Система уравнений контактной гидродинамики
Разработка контактно-гидродинамической проблемы в общей постановке сводится к совместному решению трех взаимосвязанных задач:
гидродинамической (для протекающего в зазоре между трущимися телами смазочного материала), которая описывается уравнениями состояния, количества движения и неразрывности потока смазки;
контактной (для соприкасающихся деформируемых твердых тел), решаемой методами теории упругости;
тепловой (для смазочного материала и контактирующих поверхностей трущихся тел), характеризуемой уравнениями сохранения энергии и теплового баланса.
Основными допущениями являются следующие:
контактирующие тела изготовлены из изотропного материала;
трущиеся поверхности разделены сплошным слоем изотропной сжимаемой жидкости (прямого контакта тел нет);
поверхности в зоне контакта абсолютно гладкие (влияние шероховатости и волнистости не учитывается).
Последнее допущение может быть снято. Однако учет шероховатости поверхностей приводит к серьезному усложнению задачи, решение которой в этом случае должно основываться на микроконтактно-гидродинамической теории смазки. В настоящее время такая теория находится в самой начальной стадии своего развития.
Рассмотрим комплекс уравнений, описывающих процесс контактно-гидродинамической смазки тяжелонагруженных зубчатых передач. Из механики известно, что основное уравнение движения вязкой сжимаемой ньютоновской жидкости в общем случае выражается как
(2)
где
- плотность, а
- абсолютная вязкость смазки в данной
точке;
- давление;
- координаты, отсчитываемые соответственно
в направлении течения смазки, по толщине
и ширине смазочного слоя;
- составляющие скорости движения элемента
смазки в направлениях
соответственно;
- компоненты объемной силы, отнесенные
к единице массы;
- время.
;
; 
; 
.
Уравнение неразрывности течения жидкости определяется выражением
(3)
Из (2) видно, что к элементу движущейся смазки приложены четыре вида сил: внешняя объемная сила, силы инерции, вязкости и гидродинамического давления. При решении контактно-гидродинамических задач обычно используют первое допущение О. Рейнольдса, т.е. пренебрегают влиянием объемных и инерционных сил:
; 
Уравнение баланса энергии с учетом (2) записывается как
,
(4)
где
- удельная теплоемкость;
- коэффициент теплопроводности смазки;
- температура в данной точке;
- термический эквивалент работы.
В зубчатых передачах область трения весьма мала по сравнению с радиусами кривизны трущихся тел. Поэтому в контактной гидродинамике для определения деформаций поверхностей используют уравнение теории упругости в виде
,
(5)
где
- суммарная величина деформации
поверхностей;
- координаты до точки приложения внешней
нагрузки в направлении осей x
и y соответственно;
- коэффициент Пуассона;
- модуль упругости.
Для
получения общего решения задачи систему
необходимо дополнить уравнениями связи.
Толщина смазочного слоя после деформации
связана с толщиной слоя до деформации
и величиной прогибов
зависимостью
,
(6)
где
- параметр, учитывающий сближение
поверхностей при переходе к
упругодеформируемым телам.
Влияние давления и температуры на характеристики смазочного материала определяется уравнениями:
(7)
Таким образом, полная система для случая сжимаемой ньютоновской жидкости включает 11 интегродифференциальных уравнений в частных производных при четырех аргументах (x, y, z, t). В настоящее время нет методов точного решения такой системы. С учетом же шероховатости поверхностей зубьев, технологических особенностей, динамики нагружения, возможности проявления неньютоновских свойств смазки, а также других факторов, определяющих специфику работы тяжелонагруженных зубчатых передач задача еще более усложняется. Поэтому для получения приемлемого решения необходимо путем дополнительных допущений существенно упростить структуру исходных уравнений.
Прежде всего для зубчатого зацепления, имеющего линейный контакт, можно рассматривать плоскую задачу, т.е. не учитывать влияние краевых эффектов и изменение контактных параметров по ширине слоя (вдоль координаты z). Тогда
Проведенные
исследования показали, что для условий
работы зубчатого контакта различие в
плотности масел по сравнению с атмосферными
условиями не превышает 5-7%. Следовательно,
без значительного ущерба для точности
решения изменением плотности смазки
при высоких давлениях можно пренебречь,
т.е. принять
.
Существенное
упрощение задачи достигается при
рассмотрении характера теплоотвода из
зоны трения. Анализ ряда работ, посвященных
тому вопросу, показывает, что отношение
количества тепла, выносимого протекающей
смазкой за счет конвекции, к количеству
тепла, отводимого путем теплопередачи
в трущиеся тела, прямо пропорционально
квадрату толщины смазочного слоя.
Учитывая малые значения толщин смазки
в контакте зубьев, можно заключить, что
основной формой переноса тепла в зубчатом
зацеплении является теплопроводность
по нормали к поверхности. При этом
допустимо считать, что удельная
теплоемкость и коэффициент теплопроводности
смазки мало изменяются по сравнению с
изменением вязкости, т.е.
и
.
Тогда (4) будет иметь вид
(8)
Принимая
во внимание гидродинамическое уравнение,
полученное О. Рейнольдсом, и сделанные
им при выводе уравнения известные
допущения, можно привести рассматриваемую
стационарную задачу к системе пяти
уравнений с неизвестными функциями
при двух аргументах
:
(9)
где
- минимальная толщина слоя смазки;
- приведенный радиус кривизны поверхностей, ;
- абсцисса точки контакта, в которой
.
Однако и полученная система сейчас не имеет ни строгих решений, ни приближенных алгоритмов в широком диапазоне изменения основных контактных параметров. Эта задача решается численным методом при последовательном изложении гидродинамического и контактного уравнений до получения сходимости результатов. В ряде случаев за исходное приближение принимается распределение давлений по Герцу либо недеформируемый профиль зазора. Большое значение здесь имеет правильный выбор зависимости вязкости смазки от давления и температуры, а также учет тепловых явлений, имеющих место как при чистом качении, так и тем более при качении со скольжением.