Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

																									2π											2π
					h		2												h		2		t	3						h	2
							2														2			3							2
		2							a			2		2	π													2						2				2
		2										2		2	π													2						2				2
=	a		+										t			+										=	a		+				2πa		+		h		=
=	a		+										t			+										=	a		+				2πa		+		h		=
					4π			2						0					4π			2	3							4π		2				3
								2						0								2										2
																									0
																									0
																	h		2
			2		2					2				2					2
=	4π		2		2	+ h				2				2	+
				a							a									.
				a							a							3		.
																		3

2.2.3. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам, их вычисление

Рассмотрим двухмерное пространство R 2 .

Если дуга AB задана явным уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b , то криволинейный интеграл по координатам сводится к определенному интегралу с переменной x :

∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy =

= ∫b X(x, f (x))dx + Y(x, f (x)) f'(x) dx =	(2.40)
a

=b∫ (X(x, f (x)) + Y(x, f (x)) f'(x))dx .

Если дуга AB задана явным уравнением x = ϕ(y), c ≤ y ≤ d , то криволинейный интеграл по координатам сводится к определенному с переменной y:

∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy =

=d∫ (X(ϕ(y), y) ϕ'(y) + Y(ϕ(y), y))dy .

Если дуга AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), α ≤ t ≤ β , то интеграл сводится к определенному с переменной t:

∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy =

(2.41)

y = y(t),

= d∫ (X(x(t), y(t)) x'(t) + Y(x(t), y(t)) y'(t))dt .	(2.42)
c

Замечание. В отличие от криволинейного интеграла первого рода интеграл второго рода при изменении направления пути интегрирования изменяет свой знак на противоположный.

											Примеры решения задач
		ПРИМЕР 2.30. Вычислить ∫ 2(x 2 − y 2 )dx + (x + y)2 dy , где L - контур
																	L
прямоугольника 1 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 2.
		Решение. Поскольку контур прямоугольника состоит из четырех отрезков
AB; BC; CD и DA, уравнения которых																							y = 0 ;					x = 4;				y = 2					и x = 1, то
∫ 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy = (B∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy +
l															(A )
= (C∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy + (D∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy +
		(B)																	(C )
+ (C∫ ) 2(x 2 − y2 )dx + (x + y)2 dy = ∫4 2(x 2 − 02 )dx + (x + 0)2 0 +
	(D )																	1
= ∫2 2(42 − y2 ) 0 + (4 + y)2 dy + ∫4 2(x 2 − 22 )dx + (x + 2)2 0 +
	0															1
	0																		3		4	(4	+ y)			3	2				3		1


=		∫ 2(12	− y2 ) 0			+ (1 + y)2 dy = 2											x				+							+ 2	x					− 4x				1		+
																	x												x

	2															3							3							3								4
	2															3							3							3								4
				0																	1						0						4
			3	0			4	3		1			6	3		4		3				1		4	3									1		3	3
		(1 + y)					4			1			6			4						1		4										1		3
+									−			+			−								−			− 4 +16									−				=
+	3				= 2				−			+	3		−	3				+ 2		3	−	3		− 4 +16				+					−				=
	3			2		3 3							3			3						3		3										3 3
				2

= 42 + 72 −

− 2

+ 24 +

− 9 = 66 .

ПРИМЕР

2.31. Вычислить

∫ xdx + x 2 ydy + (x − y + 4)dz , где AB –

отрезок, соединяющий точки A(1;−1;2) и B(4;1;3).

Решение. Выведем параметрические уравнения прямой, проходящей

через точки A и B :

x −1

y +1

z − 2

, т.е.

x −1

y +1

z − 2

= t , тогда

4 −1 1 +1 3 − 2

x = 3t +1; y = 2t −1; z = t + 2 ,

0 ≤ t ≤ 1. Итак

∫ xdx +x 2 ydy + (x − y + 4)dz = 1∫ ((3t +1) 3 + (3t +1)2 (2t −1) 2 +

+ (3t +1 − 2t +1 + 4) 1)dt = ∫0 (9t + 3 + 36t 3 + 6t 2 −10t − 2 + t + 6)dt =

= 1∫ (36t 3 + 6t 2 + 7)dt = 36

t 4

+ 6

t 3

+ 7t

10 = 9 + 2 + 7 = 18.

ПРИМЕР 2.32. Вычислить ∫ (x 2 − y 2 )dx − 2xy dy , где L - произвольный

замкнутый контур, соединяющий точки A(1;0) и B(0;1) внутри окружности

x 2	+ y2 = 4 .
	Решение. Область D,	являющаяся внутренностью			окружности
x 2	+ y2 = 4 , содержит внутри себя точки A и B. в этой области функции
X(x, y) = x 2 − y2 и Y(x, y) = −2xy являются			непрерывными		вместе со
своими частными производными		∂X(x, y) = −2y	и	∂Y(x, y) = −2y . Значит,
		∂y		∂x

все требования условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования выполнены и ∫ (x 2 − y2 )dx − 2xy dy = 0 .

		l			π
ПРИМЕР 2.33. Вычислить ∫ 2y sin 2x dx − cos 2x dy					π
ПРИМЕР 2.33. Вычислить ∫ 2y sin 2x dx − cos 2x dy					от т. M	;2
		MN			4
π		а) по прямой линии;	б) по контуру MKN, состоящему из двух
до т. N	;1 :	а) по прямой линии;	б) по контуру MKN, состоящему из двух
6
			3
отрезков прямых MN и KN, где т. K			0;	.
отрезков прямых MN и KN, где т. K			0;	.
			2

Решение. а) Уравнение				прямой, проходящей			через	точки M и N:
x − π 6	=	y −1	или	y =	12	x −1. Сведем	данные	криволинейный
π 4 − π 6		2 −1
					π

интеграл к определенному интегралу с переменной x, спроектировав отрезок

MN на ось 0X:

(N )

π 6

∫ 2y sin 2xdx − cos 2xdy = ∫ 2

x −1 sin 2xdx − cos 2x

dx =

(M )

π 4

π 6

= ∫

x sin 2x − 2 sin 2x −

cos 2x dx =

∫ x sin 2xdx −

π 4

π 6

cos 2x

π 6

− 2 ∫ sin 2xdx −

∫ cos 2xdx =

−

sin 2x

π 4

π 6

+ cos 2x

π 4

−

sin 2x

π 4

−

−1 = −

б) Поскольку линия интегрирования состоит из двух отрезков, то

(N )			(K )
∫ 2y sin 2xdx	− cos 2xdy	=	∫ 2y sin 2xdx	− cos 2x dy +
(M )			(M )
(N )
+ ∫ 2y sin 2xdx − cos 2xdy			= J MK + J KN .
(K )

Уравнение прямых линий, на которых лежат отрезки MK и KN, соответственно

y =

x +

и y = −

x +

J MK =

∫

sin 2xdx − cos 2x

dx =

∫

x sin 2x + 3sin 2x −

π 4

−

cos 2x dx =

∫ x sin 2xdx +

3 ∫ sin 2xdx

−

∫ cos 2x dx =

π π 4

π 4

cos 2x +

−

sin 2x

−

cos 2x

−

sin 2x

= −

π 4

π 6

J MK = ∫

−

x +

sin 2xdx − cos 2x

−

dx =

π 6

= ∫

−

x sin 2x + 3sin 2x +

cos 2x dx

= −

∫ x sin 2xdx +

π 6

cos 2x +

π 6

+ 3 ∫ sin 2xdx +

∫ cos 2xdx = −

−

sin 2x

−

π 6

−

cos 2x

sin 2x

= −

−

2π

−

= 1.

2 2 2 2π

4 4π

4 2 4π

Итак:

J MK

+ J KN = −

+1 = −

Подведем итог тому, что мы получили в п.а) и в п.б): так как подынтегральное выражение является полным дифференциалом, т.е.

выполняется условие (2y sin 2x)′y = (− cos 2x)′x , то по условию независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования п. б) можно было бы и не выполнять!

		2.2.4. Формула Грина
Пусть D R 2		- некоторая односвязная область, ограниченная замкнутой
линией	L , и пусть в этой области заданы непрерывные функции X(x, y),
Y(x, y)	вместе со	своими непрерывными частными производными, тогда

имеет место формула Грина:		∂Y(x, y)			∂X(x, y)
∫	X(x, y)dx + Y(x, y)dy =	∂Y(x, y)		−	∂X(x, y)
∫		∫∫
			∂x		dxdy , (2.24)
L		D	∂x		∂y

где замкнутый контур L обходится в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.34. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому

контуру ∫ (x + y)2 dx − (x − y)2 dy ,				где L - контур, образованный синусоидой
L
y = sin x и отрезком оси 0X при 0 ≤ x ≤ π.
Решение. Вычисление интеграла произведем с использованием формулы
Грина: т.к.	X(x, y) = (x + y)2 ;		Y(x, y) = −(x − y)2 , то			∂X(x, y) = 2(x + y);
∂Y(x, y) = −2(x − y).						∂y
∂Y(x, y) = −2(x − y).
∂x
∫ (x + y)2 dx − (x − y)2 dy = ∫∫ (− 2(x − y) − 2(x + y))dxdy =
L			D
	π		sin x		π
= ∫∫ (− 4x)dxdy = −4∫ xdx ∫ dy = −4∫ x sin xdx =
D	0		0		0
= −4(− x cos x + sin x)		π	= −4(− π) (−1) = −4π.
= −4(− x cos x + sin x)		π	= −4(− π) (−1) = −4π.
		0
		0
ПРИМЕР 2.35. Вычислить криволинейный интеграл (см. п. 3.2), но
применяя формулу Грина.
Решение. ∫ (x + y)dx − (x − y)dy = ∫∫ (− 2)dxdy .						Здесь	контур L -
	L
окружность	x 2 + y2 = R 2 , D -			точки круга x 2 + y2 ≤ R 2 .			Поэтому для

вычисления двойного интеграла лучше всего перейти к полярным координатам:

2π

∫∫ (− 2)dxdy = −2∫∫ ρdϕdρ = −2 ∫ dϕ∫

ρdρ = −2 ∫ dϕ

2π

= −2

∫ dϕ = −2πR 2 .

2.2.5.Применения криволинейного интеграла второго рода

1.Площадь фигуры, расположенной в плоскостях X0Y и ограниченной замкнутой линией L , вычисляется по формуле

S =

∫ xdy − ydx .

(2.44)

2 L

(X(x, y, z); Y(x, y, z); Z(x, y, z)),

2. Работа, совершаемая силой

действующей на точку перемещения ее по дуге AB, вычисляется по формуле

A = ∫ X(x, y, z)dx + Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz .

(2.45)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.36. Найти площадь, ограниченную эллипсом

x 2

= 1.

a 2

Решение. Прежде всего представим эллипс параметрическими

уравнениями

x = a cos t ;

y = b sin t ,

затем

для

вычисления

площади

воспользуемся формулой (2.44):

2π

S =

∫ xdy − ydx =

∫ a cos t (b cos t)dt − b sin t(− a sin t)dt =

2 L

2π

∫ (cos2 t + sin 2 t)dt =

∫ dt

= πab .

(2xy; y2 ; − x 2 )

ПРИМЕР 2.37. Вычислить работу силового поля

при

перемещении материальной точки вдоль линии L , которая получается при

пересечении

гиперболоида

x 2 + y2 − 2z 2

= 2

плоскостью y = x ,

от

т.

A(1;1;0)

до т. B(

2;1).

Решение. Приведем линию L к

параметрическим

уравнениям:

пусть

x = t , тогда y = t и z =

t 2 −1 , где 1 ≤ t ≤

. По формуле (2.45)

tdt

A = ∫ 2xydx + y 2 dy − x 2 dz = ∫ 2t 2 dt + t 2 dt − t 2

t 2 −1 =

tdt

= ∫

− t

3 ∫ t

− ∫

t 2 −1

= (во втором интеграле сделаем замену переменной t 2 −1 = u , тогда

+1)udu = 3

t 2 = u 2 +1;

tdt = udu) = 3 ∫ t 2 dt − ∫

−

− u

= 22 −1 − 1 −1 = 62 − 7 . 3 3

2.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Если функция F(M) непрерывна в каждой точкеM гладкой поверхности σ (поверхность называется гладкой, если она имеет в каждой своей точке определенную касательную плоскость, положение которой непрерывно меняется вместе с точкой касания) и если разбить эту поверхность произвольным образом на n частичных поверхностей с площадями

S1 , S2 ,..., Sn , выбрать из каждой из них по одной произвольной точке

M1 , M 2 ,..., M n , вычислить значение функции в этих точках и составить сумму

F(M

)

S + F(M

)

+...+ F(M

) S

= ∑n

F(M

)

(2.46)

i=1

F(M)

то она называется

интегральной суммой

функции

по

площади

поверхности σ.

Интегральная сумма (2.46) зависит как от способа разбиения поверхности σ, та и от выбора точек Mi , т.е. для всякой непрерывной функции F(M) и всякой гладкой поверхности σ, где эта функция определена, можно составить бесчисленное множество интегральных сумм вида (2.46). Но при неограниченном увеличении n и при стремлении к нулю наибольшей из частичных подповерхностей все эти интегральные суммы имеют один общий предел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Данный предел называется поверхностным интегралом от функции F(M) по площади поверхности σ и обозначается

∫∫ F(M)ds =	lim	∑n	F(Mi ) Si .	(2.47)
σ	max Si →0 i=1

Поверхностные интегралы подразделяются на два типа: поверхностные интегралы по площади поверхности и поверхностные интегралы по координатам. Вычисление поверхностных интегралов обеих типов сводится к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверхности σ, подынтегральное выражение преобразуется к двум переменным, областью изменения которых будет проекция поверхности σ на соответствующую (этим переменным) координатную плоскость.

Поверхностные интегралы обоих типов обладают общими для всех видов интегралов свойствами:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2.Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

3.Область интегрирования можно разбивать на части.

2.3.1. Поверхностные интегралы 1-го рода или по площади поверхности, их вычисление

Если поверхность σ однозначно может быть представлена в явном виде

Z = Z(x, y), то

∫∫ F(M)ds =

∫∫ F(x, y, z(x, y))

dxdy .

1 + (z′x (x, y))2 + (z′y (x, y))2

(2.48)

Dxy

Если поверхность σ однозначно может быть представлена в явном виде

Y = Y(x, y), то

∫∫ F(M)ds =

∫∫ F(x, y(x, z), z)

dxdz .

1 + (y′x (x, z))2 + (y′z (x, z))2

(2.49)

Dxz

Если поверхность σ однозначно может быть представлена в явном виде

X = X(x, y), то

∫∫ F(M)ds =

∫∫ F(x(y, z), y, z)

dydz .

1 + (x′y (y, z))2 + (x′z (y, z))2

(2.50)

Dyz

В формулах (2.48) -

(2.50) D xy , D xz , D yz - проекции поверхности σ

соответственно на координатные плоскости XOY, XOZ, YOZ.

Примеры решения задач

ПРИМЕР

2.38.

Вычислить

поверхностный интеграл 1-го рода (по

площади

поверхности)

∫∫ (6x + 4y + 3z)ds ,

где

- часть

C 2

x + 2y + 3z = 6,

плоскости

расположенная в первом октанте (рис.

2.34).

Решение.

Поверхность

y интегрирования есть плоскость внутри

треугольника ABC. Данная плоскость

однозначно проектируется

на

любую

из координатных плоскостей.

Рис. 2.34

Спроектируем

ее на

плоскость

XOY.

Проекцией

является

область

D xy

- треугольник

AOB. Уравнение

поверхности σ представим в виде z = 2 − x − 2 y и воспользуемся формулой

3 3

(2.48):

∫∫ (6x + 4y + 3z)ds =

= ∫∫ (6x + 4y + (6 − x − 2y))

1 +

−

dxdy =

Dxy

3−

= ∫∫ (6 + 5x + 2y)

dxdy =

∫ dx ∫2((6 + 5x) + 2y)dy =

Dxy

		6									3−	x						6														x				x	2
	14								2			x					14
	14								2								14
=			∫ dx[(6			+ 5x)y + y				]	2		=						∫ dx			(6		+ 5x)					3 −				+ 3		−			=
=			∫ dx[(6			+ 5x)y + y				]	2		=						∫ dx			(6		+ 5x)					3 −				+ 3		−			=
	3										0				3 0																	2				2
	3	0													3 0																	2				2
		6		(27				)dx													9					2				6
=	14				+	9x − 2x	2				=			14						+				2	−			3		6	= 60
	14						2							14										2				3
			∫													27x							x				x							14 .
			∫													27x							x				x							14 .
	3	0											3								2					3				0
		0																												0

ПРИМЕР 2.38. Вычислить ∫∫ (x 2 + y2 )ds , где σ - поверхность тела,

образованного конусом y = x 2 + y2 и плоскостью y = 1 (рис. 2.35).

Рис. 2.35

Решение. Заданная поверхность состоит из двух поверхностей


σ1 : y = x 2 + z 2		и σ2 : y = 1,

которые однозначно проектируются на координатную плоскость XOZ. Проекцией является круг

y	x	2	+ y	2	= 1,	это область	Dxz .

Воспользуемся третьим общим свойством интегралов и формулой

(2.49):

∫∫ (x 2 + y2 )ds = ∫∫ (x 2 + y2 )ds + ∫∫ (x 2 + y2 )ds =

σ1

σ2

= ∫∫ (x 2 + (x 2 + z 2 ))ds + ∫∫ (x 2 +1)ds =

σ1

σ2

= ∫∫ (2x

)

dxdz +

+ z

1 +

Dxz

2 + z 2

x 2 + z 2

+ ∫∫ (x 2 +1)

dxdz =

+ 02 + 02

Dxz

= ∫∫ (2x 2 + z 2 )															dxdz + ∫∫ (x 2 +1) dxdz =
= ∫∫ (2x 2 + z 2 )														2	dxdz + ∫∫ (x 2 +1) dxdz =
	Dxz																		Dxz					x = ρcos ϕ,				z = ρsin ϕ)
(Перейдем к полярным координатам:																								x = ρcos ϕ,				z = ρsin ϕ)
=						∫∫ (2ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ) ρ dϕdρ + ∫∫ (ρ2 cos2 ϕ +1) ρ dρdϕ =
=		2
					Dxz																					Dxz
					2π			1		(1 + cos2 ϕ) ρ3 dρ +												2π		1	(1 + ρ2 cos2 ϕ) ρ dρ =
=		2				∫ dϕ∫				(1 + cos2 ϕ) ρ3 dρ +												∫ dϕ∫			(1 + ρ2 cos2 ϕ) ρ dρ =
	0							0														0		0
					2π												4	1		2π		1				2π	1
					2π												4	1		2π		1				2π	1
=		2				∫	(1	+ cos2 ϕ)dϕ								ρ		+		∫ dϕ∫				ρdρ +		∫ cos2	ϕdϕ∫ ρ3dρ =
	0															4				0		0				0	0
																		0
																		0
											2π1 + cos 2ϕ													1	2π1 + cos 2ϕ
			2					2π
			2					2π
=							ϕ	0		+ ∫								dϕ		+ π +					∫			dϕ =
=							ϕ	0		+ ∫								dϕ		+ π +					∫			dϕ =
	4									0				2										4	0	2
=				π					+			π	+ π + π =						3		+ 5		π .
			2	π							2								3	2	+ 5
											2
	2									4						4				4

2.3.2. Приложения поверхностных интегралов первого рода

Площадь поверхности σ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла (2.47), полагая F(M) ≡ 1,

S = ∫∫ ds .

(2.51)

Массу m материальной поверхности σ можно вычислить по формуле

m = ∫∫ F(x, y, z)ds ,

(2.52)

где функция F(x, y, z) - имеет смысл поверхностной плотности.

Статические моменты

M xoy , M xoz ,

M yoz

материальной поверхности

относительно плоскостей XOY, XOZ, YOZ определяются по формулам

M xoy = ∫∫ z F(x, y, z)ds ,

M xoz

= ∫∫ y F(x, y, z)ds ,

M yoz = ∫∫ x F(x, y, z)ds .

(2.53)

Тогда формулы для вычисления координат центра масс материальной

поверхности σ имеют вид:

x c =

M yoz

yc =

xoz

zc =

M xoy

(2.54)

где m – масса поверхности.

поверхности σ

Моменты инерции

I xoy , I xoz ,

I yoz

материальной

относительно координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ вычисляются по формулам

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.12.2018678.91 Кб3171-88.doc
#
21.09.201980.04 Кб32719664.docx
#
22.12.20183.46 Mб48738_s96.doc
#
17.04.20191.24 Mб14745_f86.doc
#
10.07.2019967.17 Кб127_Экономическая часть_7.doc
#
17.03.20152.11 Mб267УМК.PDF
#
20.07.20191.3 Mб78 деятели.rtf
#
01.04.20251.84 Mб18 Иллюстрация уравнения Бернулли.doc
#
17.03.2015494.92 Кб648 Расчет пространственной модели здания.pdf
#
18.09.201979.36 Кб68 часть.doc
#
19.07.20194.81 Mб118. Дозатор.doc