7УМК
.PDFI xoy |
= ∫∫ z 2 F(x, y, z)ds ; |
I xoz |
= ∫∫ y2 F(x, y, z)ds ; |
|||
|
σ |
|
|
|
σ |
|
|
I yoz |
= ∫∫ x 2 F(x, y, z)ds . |
(2.55) |
|||
|
|
σ |
|
|
|
|
Моменты инерции Iox , |
Ioy , |
Ioz относительно координатных осей и |
||||
начала координат вычисляем по формулам: |
|
|
||||
Iox = ∫∫ (y2 + z 2 ) F(x, y, z)ds ; |
Ioz = ∫∫ (x 2 + y2 ) F(x, y, z)ds ; |
|
||||
σ |
|
|
|
σ |
|
|
Ioy = ∫∫ (x 2 + z 2 ) F(x, y, z)ds ; |
Io = ∫∫ (x 2 + y2 + z 2 ) F(x, y, z)ds . (2.56) |
|||||
σ |
|
|
|
σ |
|
|
|
Примеры решения задач |
|
||||
ПРИМЕР |
2.39. Найти |
площадь |
части поверхности |
z 2 = 2xy , |
||
расположенной в первом октанте между плоскостями x = 2 и |
y = 4 (рис. |
|||||
2.36). |
|
|
|
|
|
|
z
4
4 y
2
x
Рис. 2.36
Решение. Применяя формулы (2.48) и (2.51), получаем
(здесь F(M) = F(x, y, z) ≡ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|||||
|
|
|
|
S = ∫∫ ds = |
∫∫ |
1 + (z′x )2 + (z′y )2 |
|
||||||||||||||
|
= ( |
|
)′x = |
|
|
σ |
|
|
Dxy |
= ( |
|
)′y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
y |
|
|
z′ |
|
|
x |
|
|
, D |
|
|
||||||
2xy |
|
, |
2xy |
|
|
xy |
- прямоугольник |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
y |
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 4. Итак
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
x |
|
+ y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ dx∫ |
1 + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dy = |
∫ dx∫ |
|
|
|
dy = |
|
|
|
|
∫ dx∫ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dy = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2xy |
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
∫ dx∫ |
x 2 |
|
y |
|
2 + y 2 x |
|
|
2 dy |
= |
|
|
|
|
∫ dx x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
∫ dx |
4x 2 + |
|
x |
|
|
2 = |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 16 (кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.40. Найти массу полусферы, если в каждой ее точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.
Решение. Поместим начало прямоугольной системы координат в центр основания полусферы и направим ось аппликат перпендикулярно этому
основанию. Тогда уравнение полусферы будет z = +R 2 − x 2 − y2 , R -
радиус полусферы. Поверхностная плотность в точке M(x, y, z) полусферы:
F(x, y, z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 2 + y2 . Воспользуемся формулой (2.48) и (2.52), где D xy есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
круг x 2 + y2 |
= R 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m = ∫∫ F(x, y, z)ds = ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 + y2 |
1 + (z′x )2 + (z′y )2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ∫∫ x 2 + y2 |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
− x |
|
− y |
|
|
|
R |
− x |
− y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= R ∫∫ |
|
|
|
x 2 + y2 |
|
|
|
|
|
dxdy = (перейдем к полярным координатам)= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Dxy |
|
R 2 − (x 2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
dρ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
2 |
cos |
2 |
ϕ + ρ |
2 |
sin |
2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
R |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
= R ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρdϕdρ = R ∫ dϕ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R 2 − (ρ2 cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 − ρ2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Dxy |
|
ϕ + ρ2 sin 2 ϕ) |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
= |
π2 R 3 |
|
|
|
можно |
вычислить |
с помощью замены: |
||||||
|
2 |
(внутренний интеграл |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 |
= R sin t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ПРИМЕР 2.41. Найти центр тяжести однородной поверхности |
|||||||||||
параболоида y2 + z 2 |
= 10x , отсеченной плоскостью x = 10 |
(рис. 2.37). |
|
||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
Решение. |
Данная однородная |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхность |
σ |
симметрична |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно оси OX, поэтому yc |
= 0 , |
||||
|
|
10 |
|
|
|
zc = 0. Необходимо вычислить x c , для |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
этого |
вычислим |
статический |
момент |
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
M yoz |
и массу m поверхности |
σ |
по |
||
|
|
|
|
0 |
|
10 |
|||||||
|
|
|
|
формулам (2.51) и (2.53). Поверхность σ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проектируется |
на |
координатную |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскость YOZ. |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
Проекцией |
D yz |
является |
круг |
x
M yoz
|
|
|
y2 + z 2 |
= 100 . |
Так |
|
как поверхность |
|||||||
Рис. 2.37 |
|
|
однородная, то полагаем F(x, y, z) ≡ 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∫∫ x F(x, y, z)ds = |
|
y2 |
+ z 2 |
|
2y |
2 |
2z |
|
2 |
|
||||
∫∫ |
|
|
|
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
dydz = |
||
|
|
|
|
|||||||||||
ω |
Dyz |
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
= |
1 |
|
∫∫ (y2 + z 2 ) |
|
|
25 + (y2 + z 2 ) dydz = |
|
|
|
|
(перейдем |
к |
полярным |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
50 Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∫∫ ρ2 |
|
|
|
ρdϕdρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
координатам) |
= |
|
25 + ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
2π |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
π(1 + 25 |
|
|
|
|
). |
|
|
|
|||||
|
|
25 + ρ2 ρdρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
∫ dϕ ∫ ρ2 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
50 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
25 + (y2 + z 2 ) dydz = |
1 |
∫∫ |
|
|
|
|
|
ρdϕdρ = |
|
|||||||||||||||||
m = ∫∫ ds = |
|
∫∫ |
|
|
|
|
25 + ρ2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
5 Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2π |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
10 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
1 |
|
|
∫ dϕ ∫ 25 + ρ2 ρdρ = |
1 |
∫ dϕ ∫ (25 + ρ2 ) |
|
d(25 + ρ2 )= |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
10 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2π |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
(25 + ρ |
)2 |
|
|
|
|
|
50 |
π(5 |
|
)−1. |
|||||
= |
∫ dϕ |
|
|
|
|
|
= |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M yoz |
|
25 |
|
|
+1 |
|||
Итак, окончательно по формуле (2.54) получаем x c |
= |
= |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||
m |
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 −1 |
|||||||
ПРИМЕР 2.42. Найти момент инерции однородной |
|
полусферы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = + a 2 − x 2 − y2 |
относительно оси OZ. |
|
|
|||||
Решение. По формулам (2.56) и учитывая, что поверхность σ - |
||||||||
однородная, т.е. F(x, y, z) ≡ 1 (кроме |
того, поверхность проектируется на |
|||||||
плоскость XOY), получается: |
|
|
|
|
|
|||
Ioz = ∫∫ (x 2 + y2 )ds = |
|
|
|
|
|
|||
σ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫∫ (x 2 + y2 ) 1 + |
x 2 |
+ |
|
y2 |
dxdy = |
|||
a 2 − x 2 − y2 |
a 2 |
− x 2 − y2 |
||||||
Dxy |
|
|
|
=a
=a
Z –
∫∫ |
|
|
|
x 2 + y2 |
|
|
|
dxdy = a ∫∫ |
|
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ |
|
ρdϕdρ = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Dxy |
|
− (x 2 + y2 ) |
|
Dxy |
a 2 − (ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ) |
||||||||||
2π |
a |
ρ |
3 |
|
|
|
|
4 |
π a 4 . |
|
|
|
|||
∫ dϕ∫ |
|
|
|
dρ = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
a 2 − ρ2 |
|
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.3. Поверхностные интегралы второго рода или по координатам, их вычисление
Поверхностные интегралы второго рода по координатам X и Y, Y и Z, X и
это интегралы вида |
|
|
∫∫ F(x, y, z)dxdy , |
∫∫ F(x, y, z)dydz , |
∫∫ F(x, y, z)dxdz (2.57) |
σ |
σ |
σ |
или в общем виде |
|
∫∫ F(x, y, z)dxdy + Q(x, y, z)dydz + R(x, y, z)dxdz . |
(2.58) |
σ |
|
Вычисление этих интегралов также сводится к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверхности σ, подынтегральное выражение преобразуется к двум переменным, область изменения которых есть проекция поверхности σ на соответствующую координатную плоскость.
Например, для первого интеграла из формулы (2.57):
если область интегрирования поверхностного интеграла ∫∫F(x, y, z)dxdy , т.е.
поверхность σ имеет уравнение |
σ |
|
z = z(x, y), то данный интеграл вычисляем |
||
так: |
|
|
∫∫F(x, y, z)dxdy = ± ∫∫F(x, y, z(x, y))dxdy , |
(2.59) |
|
σ |
σxy |
|
где двойной знак соответствует двум различным сторонам поверхности σ : где знак «плюс» соответствует интегрированию по той стороне поверхности σ , которая обращена в сторону положительного направления оси OZ.
Замечание. Поверхностный интеграл по координатам x , y , взятый по куску цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OZ, равен нулю.
Аналогичная теория и для двух других интегралов из формулы (2.57). Для интеграла (2.58) ниже приведем формулы Стокса и Остроградского-
Гаусса.
Формула Стокса: Если поверхность σ - незамкнута и ограничена контуром l , то имеет место формула
∫F(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
l |
|
= ∫∫(R′y − Q′z )dydz + (Fz′ − R′x )dxdz + (Q′x − Fy′ )dxdy . |
(2.60) |
σ |
|
Частный случай формулы Стокса (формула Грина) изложен в 1-й главе.
Формула Остроградского-Гаусса. Если поверхность σ - замкнутая, V –
тело, которое ограничивается поверхностью σ. Тогда имеет место формула ∫∫F(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = ∫∫∫(Fx′ + Q′y + R′z )dxdydz,
+σ |
V |
|
(2.61) |
где функции |
F(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и их частные производные |
должны быть непрерывными в области V.
Применения поверхностных интегралов второго рода к вычислению физических величин в данный практикум не вошли, так как представляют собой достаточно объемный материал из теории поля.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.43. Вычислить поверхностный интеграл второго рода (по координатам)
I = ∫∫2dxdy + ydxdz − x 2 zdydz ,
σ
где σ - внешняя сторона части эллипсоида
4x 2 + y2 + 4z 2 = 4 ,
расположенной в первом октанте (рис. 2.38).
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
= π ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= t |
|
|
− |
sin 2t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dxdz = |
|
x = ρcos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρdϕdρ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
I2 |
= 2 ∫∫ |
1 − x 2 − z 2 |
= 2 ∫∫ 1 − ρ2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ρsin ϕ |
|
|
|
|
|
|
σxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
2∫ dϕ∫ |
|
1 − ρ |
|
|
ρdρ = 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
∫ dϕ∫ |
(1 − ρ |
|
|
) |
|
|
|
|
d(1 |
− ρ |
|
|
) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
(1 |
|
− ρ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
∫ dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −∫ dϕ |
0 − |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∫ dϕ = |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
0 |
|
|
= |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4−4z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z dydz = ∫ zdz |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I3 |
= |
− |
|
|
|
− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
− z |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
dy = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 − z 2 )y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
1−z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1−z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 1∫ (1 − z 2 ) 2 |
|
|
|
|
|
|
− |
8 |
(1 − z 2 )3 2 zdz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 1∫ (2 (1 − z 2 )3 2 − |
2 |
(1 − z 2 )3 2 |
zdz = |
4 |
1∫ (1 − z 2 )3 2 zdz = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (1 − z 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
∫ (1 |
|
− z |
|
|
|
) |
|
|
d(1 − z |
|
|
|
|
) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
4 |
(1 − z 2 )5 2 |
|
1 = − |
4 |
(0 −1) = |
4 |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Итак: I = 2 I1 + I2 − I3 = 2 π + π − |
4 |
|
= |
4 |
π − |
4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
15 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
ПРИМЕР 2.44. Вычислить поверхностный интеграл второго рода (по координатам)
I = ∫∫ 4x 3dydz + 4y3dxdz − 6z 4 dxdy ,
+σ
где σ - полная поверхность цилиндра x 2 + y2 = a 2 , 0 ≥ z ≤ h (рис. 2.39).
z
C(− a;0; h)
z = h
D
x2 + y2 = a 2
B
y
A(a;0;0)
x
Рис. 2.39
Решение. Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса (2.61):
I = ∫∫ 4x 3dydz + 4y3dxdz − 6z 4 dxdy = ∫∫∫ (12x 2 +12y2 − 24z3 )dxdydz =
|
+σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
= 12 ∫∫∫ (x 2 + y2 − 2z3 )dxdydz = 12 |
|
|
∫∫ dxdyh∫ (x 2 + y2 − 2z3 )dz = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 +y2 ≤a |
0 |
|
|
|||
= 12 |
|
|
|
|
|
|
(x 2 + y2 ) z − |
2 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∫∫ dxdy |
|
|
|
z |
4 |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 +y2 ≤a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(x 2 + y2 ) h − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 12 |
|
∫∫ dxdy |
|
dxdy = |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 +y2 ≤a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 12 h |
|
|
∫∫ (x 2 + y 2 )dxdy − 6 h 4 |
|
|
∫∫ dxdy = 12 h I1 − 6 h 4 I2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 +y2 ≤a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 +y2 ≤a |
|
|
|
|||||||
|
|
Вычисляем отдельно интегралы I1 , |
I2 : |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∫∫ (x 2 + y 2 )dxdy = |
|
x = ρ cos ϕ |
|
|
2π |
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I1 |
= |
|
= |
∫∫ ρ2 ρ dϕdρ = ∫ dϕ∫ ρ3dρ = |
||||||||||||||||||||||
|
x 2 +y2 ≤a |
|
|
|
|
|
|
y = ρsin ϕ |
x 2 +y2 ≤a |
0 |
0 |
|||||||||||||||
|
2π |
|
ρ |
4 |
|
a |
|
a |
4 |
2π = πa |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
∫ dϕ |
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ρcos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I2 |
= |
|
∫∫ dxdy = |
|
= |
|
|
|
∫∫ ρ dϕdρ = ∫ dϕ∫ ρdρ = |
|
||||||||||||||||
|
x2 +y2 ≤a |
|
|
y = ρsin ϕ |
|
|
|
x 2 +y2 ≤a |
|
0 |
0 |
|
||||||||||||||
|
2π |
|
ρ |
2 |
|
a |
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
∫ dϕ |
|
|
|
= |
|
2π = π a 2 . |
Для интеграла I2 |
можно бы и сразу написать |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ответ, так как интеграл дает площадь круга с радиусом a . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Итак: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 h 4 πa 2 = 6πha 2 (a 2 − h 3 ). |
||||||||
I = 12 h I1 − 6 h 4 I2 = 12 h πa 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
3. Материалы для самостоятельной работы студентов
3.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Определение двойного интеграла.
2.Основные свойства двойного интеграла.
3.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
4.Переход из декартовой в полярную систему координат при вычислении двойного интеграла.
5.Определение тройного интеграла.
6.Основные свойства тройного интеграла.
7.Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
8.Переход из декартовой в цилиндрическую систему координат.
9.Переход из декартовой в сферическую систему координат при вычислении тройного интеграла.
10.Определение криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги) и
его свойства.
11.Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги) в
различных видах задания дуги (декартовом, параметрическом, полярном) в
пространстве R 2 и R 3 .
12.Приложения криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги) к
задачам геометрии и механики.
13.Определение криволинейного интеграла 2-го рода (по координатам) и
его свойства.
14.Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода (по координатам) в
различных системах координат.
15.Формула Грина.
16.Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода (по координатам) от формы пути интегрирования.
17.Приложения криволинейного интеграла по координатам к задачам
физики.