; y = sin 3 t; x ³ 0; y ³ 0}; D = {(x 2 + y2 )2 £ a 2 (x 2 - y2 ); x ³ 0};

		2		y	2
D =	x		+			£	1 .
				b
a 2					2

3.2.6. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной интеграл:

а) ∫∫ e

−x 2 − y2

dxdy ,

где

D = {круг x 2

+ y2

≤ a 2 };

б) ∫∫ dxdy ,

где

D = { область,

ограниченная кардиоидой

r = a(1 + cos j)};

D = { область,

в) ∫∫

1 -

dxdy ,

где

ограниченная эллипсом

a 2 + b2 = 1; a > b};

г) ∫∫

где D = {x 2 + y2

£ 22 };

1 + x 2 + y2 dxdy,

кольцо

cos

+ y

д) ∫∫

dxdy,

где D = x 2 + y2

£ 4p

2 ;

x 2 + y2

+ y

е) ∫∫		dxdy	,	где D = { область, ограниченная прямыми
D	(x 2	+ y2 )3 2		линиями x = 0; y = 0; x + y =1; x + y = 2}.

3.2.7. Вычислить двойные интегралы, заданные в полярных координатах:

а) ∫∫ρ2 dϕdρ		где	D = { область между окружностями			ρ = a и
D		ρ = 2a};

б) ∫∫ρsin ϕdρdϕ,		где D = { круговой сектор, ограниченный линией
D				π
		ρ = a;		≤ ϕ ≤ π
				2
в) ∫∫ρ2 dρdϕ,		где		D = { область между линиями		ρ = a ;
D		ρ = a(1 + cos ϕ) и не содержит полюса }.

3.2.8. Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями,
заданными в декартовых координатах:
а) D = {y = x 2 , x + y = 6};					б) D = {y2 = −x, x = −4};
в) D = {y2 = −x + 4; y2 = 2x − 5};					г) D = {y2 = x 3 ; y2 = 8(6 − x)3 }.
3.2.9. Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями,
заданными в полярных координатах:
	π	ϕ =	π		б) D = {ρ = cos 2ϕ};
а) D = ρ =1; ϕ =	;	ϕ =	;		б) D = {ρ = cos 2ϕ};
	6		3
в) D = {ρ =1 + cos ϕ};			г)	D = {ρ = a cos ϕ; ρ = b cos ϕ; a > 0, b > 0}.

3.2.10. Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями, заданными в декартовых координатах, сделав переход к полярным

координатам:
а) D = {x 2 + y2	=1; x 2 + y2 = 25; y = x
			3; x > 0};
б) D = {x 2 + y2	= 2y; y ≤ x};	в) D = {x 2 + y2 = 2x; x 2 + y2 = 4x};
г) D = {(x 2 + y2 )2 = x 3 };		д) D = {(x 2 + y2 )2 = xy};
е) D = {(x 2 + y2 )2 = x 2 − y2 };		ж) D = {(x 2 + y2 )2 = y3 }.

3.2.11. С помощью двойного интеграла вычислить объемы тел, ограниченных указанными поверхностями:

а) y = x 2 ; y =1; x = 0; z = 0; z = x 2 + y2 ; б) 3x + 2y + z = 6; x = 0; y = 0; z = 0;

в) y = x; y = 2x; x + z = 4; z = 0;

г) z = x 2 + y2 ; x + y = 3; x = 0; y = 0; z = 0;

(внутри парабола);

д) z = x 2 + y2 ; z = 6 - x 2 - y2 . Указание: V = V - V .
1	2

е) z = 1 - x 2 - y2 ; y = x; y = x3; z = 0 (z ³ 0, x ³ 0, y ³ 0); ж) x 2 + y2 = z 2 ; x 2 + y2 = 2x; z = 0;

з) x 2 + y2 + z 2 = 4; x 2 + y2 = 3z и) z = 2 - x 2 + y2 ; z = 0 ;

к) z = x 2 - y2 ; x = 1; y = 0; z = 0; л) z = xy; x 2 + y2 = 8.

3.2.12.Найти координаты центра тяжести прямоугольного треугольника, катеты которого равны 0,5 и 1. Плотность в каждой точке треугольника пропорциональна квадрату расстояния точек до его вершины.

3.2.13.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры,

	2
ограниченной верхней половиной эллипса y = ±		9 - x 2 и осью абсцисс.

3.2.14.Найти центр тяжести однородного полукруга радиуса R.

3.2.15.Найти момент инерции I x плоской однородной фигуры,


ограниченной линиями y = x 2 ;		x = 1; y = 0 .
3.2.16. Найти момент инерции I0 относительно начала координат
однородной плоской фигуры: а)			x	+	y	£ 1; x > 0; y ³ 0; a > 0; b > 0 ;
однородной плоской фигуры: а)				+		£ 1; x > 0; y ³ 0; a > 0; b > 0 ;
			a		b
		r = a						; a > 0 .
	б)	r = a					cos 2j	; a > 0 .
3.2.17.	Вычислить интеграл				∫∫∫f (x, y, z)dxdydz ,				где	V	ограничена
						V
плоскостями: а) f (x, y, z) = y; V = {x = 0; y = 0; z = 0; 2x + y + z = 4}
б) f (x, y, z) = (x + y + z +1)−3 ; V = {x = 0; y = 0; z = 0; x + y + z = 1}.
3.2.18.	Вычислить интеграл				∫∫∫f (x, y, z)dxdydz ,				где	V	ограничена
					V

поверхностями:

а) f (x, y, z) = xyz; V = {x 2 + y2 + z 2 £ 1; x ³ 0; б) f (x, y, z) = x 2 + y2 ; V = {x 2 + y2 = z 2 ; z = в) f (x, y, z) = z 2 ; V = {x 2 + y2 + z 2 £ R 2 ; x 2 +

г) f (x, y, z) = 1 -

; V =

a 2

y > 0; z ³ 0}; 1};

y2 + z 2 £ 2R 2 z};

	z	2
+			£ 1 .
	c	2

Рис. А

(рис. А);

3.2.19. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостями x + y = 1; x + y = z; x + y = 2z ; x = 0 ; y = 0 .

3.2.20. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: а) x 2 = y ; x 2 = 4 - 3y и плоскостями z = 0 ; z = 9;

б) x 2 + y2 = 6 - 2z и z = z 2 + y2

в) (x 2 + y2 + z2 )3 = a 2 × z 4 .

x2 + y2 = 6 − 2z

3.2.21.Найти центр тяжести однородной усеченной призмы,

ограниченной плоскостями: x = 0 ;	y = 0 ; z = 0 ;	x = 1;	y = 1;
x + y + z = 3.

3.2.22.Найти момент инерции относительно оси 0Z тела, ограниченного плоскостями x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = 2; y = 3; z = 4 .

3.2.23.Найти момент инерции относительно начала координат

однородного тела, ограниченного сферой x 2 + y2 + z 2 = 1 и конусом

z= x 2 + y2 .

3.2.24.Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного сферой x 2 + y2 + z 2 = 4 и верхней частью параболоида x 2 + y2 = 4(1 - z).

3.2.25. Вычислить криволинейный интеграл ∫ (x 2 + y2 )n dl , где l -

									l
окружность x 2 + y2						= a 2 .
3.2.26. Найти						координаты			центра тяжести дуги, заданной уравнением
(считать линейную плотность F(x, y) − 1):
а)	y2 = x от т. A(1;1) до т. B(4;2);
			+		=			;	в) x 2 3 + y2 3 = a 2 3 , y ³ 0 ;
б)		x		y			a
г)	ρ = a(1 + cos ϕ).

3.2.27. Найти моменты инерции относительно осей координат и начала координат участка однородной прямой y = −2x + 1, лежащего между осями

координат в плоскости X0Y.

3.2.28. Найти массу однородной кривой:

а)

x = 12 sin 3 t ;

y = 3cos3 t ;

б)

(x 2 + y2 )2

= 2ax 2 ;

в) (x 2 + y2 )2

= xy .

3.2.29. Вычислить

∫ (x + y)dx − (x − y)dy ,

где

окружность

x 2 + y2

= R 2

(указание:

необходимо

окружность

представить

параметрическими уравнениями x = R cos t ;

y = R sin t ;

0 ≤ t ≤ 2π).

3.2.30. Вычислить

∫ arctg

dy − dx ,

где

замкнутый

контур,

составленный линиями y = x 2

и y = x .

3.2.31. Вычислить

∫

xy2

dx −

x 2 y

dy ,

где

контур,

x 2

+ y2

l x 2 + y2

задаваемый уравнением ρ2 = a 2 cos 2ϕ .

3.2.32. Вычислить

∫ sin ydx + sin xdy ,

где

отрезок прямой между

точками A(0; π) и B(π;0).

3.2.33. Вычислить криволинейный интеграл ∫ (y2 − z 2 )dx + 2yzdy − x 2 dz ,

y = t 2 ,

z = t 2 ,

где l - кривая x = t ,

0 ≤ t ≤ 1.

3.2.34. Используя формулу Грина, вычислить ∫ x 2 ydx − xy2 dy ,

где l -

окружность x 2 + y2 = R 2 .

3.2.35. Вычислить ∫ (x + y)2 dx − (x + y)2 dy ,

- контур, состоящий из

трех отрезков, соединяющих точки O(0;0); A(1;0); B(0;1).

3.2.36. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

∫ (xy + x + y)dx − (xy + x − y)dy , где l - эллипс

x 2

= 1.

a 2

3.2.37. Найти работу силы

= yi

+ (y − x)j

вдоль дуги AB параболы

y = 1 − x 2 от т. A(− 1; 0)

к т.

B(0;1).

3.2.38. Найти работу силы F = (y − z)i + (z − k)j + (x − y)k вдоль дуги

одного витка винтовой	линии, заданной параметрическими уравнениями
x = cos t ; y = sin t ; z =	t	, в направлении возрастания параметра t.
	2π
		ограниченную кардиоидой x = 2 cos t - cos 2t ;
3.2.39. Найти площадь,

y= 2 sin t − sin 2t .

3.2.40.Найти статический момент относительно координатной плоскости XOY однородной треугольной пластины x + y + z = 1, (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0).

3.2.41.

Вычислить координаты центра

масс однородной

полусферы

x 2 + y2 + z 2 = R 2 , z ³ 0.

z =

3.2.42.

Вычислить массу

параболической

оболочки

2(x 2

+ y2 ),

0 £ z £ 1, плотность которой меняется по закону

F(x, y, z) = z .

3.2.43.

Вычислить ∫∫

где

σ - поверхность

пирамиды:

(1 + x + y)2

x + y + z £ 1, x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 .

z = x 2 + y2 ,

3.2.44.

Вычислить ∫∫ xyz ds ,

где

σ - часть поверхности

расположенная между плоскостями z = 0 и z = 1.

3.2.45.

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫ (y2 + z 2 )dydz ,

где

внешняя

сторона

части

параболоида,

x = a 2 − y2 − z 2

отсеченный плоскостью YOZ.

3.2.46. Вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫ z 2 dxdy , где

σ - эллипсоид x 2 + y2 + 2z 2 = 2 .

−σ

3.2.47.

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

рода

∫∫ zdxdy + ydxdz + xdydz,

где

z - поверхность куба:

0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1,

−σ

0£ z £ 1.

3.2.48.Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы из заданий 89 и 90.

3.2.49.Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл:

∫(2x + y)dx - 2ydy ,

−l

где l - периметр треугольника {A(0,-1); B(0, 2); C(2, 0)}.

За поверхность σ принять плоскость данного треугольника.

3.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Часть I. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Задание №1

Вычислить двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dx dy по прямоугольной области

D . Нарисовать область интегрирования.

1. f (x, y) = x 2 y2 + sin x;

D : −1 ≤ x ≤ 0;

0,1 ≤ y ≤ 0,2;

2. f (x, y) = y 2 e x ;

D : 0 ≤ x ≤ 1; 2 ≤ y ≤ 3;

3. f (x, y) = x × y × e x2 ;

D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1;

4. f (x, y) = ex+ y ;

D : −1 ≤ x ≤ 1; − 1 ≤ y ≤ 1;

5. f (x, y) = 2x 2 × sin y;

D :10 £ x £11; - 2p £ y £ π ;

6. f (x, y) =

;

D : e ≤ x ≤ e 2 ; 0 ≤ y ≤ 1;

+ y

7. f (x, y) = (x + 1)× e1+ y ;

D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1;

8. f (x, y) = y + e x + y ;

D :1 ≤ x ≤ 2; 3 ≤ y ≤ 4;

9. f (x, y) = x × cos (x y);

D : π ≤ x ≤ π;

π ≤ y ≤ π;

10. f (x, y) = 5

D :

≤ x ≤ 1; 1 ≤ y ≤ 32;

x × y3 ;

11. f (x, y) = 4x 3

+ 3 y × 3

;

D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1;

12. f (x, y) = cos (4x + 3y);

D : 9 ≤ x ≤ 10;

− 10 ≤ y ≤ 0;

13. f (x, y) = e x × sin 2y;

D :1 £ x £ 2;

π £ y £ π ;

14. f (x, y) = (x + y)4 ;

D :1 ≤ x ≤ 2; 2 ≤ y ≤ 3;

15. f (x, y) = y × sin x;

D : 0 ≤ x ≤ π ;

2 ≤ y ≤ 3;

16. f (x, y) = 4y2 3		+ cos y;	D : −2 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1;
	x

17.f (x, y) = cos(3x + y)sin (5x + 3y);

18.f (x, y) = (ex + cos y)2 ;

19.f (x, y) = x + y + ×e x + y ;

20.f (x, y) = y × sin (x y);

21.f (x, y) = sin 2 x × cos2 y;

22.f (x, y) = sin (2x + y);

23.	f (x, y) =		y2	;
		1 + x 2

24.	f (x, y) =	1			;

		(x + y)3

25.f (x, y) = (x 2 - y);

26.f (x, y) = x 2 + y2 ;

27.f (x, y) = x × sin(x y);

28.f (x, y) = y × cos (x y);

29.f (x, y) = y2 × tg x;

30.f (x, y) = ctg 2 x × tg 2 y;

D : 0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π;

D : 0 ≤ x ≤ 1; π ≤ y ≤ π; 2

D :1 ≤ x ≤ 2; 2 ≤ y ≤ 3;

D : 1 ≤ x ≤ 1; π ≤ y ≤ 2π; 2

D : 0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π;

D : 0 ≤ x ≤ π ; − π ≤ y ≤ 0; 2 4

D : 0 ≤ x ≤ 1; 1 ≤ y ≤ 3;

D :1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1;

D : −1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1;

D : 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1;

D : 1 ≤ x ≤ 2; π ≤ y ≤ 3π ;

2	2	2
D :1 ≤ x ≤ 2;	π ≤ y ≤ 3π;

D : 0 ≤ x ≤ π ; 0 ≤ y ≤ 1; 4

D : π ≤ x ≤ π ; 0 ≤ y ≤ π . 6 3 4

Задание №2

Изменить порядок интегрирования. Нарисовать область интегрирования

	2	2							2x				(x, y)dy;
1.	∫dx							∫f					(x, y)dy;
	0						x2
	3	8−x2										(x, y)dy;
2.	∫dx							∫f				(x, y)dy;
	0	8−3x
	3		3x−3									(x, y)dy;
3.	∫dx							∫f				(x, y)dy;
	0		x2 −3

	3	2							3 x				(x, y)dy;
4.	∫dx				2			∫f					(x, y)dy;
	0				2			x		2
		3						x
		3
	4	4
	4	4							x		(x, y)dy;
5.	∫dx			1			∫f				(x, y)dy;
	0			1			x		3
		8					x
		8
	4	4
	4	4							x		(x, y)dy;
6.	∫dx						∫f				(x, y)dy;
	0				x2
		2
			3			x
	6					x
	6		2∫f (x, y)dy;
7.	∫dx		2∫f (x, y)dy;
	0		x2
		4
	4	3
	4	3							x		(x, y)dy;
8.	∫dx		3				∫f				(x, y)dy;
	0		3				x		2
		8					x
		8

	3	2				3x
16.	∫dx		2		∫f (x, y)dy;
	0		2		x		3
		9			x
		9
	6		2x−4						(x, y)dy;
17.	∫dx	1				∫f			(x, y)dy;
	0	1		x		2		−4
		3		x				−4
		3
	5
	5			5x
18.	∫dx			∫f (x, y)dy;
	0		x2
		5
	8
	8			2x−1
19.	∫dx			x		∫f			(x, y)dy;
	0			x		−1
		2				−1
		2
	5		2x−4						(x, y)dy;
20.	∫dx	2				∫f			(x, y)dy;
	0	2		x		2		−4
		5		x				−4
		5

e ln x

21.∫dx ∫f (x, y)dy;

1 0

	1	4−x2			(x, y)dy;
22.	∫dx			∫f	(x, y)dy;
	0
	0	− 1−x2

	1		1−y2
23.	∫dy			∫f (x, y)dx;
	−1	0

9	x +1
9	x +1								1		y
9. ∫dx			∫f (x, y)dy;						1		y
9. ∫dx			∫f (x, y)dy;						24. ∫dy ∫f (x, y)dx;
0	x	2			+1				24. ∫dy ∫f (x, y)dx;
	x								0	y
	9								0	y
	9
7							x−1		π	sin x
10. ∫dx								∫f (x, y)dy;	π	sin x
10. ∫dx				1				∫f (x, y)dy;	25. ∫dx		∫f (x, y)dy;
1				1		(x−1)2			0	0
			6			(x−1)2			0	0
			6
5			2						π
5			2					x−1	π
11. ∫dx								∫f (x, y)dy;	4	tg x		(x, y)dy;
										tg x
1			1				2		26. ∫dx		∫f
						(x−1)			0	0
			4			(x−1)
			4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.12.2018678.91 Кб2271-88.doc
#
21.09.201980.04 Кб13719664.docx
#
22.12.20183.46 Mб32738_s96.doc
#
17.04.20191.24 Mб6745_f86.doc
#
10.07.2019967.17 Кб77_Экономическая часть_7.doc
#
17.03.20152.11 Mб247УМК.PDF
#
20.07.20191.3 Mб28 деятели.rtf
#
17.03.2015494.92 Кб588 Расчет пространственной модели здания.pdf
#
18.09.201979.36 Кб58 часть.doc
#
19.07.20194.81 Mб48. Дозатор.doc
#
19.11.2018153.09 Кб198. особенности занятий избранным видом спорта.doc