Основные определения

1. Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенны: стремление к минимальному общему числу опытов; одновременное варьирование всеми переменными по определенному алгоритму; использование математического аппарата, формализующего действия экспериментатора, выбор четкой стратегии проведения опытов.

2. Изучаемая функция y (29) называется функцией отклика и является математической моделью объекта исследования.

3. Независимые переменные , влияющие на ход протекания процесса, называются факторами. Значения, которые каждый фактор принимает в опытах, называют уровнями фактора.

4. Геометрический образ, соответствующий данной функции отклика, есть поверхность отклика, а координатное пространство, по осям которого отложены факторы, называется факторным пространством.

Чтобы определить число различных состояний системы в эксперименте, необходимо число уровней факторов (если оно одинаково для всех факторов) возвести в степень числа факторов , тогда определит количество необходимых опытов. Для уменьшения числа опытов на начальной стадии исследования обычно принимают или используют так называемый дробный факторный эксперимент.

Перечислим основные требования, предъявляемые к параметру оптимизации и факторам, а также дадим некоторые рекомендации по выбору функции отклика.

Выходной параметр процесса должен быть:

1) задан количественно, т.е. иметь численное значение;

2) однозначен, т.е. заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение выходного параметра;

3) эффективен с точки зрения достижения цели и в статистическом смысле;

4) универсален (наиболее хороши здесь обобщенные параметры такие, например, как рассмотренные в разделе теории безразмерные комплексы);

5) прост и иметь ясный физический смысл;

6) действителен для всех различных состояний.

Факторы должны быть управляемыми, т.е. чтобы можно было, задав нужное их значение, поддерживать его на постоянном уровне в течение всего эксперимента. Точность замера факторов необходима возможно более высокая. Вся совокупность факторов должна быть совместима, а сами факторы – независимы, т.е. необходимо выполнение условия установить фактор на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Требование некоррелированности не означает, что между значениями факторов нет никакой связи. Достаточно, чтобы эта связь не была линейной.

Если нет способа количественно измерить выходной параметр или фактор, то приходится пользоваться ранжированием (ранговым подходом). При этом параметру присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.п. Легко заметить, что для каждого физически измеряемого параметра можно построить ранговый аналог. Однако желательно отдавать предпочтение физическому измерению.

Главным требованием к функции отклика является ее способность с необходимой точностью предсказывать направление дальнейших опытов, причем точность предсказания во всех возможных направлениях должна быть одинаковой. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заранее заданную величину. Проверка выполнимости этого условия называется проверкой адекватности модели.

Метод ПФЭ дает возможность получить математическое описание исследуемого объекта или процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности точки с координатами . Эта точка называется центром эксперимента. ПФЭ тем эффективнее, чем большее число независимых переменных принимается во внимание, однако количество опытов при этом растет.

Рассмотрим основные этапы метода ПФЭ.

Первым этапом является определение центра эксперимента в области изменения факторов, т.е. заполнение табл. 2.

Табл. 2

№ п/п	Характеристика эксперимента	Факторы
1	Основной уровень
2	Интервал варьирования
3	Нижний уровень
4	Верхний уровень

Одним из самых ответственных моментов этого этапа является правильный выбор интервалов варьирования факторами . При слишком малом значении функция отклика может очень слабо реагировать на изменение фактора в пределах от нижнего до верхнего уровней. Выбор слишком большого интервала варьирования также приводит к отрицательным результатам.

Что же может служить исходным для правильного выбора ? Для начала это априорные сведения о степени влияния каждого фактора на рассматриваемый процесс. Они могут быть получены из уже проведенных аналогичных исследований, из предварительных однофакторных экспериментов или же из соответствующей научной литературы. В крайнем случае интервалы варьирования выбираются интуитивно. Тем более, что сам метод ПФЭ после его реализации дает информацию о том, насколько правильно выбраны и как их нужно изменить, если они были выбраны неверно.

На интервалы варьирования накладываются естественные ограничения. Они не могут быть меньше ошибки, с которой фиксируются уровни факторов; не могут быть настолько большими, чтобы верхний и нижний уровни оказались за пределами области существования. В задачах оптимизации для первой серии опытов выбирается такая подобласть факторного пространства, чтобы обеспечить возможность шагового движения к экстремуму. В задачах интерполяции интервалы охватывают всю исследуемую область.

Выбор интервалов варьирования – трудная неформализованная задач, которая решается по результатам анализа точности фиксации уровней факторов, сведений о кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра выхода. На предварительном этапе исследования можно рекомендовать следующие границы варьирования: широкий интервал – он составляет более 30% от области определения фактора; средний – от 10 до 30%; узкий – менее 10% от области определения. Однако в каждой конкретной задаче приходится специально определять эти понятия градаций.

Второй этап метода ПФЭ включает преобразование факторов из натурального масштаба в безразмерный, что облегчает в дальнейшем математическую обработку результатов эксперимента. Для этого можно воспользоваться формулой

, (30)

где - кодировочное значение фактора;

- натуральное значение фактора;

- натуральное значение основного уровня;

- интервал варьирования;

- номер фактора.

При методе ПФЭ функцию отклика обычно ищут в виде

(31)

Причем в ряде случаем достаточно лишь линейной зависимости от , т.е.

(32)

Основанием для такого упрощения может служить следующее положение. Из курса математического анализа известно, что достаточно «хорошую» функцию от многих переменных в окрестности некоторой точки, например, точки с координатами , можно разложить в ряд Тейлора. Если же эта окрестность достаточно мала, то линейная часть разложения ряда Тейлора будет вполне удовлетворительно описывать поведение этой функции. Учитывая сказанное, легко понять, почему слишком большой интервал варьирования может привести к неправильному результату.

Третий этап – составление матрицы планирования. В методе ПФЭ эксперимент обычно проводится только на двух уровнях для каждой из переменных (факторов) (на нижнем уровне и на верхнем уровне ), причем кодированные переменные соответственно принимают значения -1 и +1 согласно формуле (30). На основании этих соображений строится матрица планирования, а система экспериментов должна содержать все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

Условия опытов полного двухфакторного эксперимента представлены в табл. 3.

Табл. 3

Номер опыта	Факторы		Результаты параллельных опытов	Среднее значение
1	-1	-1
2	+1	-1
3	-1	+1
4	+1	+1

Например, опыт №2 означает, что его необходимо реализовать при значении первого фактора, выдержанном на верхнем уровне (+1), а второго – на нижнем (-1). Нужные значения факторов в натуральном масштабе для выполнения этого условия находятся из табл. 2. При построении плана ПФЭ обычно не принято писать единицы, так как по договоренности эксперимент проводится лишь на двух уровнях (±1), поэтому в табл. 3 пишут только знак «-» или «+».

Полный трехфакторный эксперимент может быть получен на основе двухфакторного так, как это показано в табл. 4 или любым иным способом. Аналогично строится ПФЭ и для большего числа факторов.

Табл. 4

Номер опыта	Факторы			Результаты параллельных опытов	Среднее значение
1	-	-	-
2	+	-	-
3	-	+	-
4	+	+	-
5	-	-	+
6	+	-	+
7	-	+	+
8	+	+	+

При реализации плана ПФЭ обычно повторяют γ раз каждый опыт. Это необходимо для дальнейшей статистической обработки результатов эксперимента. Причем γ принимают равным 2-4 или более. Так, при нормальном законе распределения необходимо провести не менее десяти параллельных опытов. Тогда под следует понимать среднее арифметическое по результатам параллельных опытов, т.е.

.(33)

Для более точного определения средних могут быть использованы формулы теории вероятностей.

Четвертый этап состоит в заполнении последних столбцов табл. 3 или 4, что может быть выполнено только после проведения экспериментов, предписанных матрицами планирования.

Пятым этапом в этой серии является обработка полученных данных с использованием аппарата математической статистики, причем процедура включает следующие позиции.

1. Проверка воспроизводимости результатов эксперимента

Прежде всего необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы, т.е. статистически достоверны. Для этой цели в каждой серии параллельных экспериментов, проведенных в одинаковых условиях, определяются дисперсии:

(34)

Для проверки воспроизводимости опытов находят отношение наибольшей из дисперсий к сумме всех остальных:

(35)

Величина называется расчетным значением критерия Кохрена. Она сравнивается с табличным значением (см. приложение 1). Для определения требуется знать доверительную вероятность и число степеней свободы , связанные с каждой из дисперсий . Обычно принимают надежность опытов , а рассчитывают по формуле

.

Если выполняется условие

,

то опыты считаются воспроизводимым, а оценки дисперсий - однородными.

Если опыты невоспроизводимы, то необходимо выявить источники нестабильности эксперимента, ликвидировать их и повторить эксперимент снова. В том случае, когда нельзя достигнуть воспроизводимости эксперимента, математические методы планирования применять нельзя. Возможны такие варианты, когда не будет воспроизводиться серия параллельных опытов, которые, скажем, имеют в результате наибольшую дисперсию. Это может произойти в случае «выброса» эксперимента, например, в результате ошибки показаний прибора. Тогда можно заменить этот опыт повторным или отбросить указанное значение, пересчитав соответствующим образом дисперсию.

2. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии

Коэффициенты уравнения (31) вычисляются по формулам:

(36)

(37)

(38)

где - количество экспериментов (параллельные опыты не считаются). Для табл. 3 , для табл. 4 .

Заключительной процедурой является статистическая проверка результатов проведенной серии экспериментов.

3. Проверка на значимость коэффициентов и .

Некоторые из коэффициентов уравнения (31) могут оказаться пренебрежимо малыми – статистически незначимыми. Чтобы установить это, необходимо прежде всего вычислить оценку дисперсии единичного измерения:

(39)

Тогда дисперсия среднего равна

(40)

и ошибка эксперимента составляет

(41)

Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполняется условие

(42)

где - табличное значение критерия Стьюдента (см. приложение 2).

Расчетное значение определяется из формулы

(43)

Для нахождения по таблицам необходимо знать доверительную вероятность (надежность) и число степеней свободы . Первая принимается равной 0,95, а вычисляется следующим способом:

.

В случае, если условие (42) не выполняется для какого-либо коэффициента , то соответствующий фактор можно исключить из уравнения (31).

4. Проверка уравнения регрессии на адекватность

Получив в результате проведения и обработки серии опытов уравнение (31), следует проверить его адекватность (эквивалентность) результатам эксперимента с помощью критерия Фишера, представляющего собой отношение

(44)

где - оценка дисперсий адекватности, которая для уравнения (32) находится по формуле

(45)

где - число факторов, а - число степеней свободы при оценке дисперсии адекватности.

Уравнение (32) считается адекватным результатам экспериментов и может быть использовано, если выполнено условие

(46)

где - табличное значение критерия Фишера (см. приложение 3).

Для определения значения по таблице необходимо знать число степеней свободы, связанных с числителем и знаменателем выражения (44) и доверительную вероятность , которая принимается равной 0,95.

На этом заканчивается статистическая обработка результатов проведенного эксперимента и принимается решение о выборе следующей серии опытов в зависимости от целей и задач исследования.

В заключение рассмотрим пример.

Пример. С помощью метода ПФЭ требуется найти математическую зависимость толщины смазочного слоя в точке минимума приведенного радиуса кривизны поверхностей зубьев на линии зацепления прямозубой цилиндрической пары в функции кинематических параметров контакта – скорости скольжения и суммарной скорости качения профилей. Искомая зависимость должна быть построена в окрестности точки факторного пространства с координатами и .

Будем считать, что экспериментальные исследования выполнены на установке с разомкнутым силовым и кинематическим контурами, описанной в разделе 2, по методике, рассмотренной в 2.6. В результате проведения серии опытов в окрестности выбранной точки факторного пространства получены данные, которые сведены в табл. 6.

Решение. Математическую зависимость будем искать в виде

,

где , ; .

Основные характеристики плана эксперимента приведены в табл. 5. Интервалы варьирования факторов выбраны в соответствии с рекомендациями, данными ранее.

Табл. 5

Характеристики
Основной уровень	4,91	1,31
Интервал варьирования	0,3	0,007
Верхний уровень	5,21	1,38
Нижний уровень	4,61	1,24

Матрица планирования и результаты полного факторного эксперимента представлены в табл. 6.

№ п/п					Результаты параллельных опытов , мкм			Среднее значение
1	-	-	4,61	1,24	3,96	3,82	4,17	3,98
2	+	-	5,21	1,24	5,62	5,35	5,74	5,57
3	-	+	4,61	1,38	3,21	3,68	3,43	3,44
4	+	+	5,21	1,38	4,28	4,52	4,67	4,49

1. Прежде всего необходимо проверить воспроизводимость опытов. Для этого в каждой серии параллельных опытов вычислим по формуле (34) оценку дисперсии:

Аналогично, ; ;

Далее, согласно формуле (35), определяем расчетное значение критерия Кохрена

По таблице (см. Приложение 1) находим значение для .

Условие (36) выполнено, так как , следовательно, опыты можно считать воспроизводимыми.

2. Коэффициенты , , уравнения регрессии находим по выражениям (36) и (37):

;

;

.

3. Определим значимость каждого из коэффициентов , , . Для этого необходимо вычислить по формулам (39) и (40) дисперсии единичного измерения и среднего :

;

Найдем по таблице (см. приложение 2) критерий Стьюдента для числа степеней свободы . Далее определим расчетное значение этого критерия из (43).

Условия (42) для данного примера имеет вид:

;

;

.

Отсюда видно, что все коэффициенты значимы. Следовательно, искомое уравнение можно записать следующим образом:

(47)

4. Для проверки адекватности полученного уравнения найдем по формуле (45) оценку дисперсии адекватности

С этой дисперсией связано число степеней свободы

,

где - число независимых факторов.

Расчетное значение критерия Фишера найдем по формуле (44)

.

Найденное значение критерия Фишера не превышает его табличную величину , определенную для степеней свободы числителя и знаменателя, соответственно равных 1 и 8. Следовательно, уравнение регрессии, полученное в результате проведенной серии экспериментов, адекватно экспериментальным данным.

На этом математическую обработку можно считать законченной и целесообразно обсудить полученное уравнение с точки зрения его физического смысла. Например, из коэффициентов уравнения (47) видно, что выбранные факторы влияют на выходной параметр противоположно, т.е. увеличение скорости качения приводит к росту толщины масляного слоя, в то время как при увеличении скорости скольжения толщина слоя смазки уменьшается. Это соответствует основным положениям контактно-гидродинамической теории. С ростом скорости скольжения увеличивается тепловыделение в контакте, вязкость смазки уменьшается и, следовательно, при прочих равных параметрах уменьшается толщина несущего смазочного слоя. Увеличение суммарной скорости качения приводит к «всплытию» одного из трущихся тел и росту толщины слоя смазки.

В зависимости от целей эксперимента далее следует выбрать условия проведения следующей серии опытов. Легко заметить, что данный пример упрощен по двухфакторной зависимости условно. В реальном случае соответственно рассмотренной в разделе 1 теории следовало учесть большее число контактных факторов. Естественно, количество опытов при этом значительно возрастает и план эксперимента усложняется. В КНИРС можно предложить разработку метода ПФЭ для реального количества основных контактных параметров и составление алгоритма обработки данных опытов по изложенной методике.

Как показывает приведенный пример, выполнение всех необходимых расчетов требует большого внимания и является достаточно трудоемкой работой. Применение ЭЦВМ позволяет значительно облегчить процедуру расчетов, повысить производительность и качество труда исследователей. Однако, прежде чем обратиться к услугам ЭЦВМ, необходимо четко уяснить всю логику и последовательность вычислений. После того, как этот этап будет основан, можно возложить всю черновую работу на ЭЦВМ.

Для этой цели составлена программа обработки результатов полного факторного эксперимента на ЭЦВМ «Наири» (см. приложение 4).

Краткое описание программы

Основная часть программы составлена н языке автопрограммирования ЭЦВМ «Наири», а вспомогательная часть – на машинном языке (в командах).

Основная программа

С помощью операторов 1-11 осуществляется ввод результатов эксперимента , определение среднего по формуле (33), дисперсии по формуле (34) для каждой серии параллельных опытов и суммы дисперсий.

…

Примерный перечень тем, предлагаемых для КНИРС

1. Исследование режимов работы и нагруженности зубчатых передач и других тяжелонагруженных смазываемых контактов трансмиссий гусеничных машин с использованием вероятностных методов.

2. Теоретическое решение частных случаев контактно-гидродинамической задачи. Например, учет предложенной зависимости вязкости смазки от давления, температуры и сорта масла.

   1. Составление алгоритма и программы расчета на ЭЦВМ ЕС;

   2. Проведение численного расчета и получение расчетных формул

3. Расчет толщины слоя смазки в контакте тяжелонагруженных зубчатых передач, фрикционных узлов, в подшипниках качения.

4. Экспериментальное исследование процессов трения, смазки и износа с помощью экспериментальных установок:

   1. Исследование зависимостей коэффициента трения скольжения в функции нагрузки, скоростей качения и скольжения, вязкости смазки, геометрических параметров контакта;

   2. Исследование максимальных коэффициентов трения (см. рис. 12, точка А);

   3. Исследование заедания тяжелонагруженных поверхностей (см. рис. 12, точка В);

   4. Определение толщин смазочных слоев для различных условий контактирования

5. Корреляция результатов испытаний, проведенных на различных машинах трения.

6. Составление плана эксперимента для числа факторов более двух. Отладка алгоритма и программы расчета на ЭЦВМ ЕС.

7. Разработка алгоритмов и программ отдельных элементов автоматизированной системы управления проведением и обработкой результатов эксперимента.