Теоретическое решение задачи
Рассмотрим стационарную контактно-гидродинамическую задачу, учитывающую тепловые процессы, развивающиеся в слое смазки, и совместное влияние скоростей качения и скольжения на толщину смазочного слоя, базируясь на решении, предложенном Ю.Н. Дроздовым и В.В. Широбоковым [9]. Расчетная схема показана на рис. 2.
При наличии проскальзывания поверхностей уравнения контактной гидродинамики с учетом сделанных выше допущений имеют вид
; (10а)
; (10б)
; (10в)
; (10г)
(10д)
Граничными условиями при решении системы (10) являются:
для давлений 
при
и
при
;
для температур и скоростей 
; 
при
;
; 
при
,
где
- половина ширины контакта.
В качестве уравнения связи (10г) примем экспоненциальную зависимость вязкости смазки от давления и характерной температуре :
,
(11)
где
- вязкость при давлении
и характерной температуре;
- вязкость при атмосферном давлении и той же температуре;
- пьезокоэффициент вязкости;
- температурный коэффициент.
Интегрируя (10а), получаем
.
(12)
Уравнение энергии (10б) перепишем в виде
.
Интегрируя полученное выражение по толщине слоя смазки с учетом уравнения неразрывности, имеем
,
где
,
- толщина слоя в центральной зоне
контакта.
Переходя
к безразмерным переменным
и
,
запишем
,
(13)
где
;
;
;
.
Подставляя (12) в (10б) и принимая во внимание (10в), получим дифференциальное уравнение
(14)
при граничных условиях
,
когда
.
Используя
решение этого уравнения, приведенное
в [9], находим зависимости
и
,
которые связывают безразмерные параметры
и дают возможность определить тепловой
коэффициент в уравнении Рейнольдса.
Расчетные соотношения показаны графически
на рис. 3.
Рис. 3
Тогда уравнение Рейнольдса с учетом тепловых процессов в смазочном слое можно записать в виде теплового уравнения
(15)
Условие (10д), характеризующее изменение толщины слоя смазки во входной зоне тяжелонагруженного контакта, можно принять аналогичным зависимости А.Н. Грубина, т.е.
(16)
где
- нагрузка на единицу длины контакта;
;
;
.
С учетом выбранных безразмерных комплексов уравнение (15) примет вид
,
(17)
где
- приведенный параметр давления,
;
- параметр нагрузки,
;
- параметр безразмерной толщины слоя
смазки,
;
- тепловой параметр качения,
;
- тепловой параметр скольжения,
.
Интегрируя (17) методом Рунге-Кутта
четвертого порядка при граничных
условиях
при
и
при
при
найдем связь между
и комплексами
,
и
.
В результате численного решения и
обработки полученных данных предложена
приближенная зависимость для толщины
слоя смазки в тяжелонагруженном контакте
при качении со скольжением тел:
. (18)
Преобразовав (18) к виду определяющих критериальных соотношений основных контактных параметров, получим
, (19)
где
; 
,
- суммарная скорость качения,
;
- скорость скольжения в контакте,
.
Необходимо отметить, что данное решение можно существенно уточнить за счет снятия тех или иных принятых ранее допущений. Например, целесообразно ввести в расчет зависимость вязкости от температуры, давления и сорта масла, которая более точно, чем экспоненциальная, отображает реальную связь этих факторов. Теоретическое решение вязкостной задачи с учетом одновременного изменения температуры и давления, базирующееся на фундаментальных уравнениях состояния жидкости, до настоящего времени не получено. Поэтому в расчетной практике приходится по данным опытов в области небольших давлений экстраполировать значения вязкости в зону высоких удельных нагрузок, используя известные эмпирические выражения, связывающие вязкость масла, температуру и давление.
Обзор
наиболее применяющихся уравнений
[10] показывает, что самое лучшее приближение
к реальным зависимостям дают формулы
Роландса, которые были проверены на
многих жидкостых (более 400 включая
минеральные масла, синтетические
жидкости и масла с присадками). С. Роландс
предложил несколько эмпирических
уравнений
;
наиболее простое из них включает два
характеристических параметра и имеет
вид
, (20)
где в обозначениях и размерностях,
принятых автором,
- динамическая вязкость при атмосферном
давлении и температуре
,
сПэ;
- параметр зависимости вязкости от
давления, аналогичный пьезокоэффициенту
вязкости в экспоненциальном законе
Баруса;
- параметр зависимости вязкости от
температуры.
Не останавливаясь подробно на рассмотрении структуры уравнения (20), заметим, что для большинства трансмиссионных масел и практически неизменны в широком диапазоне давлений и температур.
Приведя (20) к виду, удобному для использования в системе уравнений (10), получим
, (21)
где
- комплексный параметр зависимости
вязкости масла от температуры и давления,
;
- постоянная данного масла,
;
,
,
- координаты полюса сходимости в
пространственной модели, предложенной
Роландсом;
- индекс базовой температуры.
Тогда, принимая
,
можно определить пьезокоэффициент вязкости как
, (22)
а температурный параметр характеризовать зависимостью
, (23)
где
- температурный коэффициент при
экспоненциальном законе изменения
вязкости от давления, а
- барический коэффициент, определяющий
изменение температурной кривой вязкости
при больших давлениях.
Воспользовавшись этим преобразованием, можно приступить к решению задачи, которая предлагается для самостоятельного рассмотрения в рамках КНИРС.