7УМК
.PDF
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
t |
3 |
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
a |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
a |
|
+ |
|
|
|
|
2πa |
|
+ |
|
h |
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4π |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4π |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4π |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
4π |
|
+ h |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.3. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам, их вычисление
Рассмотрим двухмерное пространство R 2 .
Если дуга AB задана явным уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b , то криволинейный интеграл по координатам сводится к определенному интегралу с переменной x :
∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy =
AB
= ∫b X(x, f (x))dx + Y(x, f (x)) f'(x) dx = |
(2.40) |
a |
|
=b∫ (X(x, f (x)) + Y(x, f (x)) f'(x))dx .
a
Если дуга AB задана явным уравнением x = ϕ(y), c ≤ y ≤ d , то криволинейный интеграл по координатам сводится к определенному с переменной y:
∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy =
AB
=d∫ (X(ϕ(y), y) ϕ'(y) + Y(ϕ(y), y))dy .
c
Если дуга AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), α ≤ t ≤ β , то интеграл сводится к определенному с переменной t:
∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy =
AB
(2.41)
y = y(t),
= d∫ (X(x(t), y(t)) x'(t) + Y(x(t), y(t)) y'(t))dt . |
(2.42) |
c |
|
Замечание. В отличие от криволинейного интеграла первого рода интеграл второго рода при изменении направления пути интегрирования изменяет свой знак на противоположный.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ПРИМЕР 2.30. Вычислить ∫ 2(x 2 − y 2 )dx + (x + y)2 dy , где L - контур |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольника 1 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Поскольку контур прямоугольника состоит из четырех отрезков |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB; BC; CD и DA, уравнения которых |
y = 0 ; |
x = 4; |
|
y = 2 |
|
и x = 1, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy = (B∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (C∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy + (D∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ (C∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy = ∫4 2(x 2 − 02 )dx + (x + 0)2 0 + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ∫2 2(42 − y2 ) 0 + (4 + y)2 dy + ∫4 2(x 2 − 22 )dx + (x + 2)2 0 + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
(4 |
+ y) |
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
∫ 2(12 |
− y2 ) 0 |
+ (1 + y)2 dy = 2 |
x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ 2 |
x |
|
|
|
|
− 4x |
|
1 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
3 |
|
1 |
|
|
6 |
3 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
(1 + y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− 4 +16 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
+ 2 |
3 |
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 42 + 72 − |
64 |
+ |
2 |
− 2 |
64 |
+ 24 + |
|
1 |
|
− 9 = 66 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕР |
2.31. Вычислить |
|
|
∫ xdx + x 2 ydy + (x − y + 4)dz , где AB – |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отрезок, соединяющий точки A(1;−1;2) и B(4;1;3). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Выведем параметрические уравнения прямой, проходящей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
через точки A и B : |
x −1 |
= |
y +1 |
= |
z − 2 |
, т.е. |
x −1 |
= |
y +1 |
= |
z − 2 |
= t , тогда |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 −1 1 +1 3 − 2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
x = 3t +1; y = 2t −1; z = t + 2 , |
0 ≤ t ≤ 1. Итак |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ xdx +x 2 ydy + (x − y + 4)dz = 1∫ ((3t +1) 3 + (3t +1)2 (2t −1) 2 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ (3t +1 − 2t +1 + 4) 1)dt = ∫0 (9t + 3 + 36t 3 + 6t 2 −10t − 2 + t + 6)dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 1∫ (36t 3 + 6t 2 + 7)dt = 36 |
t 4 |
|
|
1 |
+ 6 |
t 3 |
|
|
1 |
+ 7t |
|
10 = 9 + 2 + 7 = 18. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.32. Вычислить ∫ (x 2 − y 2 )dx − 2xy dy , где L - произвольный
L
замкнутый контур, соединяющий точки A(1;0) и B(0;1) внутри окружности
x 2 |
+ y2 = 4 . |
|
|
|
|
|
Решение. Область D, |
являющаяся внутренностью |
окружности |
||
x 2 |
+ y2 = 4 , содержит внутри себя точки A и B. в этой области функции |
||||
X(x, y) = x 2 − y2 и Y(x, y) = −2xy являются |
непрерывными |
вместе со |
|||
своими частными производными |
∂X(x, y) = −2y |
и |
∂Y(x, y) = −2y . Значит, |
||
|
|
∂y |
|
∂x |
|
все требования условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования выполнены и ∫ (x 2 − y2 )dx − 2xy dy = 0 .
|
|
l |
|
|
|
π |
|
|
ПРИМЕР 2.33. Вычислить ∫ 2y sin 2x dx − cos 2x dy |
||||||||
от т. M |
;2 |
|||||||
|
|
MN |
|
|
|
4 |
|
|
π |
|
а) по прямой линии; |
б) по контуру MKN, состоящему из двух |
|||||
до т. N |
;1 : |
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
отрезков прямых MN и KN, где т. K |
0; |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
Решение. а) Уравнение |
прямой, проходящей |
через |
точки M и N: |
||||||
x − π 6 |
= |
y −1 |
|
или |
y = |
12 |
x −1. Сведем |
данные |
криволинейный |
π 4 − π 6 |
2 −1 |
|
|||||||
|
|
|
π |
|
|
интеграл к определенному интегралу с переменной x, спроектировав отрезок
MN на ось 0X:
(N ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|||||||||
∫ 2y sin 2xdx − cos 2xdy = ∫ 2 |
|
|
|
|
|
|
x −1 sin 2xdx − cos 2x |
|
|
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π 6 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
π 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
x sin 2x − 2 sin 2x − |
|
|
|
|
|
cos 2x dx = |
|
|
∫ x sin 2xdx − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
π 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
π 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
x |
cos 2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
− 2 ∫ sin 2xdx − |
|
|
∫ cos 2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
π 6 |
|
24 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+ cos 2x |
|
π 4 |
− |
|
|
sin 2x |
π 4 |
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
π |
12 |
|
2 |
8 |
4 |
|
2 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
−1 = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Поскольку линия интегрирования состоит из двух отрезков, то
(N ) |
|
|
(K ) |
|
∫ 2y sin 2xdx |
− cos 2xdy |
= |
∫ 2y sin 2xdx |
− cos 2x dy + |
(M ) |
|
|
(M ) |
|
(N ) |
|
|
|
|
+ ∫ 2y sin 2xdx − cos 2xdy |
= J MK + J KN . |
|
||
(K ) |
|
|
|
|
Уравнение прямых линий, на которых лежат отрезки MK и KN, соответственно
y = |
|
2 |
x + |
3 |
|
и y = − |
3 |
|
x + |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
J MK = |
|
∫ |
2 |
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2xdx − cos 2x |
|
|
|
|
dx = |
|
|
∫ |
|
|
|
x sin 2x + 3sin 2x − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
2 |
|
π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
− |
|
|
|
cos 2x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x sin 2xdx + |
|
3 ∫ sin 2xdx |
− |
|
|
|
|
∫ cos 2x dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
x |
cos 2x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
sin 2x |
|
|
= − |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
J MK = ∫ |
2 |
− |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
sin 2xdx − cos 2x |
− |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
π 6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
π 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
− |
|
|
|
x sin 2x + 3sin 2x + |
|
|
|
|
cos 2x dx |
= − |
|
|
|
|
|
∫ x sin 2xdx + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
π |
π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
π 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
π 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
x |
|
|
cos 2x + |
1 |
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 3 ∫ sin 2xdx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ cos 2xdx = − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
cos 2x |
0 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
0 |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
− |
3 |
|
|
− |
3 |
|
+ |
3 |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 2 2 2π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 4π |
|
|
|
|
|
|
|
4 2 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Итак: |
J MK |
|
|
+ J KN = − |
3 |
+1 = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подведем итог тому, что мы получили в п.а) и в п.б): так как подынтегральное выражение является полным дифференциалом, т.е.
выполняется условие (2y sin 2x)′y = (− cos 2x)′x , то по условию независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования п. б) можно было бы и не выполнять!
|
|
2.2.4. Формула Грина |
Пусть D R 2 |
- некоторая односвязная область, ограниченная замкнутой |
|
линией |
L , и пусть в этой области заданы непрерывные функции X(x, y), |
|
Y(x, y) |
вместе со |
своими непрерывными частными производными, тогда |
имеет место формула Грина: |
∂Y(x, y) |
|
∂X(x, y) |
|||
∫ |
X(x, y)dx + Y(x, y)dy = |
− |
||||
∫∫ |
|
|
||||
|
|
∂x |
dxdy , (2.24) |
|||
L |
|
D |
|
∂y |
где замкнутый контур L обходится в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.34. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому
контуру ∫ (x + y)2 dx − (x − y)2 dy , |
где L - контур, образованный синусоидой |
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin x и отрезком оси 0X при 0 ≤ x ≤ π. |
|
|
||||||
Решение. Вычисление интеграла произведем с использованием формулы |
||||||||
Грина: т.к. |
X(x, y) = (x + y)2 ; |
Y(x, y) = −(x − y)2 , то |
∂X(x, y) = 2(x + y); |
|||||
∂Y(x, y) = −2(x − y). |
|
|
|
∂y |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (x + y)2 dx − (x − y)2 dy = ∫∫ (− 2(x − y) − 2(x + y))dxdy = |
|
|||||||
L |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
π |
sin x |
π |
|
|
|||
= ∫∫ (− 4x)dxdy = −4∫ xdx ∫ dy = −4∫ x sin xdx = |
|
|||||||
D |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
= −4(− x cos x + sin x) |
|
π |
= −4(− π) (−1) = −4π. |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 2.35. Вычислить криволинейный интеграл (см. п. 3.2), но |
||||||||
применяя формулу Грина. |
|
|
|
|
|
|||
Решение. ∫ (x + y)dx − (x − y)dy = ∫∫ (− 2)dxdy . |
Здесь |
контур L - |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
||
окружность |
x 2 + y2 = R 2 , D - |
точки круга x 2 + y2 ≤ R 2 . |
Поэтому для |
вычисления двойного интеграла лучше всего перейти к полярным координатам:
|
|
|
|
2π |
R |
2π |
|
ρ |
2 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫∫ (− 2)dxdy = −2∫∫ ρdϕdρ = −2 ∫ dϕ∫ |
ρdρ = −2 ∫ dϕ |
|
|
|
= |
|||||||
D |
|
D |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
||
|
R |
2 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= −2 |
|
∫ dϕ = −2πR 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.5.Применения криволинейного интеграла второго рода
1.Площадь фигуры, расположенной в плоскостях X0Y и ограниченной замкнутой линией L , вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
1 |
|
∫ xdy − ydx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.44) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X(x, y, z); Y(x, y, z); Z(x, y, z)), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. Работа, совершаемая силой |
|
|
|
F |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
действующей на точку перемещения ее по дуге AB, вычисляется по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ∫ X(x, y, z)dx + Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz . |
|
|
|
|
|
|
(2.45) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ПРИМЕР 2.36. Найти площадь, ограниченную эллипсом |
x 2 |
+ |
y2 |
= 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|||||||||
|
|
Решение. Прежде всего представим эллипс параметрическими |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнениями |
|
x = a cos t ; |
|
|
y = b sin t , |
|
|
|
|
затем |
|
для |
|
вычисления |
площади |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользуемся формулой (2.44): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
S = |
∫ xdy − ydx = |
|
|
∫ a cos t (b cos t)dt − b sin t(− a sin t)dt = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 L |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ab |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
∫ (cos2 t + sin 2 t)dt = |
∫ dt |
|
|
= πab . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xy; y2 ; − x 2 ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ПРИМЕР 2.37. Вычислить работу силового поля |
|
|
|
F |
при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перемещении материальной точки вдоль линии L , которая получается при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пересечении |
гиперболоида |
|
|
x 2 + y2 − 2z 2 |
= 2 |
|
|
плоскостью y = x , |
|
|
|
от |
т. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(1;1;0) |
|
до т. B( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2; |
2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Решение. Приведем линию L к |
|
|
параметрическим |
уравнениям: |
пусть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = t , тогда y = t и z = |
|
t 2 −1 , где 1 ≤ t ≤ |
|
|
. По формуле (2.45) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = ∫ 2xydx + y 2 dy − x 2 dz = ∫ 2t 2 dt + t 2 dt − t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t 2 −1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= ∫ |
|
2 |
|
− t |
2 |
|
|
|
|
= |
3 ∫ t |
2 |
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 −1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= (во втором интеграле сделаем замену переменной t 2 −1 = u , тогда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u |
|
+1)udu = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
t 2 = u 2 +1; |
tdt = udu) = 3 ∫ t 2 dt − ∫ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
u |
|
|
|
|
− u |
|
10 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 22 −1 − 1 −1 = 62 − 7 . 3 3
Г
2.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если функция F(M) непрерывна в каждой точкеM гладкой поверхности σ (поверхность называется гладкой, если она имеет в каждой своей точке определенную касательную плоскость, положение которой непрерывно меняется вместе с точкой касания) и если разбить эту поверхность произвольным образом на n частичных поверхностей с площадями
S1 , S2 ,..., Sn , выбрать из каждой из них по одной произвольной точке
M1 , M 2 ,..., M n , вычислить значение функции в этих точках и составить сумму
F(M |
1 |
) |
S + F(M |
2 |
) |
S |
2 |
+...+ F(M |
n |
) S |
n |
= ∑n |
F(M |
i |
) |
S |
, |
(2.46) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(M) |
|
|
|
|||
то она называется |
интегральной суммой |
функции |
по |
|
площади |
поверхности σ.
Интегральная сумма (2.46) зависит как от способа разбиения поверхности σ, та и от выбора точек Mi , т.е. для всякой непрерывной функции F(M) и всякой гладкой поверхности σ, где эта функция определена, можно составить бесчисленное множество интегральных сумм вида (2.46). Но при неограниченном увеличении n и при стремлении к нулю наибольшей из частичных подповерхностей все эти интегральные суммы имеют один общий предел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Данный предел называется поверхностным интегралом от функции F(M) по площади поверхности σ и обозначается
∫∫ F(M)ds = |
lim |
∑n |
F(Mi ) Si . |
(2.47) |
σ |
max Si →0 i=1 |
|
|
Поверхностные интегралы подразделяются на два типа: поверхностные интегралы по площади поверхности и поверхностные интегралы по координатам. Вычисление поверхностных интегралов обеих типов сводится к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверхности σ, подынтегральное выражение преобразуется к двум переменным, областью изменения которых будет проекция поверхности σ на соответствующую (этим переменным) координатную плоскость.
Поверхностные интегралы обоих типов обладают общими для всех видов интегралов свойствами:
1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2.Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
3.Область интегрирования можно разбивать на части.
2.3.1. Поверхностные интегралы 1-го рода или по площади поверхности, их вычисление
Если поверхность σ однозначно может быть представлена в явном виде
Z = Z(x, y), то
∫∫ F(M)ds = |
∫∫ F(x, y, z(x, y)) |
|
|
|
|
dxdy . |
|
||||||||
|
1 + (z′x (x, y))2 + (z′y (x, y))2 |
|
(2.48) |
||||||||||||
σ |
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если поверхность σ однозначно может быть представлена в явном виде |
|||||||||||||||
Y = Y(x, y), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫∫ F(M)ds = |
∫∫ F(x, y(x, z), z) |
|
|
|
|
dxdz . |
|
||||||||
1 + (y′x (x, z))2 + (y′z (x, z))2 |
|
(2.49) |
|||||||||||||
σ |
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если поверхность σ однозначно может быть представлена в явном виде |
|||||||||||||||
X = X(x, y), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫∫ F(M)ds = |
∫∫ F(x(y, z), y, z) |
|
|
|
dydz . |
|
|
||||||||
1 + (x′y (y, z))2 + (x′z (y, z))2 |
|
|
(2.50) |
||||||||||||
σ |
Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В формулах (2.48) - |
(2.50) D xy , D xz , D yz - проекции поверхности σ |
||||||||||||||
соответственно на координатные плоскости XOY, XOZ, YOZ. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР |
2.38. |
Вычислить |
||||
|
z |
|
|
поверхностный интеграл 1-го рода (по |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
площади |
|
|
|
поверхности) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ (6x + 4y + 3z)ds , |
|
где |
σ |
- часть |
|||
|
C 2 |
|
|
σ |
|
|
|
|
x + 2y + 3z = 6, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенная в первом октанте (рис. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.34). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
Решение. |
|
|
|
Поверхность |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
y интегрирования есть плоскость внутри |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника ABC. Данная плоскость |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
однозначно проектируется |
на |
любую |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
из координатных плоскостей. |
|
||||||
A |
|
Рис. 2.34 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Спроектируем |
|
|
ее на |
плоскость |
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
XOY. |
Проекцией |
|
|
является |
область |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
D xy |
- треугольник |
|
AOB. Уравнение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности σ представим в виде z = 2 − x − 2 y и воспользуемся формулой
3 3
(2.48):
∫∫ (6x + 4y + 3z)ds =
σ
= ∫∫ (6x + 4y + (6 − x − 2y)) |
1 + |
− |
1 |
|
2 |
+ |
− |
2 |
2 |
dxdy = |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3− |
x |
|
|
|
|
|
||
|
14 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ∫∫ (6 + 5x + 2y) |
dxdy = |
|
∫ dx ∫2((6 + 5x) + 2y)dy = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Dxy |
3 |
|
|
3 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3− |
x |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||
|
|
14 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
∫ dx[(6 |
+ 5x)y + y |
|
] |
2 |
= |
|
|
|
|
|
∫ dx |
(6 |
+ 5x) |
|
3 − |
|
|
|
+ 3 |
− |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
6 |
(27 |
|
|
|
)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
14 |
+ |
9x − 2x |
2 |
= |
|
|
|
14 |
|
|
|
+ |
|
2 |
− |
|
3 |
|
= 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
27x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
14 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.38. Вычислить ∫∫ (x 2 + y2 )ds , где σ - поверхность тела,
σ
образованного конусом y = x 2 + y2 и плоскостью y = 1 (рис. 2.35).
z
0
x
Рис. 2.35
Решение. Заданная поверхность состоит из двух поверхностей
|
|
|
σ1 : y = x 2 + z 2 |
и σ2 : y = 1, |
которые однозначно проектируются на координатную плоскость XOZ. Проекцией является круг
y |
x |
2 |
+ y |
2 |
= 1, |
это область |
Dxz . |
|
|
|
Воспользуемся третьим общим свойством интегралов и формулой
(2.49):
∫∫ (x 2 + y2 )ds = ∫∫ (x 2 + y2 )ds + ∫∫ (x 2 + y2 )ds =
σ |
|
|
|
|
|
σ1 |
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∫∫ (x 2 + (x 2 + z 2 ))ds + ∫∫ (x 2 +1)ds = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
σ1 |
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ∫∫ (2x |
2 |
|
2 |
) |
|
|
x |
|
|
2 |
|
z |
|
2 |
dxdz + |
|||||
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||
Dxz |
|
|
|
|
|
|
x |
2 + z 2 |
|
x 2 + z 2 |
|
|||||||||
+ ∫∫ (x 2 +1) |
|
|
|
|
|
dxdz = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
+ 02 + 02 |
|
|
|
|
|
|
|
Dxz
= ∫∫ (2x 2 + z 2 ) |
|
dxdz + ∫∫ (x 2 +1) dxdz = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxz |
|
|
x = ρcos ϕ, |
|
z = ρsin ϕ) |
|||||||||||||
(Перейдем к полярным координатам: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ (2ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ) ρ dϕdρ + ∫∫ (ρ2 cos2 ϕ +1) ρ dρdϕ = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxz |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
1 |
|
(1 + cos2 ϕ) ρ3 dρ + |
2π |
1 |
(1 + ρ2 cos2 ϕ) ρ dρ = |
||||||||||||||||||||||
= |
|
2 |
|
|
|
∫ dϕ∫ |
∫ dϕ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
2π |
1 |
|
|
|
|
2π |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
2 |
|
|
|
∫ |
(1 |
+ cos2 ϕ)dϕ |
ρ |
|
|
+ |
∫ dϕ∫ |
ρdρ + |
∫ cos2 |
ϕdϕ∫ ρ3dρ = |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π1 + cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2π1 + cos 2ϕ |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
0 |
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
+ π + |
|
|
∫ |
|
|
|
dϕ = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
2 |
|
|
||||||||||
= |
|
|
π |
|
+ |
|
π |
+ π + π = |
3 |
|
+ 5 |
π . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.2. Приложения поверхностных интегралов первого рода
Площадь поверхности σ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла (2.47), полагая F(M) ≡ 1,
|
|
|
|
S = ∫∫ ds . |
|
|
|
|
|
(2.51) |
||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Массу m материальной поверхности σ можно вычислить по формуле |
||||||||||||||
|
|
|
|
m = ∫∫ F(x, y, z)ds , |
|
|
|
|
(2.52) |
|||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где функция F(x, y, z) - имеет смысл поверхностной плотности. |
||||||||||||||
Статические моменты |
M xoy , M xoz , |
M yoz |
материальной поверхности |
|||||||||||
относительно плоскостей XOY, XOZ, YOZ определяются по формулам |
||||||||||||||
M xoy = ∫∫ z F(x, y, z)ds , |
|
M xoz |
= ∫∫ y F(x, y, z)ds , |
|||||||||||
σ |
M yoz = ∫∫ x F(x, y, z)ds . |
σ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(2.53) |
|||||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда формулы для вычисления координат центра масс материальной |
||||||||||||||
поверхности σ имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x c = |
M yoz |
|
, |
yc = |
M |
xoz |
|
, |
zc = |
M xoy |
|
, |
(2.54) |
|
m |
|
m |
|
m |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где m – масса поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности σ |
|||
Моменты инерции |
I xoy , I xoz , |
I yoz |
|
материальной |
|
относительно координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ вычисляются по формулам