Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

4. ∫∫ x × y dx dy;

5. ∫∫ (x 2

3. ∫∫ (x 2

4	2x −3			(x, y)dy;
12. ∫ dx		∫ f
0	x	2	−3

	2

42x

13.∫ dx ∫ f (x, y)dy;

0x3

3	4				x
3						3
14. ∫ dx			4		∫ f (x, y)dy;
0			4		x	2
	9				x
	9
			1		(x−1)
1	2				(x−1)
1	2					∫ f (x, y)dy;
15. ∫ dx						∫ f (x, y)dy;
0		1		(x−1)2
	8			(x−1)2
	8

	π
	2			cos x		(x, y)dy;
27.	∫ dx			∫ f		(x, y)dy;
	0			0
	π 3			tg x
28.	∫		dx ∫ f (x, y)dy;
	π			0
	6
	π
	4			cos x		(x, y)dy;
29.	∫ dx			∫ f		(x, y)dy;
	0			sin x

					2−x2
		2			2−x2
30.	∫		dx			∫ f (x, y)dy.
	0					x

Задание №3.

Вычислить двойной интеграл и нарисовать область интегрирования

1. ∫∫ y2 dx dy;

D x 2

2. ∫∫ (x 2 + y)dx dy;

- y)dx dy;

+ y2 )dx dy;

6. ∫∫ x 2 + y2 dx dy;

7. ∫∫ (x - y +1) dx dy;

8. ∫∫ x × y dx dy;

9. ∫∫ x 2 × y dx dy;

10. ∫∫ x × y dx dy;

11. ∫∫ x 3 × y3 dx dy;

D : y = x , y = x , x = 1; 3

D : y = x , y = 2x, x y = 2, x > 0; 2

D :x + y = 1, y = x, x = 0;

D :x + y + 1 = 0, y = x, y = 0;

D : y = x , y = x, x = 4; 2

D :2 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y;

D : y = x, y = 2x, x = 1, x = 2;

D : y2 = 2x, y = x - 4;

D : y ³ 0, y = 2x - x 2 ;


D : y =	x		, y = −x 2 ,		x = 1;
D : y = −				, y = x 2 ,	x = 1;
		x

12. ∫∫ e x × y dx dy;

13. ∫∫ (x 2 + y2 ) dx dy;

14. ∫∫ (x + y) dx dy;

15. ∫∫ (x 2 - y2 ) dx dy;

16. ∫∫ x 2 × y dx dy;

17. ∫∫ 4 - x 2 dx dy;

18. ∫∫ (2x + y) dx dy;

19.	∫∫ e x		dx dy;
	D
20.	∫∫ x dx dy;
	D
21.	∫∫	x 2	dx dy;
21.	∫∫	y	dx dy;
	D	y
22.	∫∫	x	dx dy;
22.	∫∫		dx dy;
	D y2
23.	∫∫ y dx dy;
	D
	∫∫ x ×
24.	∫∫ x ×			y dx dy;
	D
25.	∫∫ (x 2 + x y) dx dy;
	D
26.	∫∫ e x		dx dy;
	D
27.	∫∫	x 2	dx dy;
27.	∫∫		dx dy;
	D y2
28.	∫∫ x × y dx dy;
	D
29.	∫∫ (x 2 + y) dx dy;
	D
30.	∫∫ y ln x dx dy;
	D

D : y = x , y = 0, x = 3;

D : y = x, y = 1 + x, y = 1, y = 3; D : y2 = 2x, x + y = 4;

D :x + y = 3, y = x, x = 0; D :x = 1 − y, y = x, y = 0; D : y = x, y = 0, x = 1;

D :x + y = 1, x = 0, y = 0;

D :x = y, x = y + 3, y = 1, y = 2;

D : y = 2 - x, y = 1 + 1 - x 2 ;

D : y = 4, y = x 2 , y = x 2 , x ³ 0;

				4
D : y = x,			y = 9x,	y =	1	, x > 0;

					x
D : y =			, y = -x, x - y = 2;
	x
D : y = 1,		y = x, y = 3x;
D : y =1,		y = x 2 ;
D :x ³ 0,		x = ln y,		y = 3, y = 4;

D : y = x, y = 1 , x = 1, x = 2; x

D : y = x, y = 2 - x 2 , x ³ 0;

D : y = x 2 , x = y2 ;

D :x × y = 4, y = x , x = 2.

Задание №4

Вычислить двойной интеграл, применяя переход в полярную систему

координат x = r × cos j; y = r × sin j;	J	= r.	Нарисовать область

интегрирования.

sin

x 2 + y2

∫∫

dx dy;

x 2 + y2

∫∫(x − y)dx dy;

∫∫cos

x 2 + y2 dx dy;

∫∫

9 - x 2 - y2 dx dy;

∫∫

x 2

+ y 2 dx dy;

∫∫

dx dy;

x 2

+ y2

∫∫

1 + x 2 + y2 dx dy;

∫∫arctg

dx dy;

∫∫x y

16 - x 2 - y2 dx dy;

10. ∫∫sin

x 2 + y2 dx dy;

11. ∫∫arcctg

dx dy;

12.	∫∫ln (x 2 + y2 )dx dy;
	D
13.	∫∫(x 2 - y2 )dx dy;
	D

14.	∫∫		x 2 + y2 dx dy;
	D	ln (x 2 + y2 )
		ln (x 2 + y2 )
15.	∫∫			dx dy;
15.	∫∫			dx dy;
	D		x 2 + y2

D : 9 £ x 2 + y2 £ 36; D : x 2 + y2 £ 2 y;

D : a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 ;

D : x 2 + y2 £ 6 x;

D : a 2 £ x 2 + y2 £ 4 a 2 ;

D : y = R 2 - x 2 , y ³ 0;

D : x 2 + y2 £ 1 ; 4

R 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4R 2 , D : 0 ≤ y ≤ x;

D : x 2 + y2 £ 25;

D : x 2 + y2 £ a 2 ;

9 £ x 2 + y 2 £ 25, D :

- x £ y £ x; x ³ 0

D : R 2 £ x 2 + y2 £ R 4 ;

D : x 2 + y2 = 4 a x, a > 0; D : a 2 £ x 2 + y2 £ a 4 ;

D :1 £ x 2 + y2 £ e2 ;

16. ∫∫	cos	x 2 + y2
			dx dy;

D		x 2 + y2

17. ∫∫ 1 - x 2 - y2 dx dy;

18. ∫∫ e−(x2 + y2 )dx dy;

19. ∫∫	dx dy
		;

D	(x 2 + y 2 )2

20. ∫∫ arctg y dx dy;

D x

21. ∫∫ (x 2 + y2 )dx dy;

22. ∫∫ (x 2 + y2 )dx dy;

23. ∫∫ 2x y dx dy;

24. ∫∫ (x 2 + y2 )dx dy;

25. ∫∫	cos	x 2 + y 2
			dx dy;

D		x 2 + y 2

26. ∫∫ y2 dx dy;

D : 1 £ x 2 + y 2 £ 4; 4




	3		x £ y £ x 3,

D : 3
x 2 + y2 £ 1, x ³ 0;
D : x 2 + y2 £ 4;
x 2		+ y 2		= 4x;
		+ y 2		= 8x;
D : x 2
				£ x;
- x £ y

1 £ x 2 + y2 £ 4, D :

- x £ y £ x; x ³ 0;

x 2 + (y + 2)2 £ 4; D :

y ³ 0;

указание: полагаем: x = r × cos j, y + 2 = r × sin j;

		2	+ y			2	= 2x,
x			+ y				= 2x,
D :
		2	+ y			2	= 2y;
x			+ y				= 2y;
	2	+ y		2	≤ 5x,
x		+ y			≤ 5x,
D :		+ y2 ≤ 9;
x	2	+ y2 ≤ 9;

		2	+ y			2	+ 2 x -1			£ 0,
x			+ y				+ 2 x -1			£ 0,
D :
		2	+ 2x + y					2	³ 0;
x			+ 2x + y						³ 0;

Указание: полагаем

x + 1 = ρ cos ϕ; y = ρ sin ϕ.

D : 1 £ x 2 + y 2 £ 4;

x 2 + y 2 £ 1, D : x ³ 0,

x
x	£ y £ x	3;
	£ y £ x	3;

3

£ x

+ y

£ R

27.

∫∫ (x

+ y )dx dy;

D : R

;

0 £ y £ x;

28.

∫∫ x 2 dx dy;

D : x 2 + y2 = x;

r = 2 + cos j,

∫∫ r × sin jdr dj;

29.

D :

£ j £

;

∫∫ r × sin jdr dj;

r = 2a × cos j,

30.

D :

£ j £

Задание №5

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями с помощью двойного интеграла. (Перейти в полярную систему координат, сделать рисунок в полярной системе координат).

1.(x 2 + y2 )3 = x 2 y2 ;

2.(x 2 + y2 )3 = x 4 ;

3.(x 2 + y2 )3 = y5 ;

4.(x 2 + y2 )2 = x 2 - y2 ;

5.(x 2 + y2 )2 = x 3 ;

6.(x 2 + y2 )2 = y2 ;

7.(x 2 + y2 )2 = y3 ;

8.(x 2 + y2 )2 = x 2 ;

9.ρ = 1 + cos ϕ;

10.ρ = cos ϕ, ρ = sin ϕ;

16.	(x 2	+ y2 )2			= x × y;
17.	(x 2	+ y2 )3 = x × y4 ;
	x 2			y2	2
18.			+		= x 2 y;

				9
	4

x = 2 r × cos j

Указание:

y = 3r × sin j; J

19.(x 2 + y2 )3 = 2 x 5 ;

20.(x 2 + y2 )2 = x 3 - 3x y2 ;

21.(x 2 + y2 )2 = 3y2 - x 2 ;

22.(x 2 + y2 )2 = 4x 2 + y2 ;

23.(x 2 + y2 )2 = 3x 2 - y2 ;

24.	x 2 + y2					= 2 y, y2 + x 2 =
24.
	y = x,				x = 0;
		2	+ y	2		= 2 x, y	2	+ x	2	=
25.	x		+ y			= 2 x, y		+ x		=
25.
		= y			3, x = 0;
	x	= y			3, x = 0;

= 6 r.

4y,

4x,

	x 2	- 2x + y2			= 0, x 2 - 8x + y2 = 0,
11. ρ = 1 − cos ϕ;
11. ρ = 1 − cos ϕ;	26.		x
	y =		x	, y =		3x;
	y =			, y =		3x;
			3

			y2		+ x 2 = 4 y, y2 + x 2 = 10y,
	r = sin 3 j;
12.		27.				x
12.		27.		=		x			2 x = y;
			y					,
			y					,
						2
13.	r = cos2 j;	28.	x 2		+ y2 ³ 4, x 2 + y2 £ 25,
13.	r = cos2 j;	28.		= x,				y = 0;
			y	= x,				y = 0;
			r = sin j, r = 2 sin j,
14.	ρ = sin 3ϕ;	29.							p
14.	ρ = sin 3ϕ;	29.							p
			j = 0,				j =		;
									4
			r = 2 cos j, r = 4 cos j,
15.	ρ = cos 2 ϕ;	30.							p
15.	ρ = cos 2 ϕ;	30.							p
			j = 0,				j =		.
									4

Задание 6

Найти центр тяжести плоской пластинки, ограниченной данными линиями, с помощью двойного интеграла

y2 = 9 x + 9, y2 = 8 - 4 x;

, y = x 2 , x = 3,

x = 5;

= x, x 2

= y;

= 2 x - x 2 , y = 0;

, x = 0, y = 0;

ρ = 1 − cos ϕ;

= 4 x, x = 4 , y = 0;

x 2 + y2 £ 16,

£ 1,

y ³ 0;

x 2 + y2 £ R 2 , x ³ 0, y ³ x;

10.y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π;

11.y = x 2 , x + y = 1;

12.	x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 , (астроида) x ³ 0, y ³ 0;
13.	x 2 + y2 £ 9, y = x, y = 2 x;

14.1 £ x 2 + y2 £ 25, y ³ 0, x ³ 0; 15. y2 = x 2 - x 4 , y ³ 0, x ³ 0;

16.1 £ x £ 1 + 1 - y2 ;

17.y2 = x 3 - x 4 , 0 £ x £ 1;


18.	ρ = cos ϕ,					ρ = sin ϕ;
19.	y = x 2 ,				y = -x 2 ,		x = 1;
20. y =						y = x 2 ;
			x	,
21.	x y = a 2 ,					x y = 2 a	2 , 2 x = y, x = a, a > 0;
22.	x 2	+ y2 £ 25, y =					2 x, x = 0;
23.	y2	£ 4 x,				x = 3 - y, y ³ 0;
24.	x 2	+ y2 = 4, x 2 + y2						= 9, y ³ x, y £ 2 x;
25.	y = a + x,					y = a − x,		y = 0;
	y = 2					x + y - 3 = 0, y = 0;
26.					x ,

27.ρ = 2 cos ϕ, ρ = 4 cos ϕ;

28.ρ = 2 sin ϕ, ρ = 2 sin ϕ;

29.x 3 = (x 2 + y 2 )2 (перейти в полярную систему координат);

30.y3 = (x 2 + y2 )2 (перейти в полярную систему координат).

Задание №7

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью двойного интеграла: V = ∫∫ z (x, y)dx dy

						Dxy

1.	z = 3x, y = 9 - x 2 , y = 0, z = 0;

2.	z = y; y = 4 - x 2 , z ³ 0;
3.	z = 9 - x 2 - y2 , x = y = z = 0;
4.	z = (y -1)2 , z = 0, y = x 2 , y = 1;
5.	z = 2 - y, z = 0, y =				x 2	; y = 2;
5.	z = 2 - y, z = 0, y =					; y = 2;
			2
6.	z = 9x 2 + 3y 2 + 2, x + y = 1, x = 0, y = 0; z = 0;
7.	z = 6 - y, y = x 2 , y = 6, z = 0;
		3
8.	z = 2 y, y =	3		4 - x 2 , x = z = 0;
8.	z = 2 y, y =			4 - x 2 , x = z = 0;

9. z = y2 , z = 0, 2x + 3y − 6 = 0, x = 0;

10.

z = y, z = 0,

y = x 2 ,

y = 2;

11.

z = 2x 2 + y2 ,

z = 0,

y = 0, x + y = 2, x = 0;

12.

z = 2x, z = 0,

y2 = x,

x = 1;

13.

z = y 2 + 1,

z = 0, x + y = 1; x ³ 0; y ³ 0;

14.

z =

x 2 + y2

; x + y = 3,

x = y = z = 0;

x 2

15.

z = 2 x, y =

, x = 2,

y = 0, z = 0;

16.

z = 8 - 2 x 2 - 4 y 2 , x ³ 0; y ³ 0;

здесь (при

вычислении

двойного

интеграла) надо сделать переход в полярную систему координат по

x = 2 rcos j;

y =

rsin j.

формулам:

Не забыть

вычислить

Якобиан.

17.z = y2 + 2, x = 3, y = 2, x = y = z = 0;

18.z = 9 - y 2 , x £ y £ 3, z = 0;


19.	z = x 2 + y2 + 1,			x + y = 3, x = y = z = 0;
20. z =		x 2	+ y 2 + 1,	0 £ x £ 4; 0 £ y £ 4 - x; z = 0;

	4
21.	( ) z = 12 - x 2 - y2 , x = y = z = 0;
22.	z = y 2 + 1, x + y = 1, , z = 0,				x = 0,		y = 0;
23.	z = x 2 , x + y = 2, z = 0, y = 0;
24.	z + x + y = 2, y ³ 2 x, x ³ 0,				z ³ 0;
25.	( ) z = x 2 + y2 ,			y = 2 x, y = x, z = 0,			z = 1;
26.	z = 6 − x − y, 2 x + y = 4, x = 0,					y = 0,		z = 0;
27.	z = 12 − 3 x 2 ,			2x + y = 4, x = 0,		y = 0,		z = 0;
28.	z = x 2 + 1, 4 x + 3 y − 12 = 0,				x = 0, y = 0, z = 0;

29.z = 9 - y 2 , 0 £ y < 5; z ³ 0;

30.z = (x -1)2 , z = 0, 0 £ x £ 2; 0 £ y £ 4.

( ) При вычислении двойного интеграла перейти в полярную систему координат.

ЧАСТЬ 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Задание №8

Вычислить тройной интеграл по заданной области интегрирования V

1. ∫∫∫(x 2 + y2 + z 2 )dx dy dz,

v :x

+ y

+ z

£ R

;

z = R

- x

- y

2. ∫∫∫z dx dy dz,

v :

³ 0;

(x 2 + y2 ),

∫∫∫

z dx dy dz,

v :

= h;

4. ∫∫∫x dx dy dz,

x = 0,

y = 0,

z = 0,

v :

y = h, x + z = a;

+ y

+ z

= R

5. ∫∫∫z

dx dy dz,

v :

+ y

+ z

£ 2 R z;

+ y

£ x

6. ∫∫∫(x

+ y

+ z

)dv,

v :

+ y

+ z

£ R

³ 0;

, x

v :

x 2

z 2

7. ( ) ∫∫∫

1 -

x 2

z 2

dv,

£ 1;

a 2

8. ∫∫∫(x 2 + y2 + z 2 )dv,

+ y

£ a z,

v : x

+ y

+ z

£ 3a

;

9. ∫∫∫z dx dy dz,

x 2

+ y2

= 4 x, y ³ 0,

v :

z = 0,

z = 2;

x 2

+ y2

= z 2 ,

10 . ∫∫∫z

+ y

dv,

v :

= 4;

11. ∫∫∫

x 2 + y2 + z 2

dv,

v :x 2 + y2 + z 2 £ R 2 ;

z = x 2 + y2 , y = x,

12. ∫∫∫

+ y

+ z

dv,

v :

= 1, y ³ 0, z = 0;

13.

∫∫∫ (x 2 + y2 ) dv,

14.

∫∫∫ x y2 z3 dx dy dz,

15.

∫∫∫ x y z 2

dv,

16.

∫∫∫

dx dy dz

(1 + x

+ y

+ z)3

17.

∫∫∫ x y z dv,

18.

∫∫∫

x 2 + y2

dv,

( )

19.

∫∫∫

dv,

v a

20.

∫∫∫ (x 2 + y2 ) dv,

2z = x 2 + y2 , v :

z = 2;

z = x y, y = x,

v : x = 1, z = 0;

v :z = x y, y = 3 x, x = 5, z = 0;

v :x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0;

v :x 2 + y2 + z 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0; v :z = 1, x 2 + y2 = 4 z;


v :	x 2	+	y2	+	z 2	£ 1;
	a 2		b2		c2


v :z =			x 2 + y2 , y = x, x = 1, z = 0, y ³ 0

21.	∫∫∫	x 2	+ y2	dx dy dz,		v :9 z = x 2 + y2 , x + y + z = 1;
	v
22.	∫∫∫	x 2	+ y2	+ z 2	dv,	v :x 2	+ y2 + z 2 £ 9, z ³ 0;
	v
23.	∫∫∫	x 2	+ y2	+ z 2	dv,	v :x 2	+ y2 + z 2 £ 2 R z;

24.

25.

( )

dx dy dz

∫∫∫v 1 + x + y,

∫∫∫(2 x + 3y − z) dv,

x = 0, x = 1, y = 2, v : y = 5, z = 2, z = 4;

x = 0, y = 0, z = 0, v : z = 3, x + y = 2;

Сделать переход в сферическую систему координат по формулам:


x	= r × sin q × cos j;		y	= r × sin q × cos j;	z	= r × cos q;
	= r × sin q × cos j;			= r × sin q × cos j;		= r × cos q;
a			b		c
J		= a b c r2 sin q.
J		= a b c r2 sin q.

26.	∫∫∫ x y z dx dy dz,	v :x	2	+ y	2	= 4, x + y + z = 3, z = 0,
	v


27.	∫∫∫ x 2 + y2 dx dy dz,	v :x 2		+ y2		= 9, z = 4, z = 0,
	v

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.12.2018678.91 Кб2271-88.doc
#
21.09.201980.04 Кб13719664.docx
#
22.12.20183.46 Mб32738_s96.doc
#
17.04.20191.24 Mб6745_f86.doc
#
10.07.2019967.17 Кб77_Экономическая часть_7.doc
#
17.03.20152.11 Mб247УМК.PDF
#
20.07.20191.3 Mб28 деятели.rtf
#
17.03.2015494.92 Кб588 Расчет пространственной модели здания.pdf
#
18.09.201979.36 Кб58 часть.doc
#
19.07.20194.81 Mб48. Дозатор.doc
#
19.11.2018153.09 Кб198. особенности занятий избранным видом спорта.doc