917
.pdf
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
"Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова"
Н. В. Деменева
Аналитическая геометрия в пространстве
Учебное пособие
Пермь
ИПЦ "Прокростъ"
2020
УДК 514.12 ББК 22.151.5 Д-30
Рецензенты:
В. Д. Галкин, доктор технических наук, профессор, декан инженерного факультета (ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ);
И. К. Березин, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник (ИМСС УрО РАН);
В. И. Карпова, кандидат педагогических наук, доцент, доцент структурного подразделения высшего образования (Пермский институт железнодорожного транспорта – филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Уральский государственный университет путей сообщения»).
Д-30 Деменева, Н. В.
Аналитическая геометрия в пространстве: учебное пособие / Н. В. Деменева; Министерство сельского хозяйства Российской Федерации, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский аграрно-технологический университет имени академика Д.Н. Прянишникова». – Пермь : ИПЦ «Прокростъ», 2020 – 215 с.; 29 см – Библиогр.: с.215. – 50 экз. – ISBN 978-5-94279–486-6. Текст : непосредственный
В учебном пособии доступно и наглядно изложен математический аппарат аналитической геометрии в пространстве, включающий простейшие задачи, векторы, плоскость, прямую и поверхности второго порядка, необходимые инженеру для решения профессиональных задач.
Учебное пособие содержит теоретический материал, примеры, прикладные задачи, ориентированные на профессиональную деятельность инженера, контрольные вопросы, упражнения, индивидуальные задания и тесты.
Учебное пособие предназначено для организации контактной и самостоятельной работы, а также текущего контроля знаний и умений обучающихся направлений подготовки 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 20.03.01 Техносферная безопасность, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств.
УДК 514.12 ББК 22.151.5
Утверждено в качестве учебного пособия на заседании методического совета Пермского государственного аграрно-технологического университета.
Учебное издание Деменева Надежда Валерьевна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие
Подписано в печать 20.07.20. Формат 60x80 1 8 Усл. печ. л. 26,87. Тираж 50 экз. Заказ № 62.
ИПЦ "Прокростъ"
Пермского государственного аграрно-технологического университета имени академика Д. Н. Прянишникова
614990, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23
ISBN 978-5-94279–486-6 |
© ИПЦ "Прокростъ", 2020 |
|
© Деменева Н. В., 2020 |
|
2 |
Оглавление
Введение................................................................................................................................... |
6 |
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве ...................... |
8 |
1.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.................................... |
8 |
1.2. Координаты точки в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве
................................................................................................................................................... |
9 |
1.3. Расстояние между двумя точками в пространстве...................................................... |
14 |
1.4. Деление отрезка в заданном отношении в пространстве ........................................... |
16 |
1.5. Цилиндрические координаты........................................................................................ |
20 |
1.6. Сферические координаты.............................................................................................. |
21 |
1.7. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве в прикладных |
|
задачах.................................................................................................................................... |
22 |
Контрольные вопросы .......................................................................................................... |
23 |
Упражнения ........................................................................................................................... |
23 |
Дополнительные упражнения .............................................................................................. |
24 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения ......................................................... |
24 |
Индивидуальные задания ..................................................................................................... |
25 |
Тесты ...................................................................................................................................... |
31 |
Глава 2. Векторы..................................................................................................................... |
33 |
2.1. Основные понятия.......................................................................................................... |
33 |
2.2 Линейные операции над векторами в векторной форме ............................................. |
34 |
2.3. Вычитание векторов в векторной форме ..................................................................... |
37 |
2.4. Проекция вектора на ось................................................................................................ |
45 |
2.5. Проекции вектора на оси координат ............................................................................ |
48 |
2.6. Нахождение координат вектора по известным координатам его начала и конца ... |
48 |
2.7. Линейные операции над векторами в координатной форме...................................... |
49 |
2.8. Вычитание векторов в координатной форме............................................................... |
49 |
2.9. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме .............................. |
51 |
2.10. Нахождение модуля вектора через его координаты ................................................. |
52 |
2.11. Направляющие косинусы вектора .............................................................................. |
55 |
2.12. Разложение вектора по ортам координатных осей ................................................... |
57 |
2.13. Скалярное произведение векторов ............................................................................. |
59 |
2.14. Векторное произведение векторов ............................................................................. |
71 |
2.15. Смешанное произведение векторов ........................................................................... |
78 |
2.16. Векторы в прикладных задачах .................................................................................. |
84 |
Контрольные вопросы .......................................................................................................... |
88 |
3 |
|
Упражнения ........................................................................................................................... |
89 |
Дополнительные упражнения .............................................................................................. |
92 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения ......................................................... |
93 |
Индивидуальные задания ..................................................................................................... |
94 |
Тесты .................................................................................................................................... |
104 |
Глава 3. Плоскость................................................................................................................ |
107 |
3.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору ................................................................................................................................. |
107 |
3.2. Общее уравнение плоскости ....................................................................................... |
108 |
3.3. Уравнение плоскости в отрезках ................................................................................ |
118 |
3.4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки................................... |
121 |
3.4. Нормальное уравнение плоскости.............................................................................. |
122 |
3.5. Угол между двумя плоскостями ................................................................................. |
126 |
3.6. Расположение двух плоскостей в пространстве........................................................ |
127 |
3.7. Расстояние от точки до плоскости.............................................................................. |
130 |
3.8. Уравнение пучка плоскостей ...................................................................................... |
134 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................ |
137 |
Упражнения ......................................................................................................................... |
138 |
Дополнительные упражнения ............................................................................................ |
141 |
Индивидуальные задания ................................................................................................... |
141 |
Тесты .................................................................................................................................... |
150 |
Глава 4. Прямая линия в пространстве............................................................................ |
152 |
4.1. Канонические уравнения прямой ............................................................................... |
152 |
4.2. Параметрические уравнения прямой.......................................................................... |
153 |
4.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .................................... |
155 |
4.4. Прямая как пересечение двух плоскостей ................................................................. |
157 |
4.5. Переход от уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей, к |
|
каноническим уравнениям прямой.................................................................................... |
161 |
4.6. Угол между двумя прямыми ....................................................................................... |
162 |
4.7. Угол между прямой и плоскостью ............................................................................. |
164 |
4.8. Взаимное расположение двух прямых ....................................................................... |
166 |
4.9. Взаимное расположение прямой и плоскости........................................................... |
169 |
4.10. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости ............................................ |
172 |
4.11. Механический смысл параметрических уравнений прямой .................................. |
177 |
4.12. Прямая в пространстве в прикладных задачах........................................................ |
178 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................ |
180 |
4 |
|
Упражнения ......................................................................................................................... |
181 |
Дополнительные упражнения ............................................................................................ |
183 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения ....................................................... |
183 |
Индивидуальные задания ................................................................................................... |
184 |
Тесты .................................................................................................................................... |
191 |
Глава 5. Поверхности второго порядка ............................................................................ |
193 |
5.1. Сфера ............................................................................................................................. |
193 |
5.2. Эллипсоид..................................................................................................................... |
194 |
5.3. Гиперболоиды............................................................................................................... |
195 |
5.4. Параболоиды ................................................................................................................ |
198 |
5.5. Конус второго порядка ................................................................................................ |
202 |
5.6. Цилиндры второго порядка......................................................................................... |
203 |
Контрольные вопросы ........................................................................................................ |
204 |
Ответы..................................................................................................................................... |
207 |
Ответы к Упражнениям ...................................................................................................... |
207 |
Ответы к Дополнительным упражнениям ........................................................................ |
210 |
Ответы к Прикладным задачам для самостоятельного решения.................................... |
211 |
Ответы к Тестам .................................................................................................................. |
212 |
Заключение .......................................................................................................................... |
214 |
Список литературы ............................................................................................................. |
215 |
5
Введение
Учебное пособие "Аналитическая геометрия в пространстве" предназначено для организации аудиторной и самостоятельной работы, а также текущего контроля знаний и умений обучающихся направлений подготовки 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологиче- ских машин и комплексов, 20.03.01 Техносферная безопасность, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств по разделам Аналитическая геометрия, Аналитическая геометрия в пространстве, Векторы дисциплин Математика и Высшая математика.
Цель учебного пособия состоит в доступном и наглядном изложении математического аппарата аналитической геометрии в пространстве, необходимого инженеру для решения профессиональных задач.
Особое внимание в учебном пособии уделено векторам, являющихся важным инструментом решения технических задач. Векторы используют для описания величин, имеющих направление. Так в физике к таким величинам относят: силу, скорость, ускорение, перемещение, импульс, напряж н- ность электрического поля, магнитную индукцию. Часто вста т вопрос о нахождении величины и направления равнодействующей сил, работы и момента силы, что требует умения находить сумму векторов, модуль и направляющие косинусы вектора, скалярное и векторное произведения векторов. При равномерном движении тела по прямой его скорость определяется как модуль направляющего вектора прямой. Векторы позволяют решать задачи на плоскость и прямую в пространстве.
В учебном пособии представлен подробный обзор поверхностей второго порядка, находящих широкое применение в науке и технике. Так поверхность Земли принимают за тело, называемое геоидом, для аппроксимации которого используют эллипсоид вращения, получаемый при вращении эллипса вокруг его малой оси. Если вращать гиперболу вокруг е оси симметрии, не пресекающей е ветвей, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Русский инженер В. Г. Шухов предложил использовать эту поверхность в строительной технике. Конструкции, выполненные в виде однополостного гиперболоида являются наиболее прочными.
Для создания более эстетических для восприятия форм зданий архитекторы обращаются к такой поверхности второго порядка, как гиперболический параболоид, а также к цилиндрическим поверхностям. Также в машиностроении и приборостроении значительная часть деталей представляет поверхность второго порядка, полученную вращением кривой второго порядка вокруг е оси симметрии.
Это лишь немногие факты, подтверждающие важную роль аналитической геометрии в пространстве в подготовке инженеров, в частности инженеров для агропромышленного комплекса.
Содержание учебного пособия соответствует рабочей программе по дисциплине Математика для направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство,
6
35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств; по дисциплине Высшая математика для направления подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность.
Отличительная особенность данного учебного пособия от других учебных изданий состоит в ориентированности на обучающегося и на профессиональную деятельность инженера, что проявляется в следующем:
–доступность изложения материала, когда формирование основного понятия не ограничивается его строгим определением, а сопровождается подробными пояснениями;
–изложение материала сопровождается большим числом разнообразных примеров, упражнений и прикладных задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера;
–индивидуальный подход к обучающимся, что проявляется в наличии тр хуровневых индивидуальных заданий и тестов;
–все примеры и упражнения упорядочены по принципу от простого к сложному, что делает пособие доступным для обучающихся с различным уровнем математической подготовки.
Пособие состоит из пяти глав: простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве, векторы, плоскость, прямая линия в пространстве, поверхности второго порядка. Каждая глава содержит теоретический материал и контрольные вопросы. Первые четыре главы содержат также упражнения, дополнительные упражнения, прикладные задачи для самостоятельного решения, индивидуальные задания и тесты. Теоретический материал сопровождается большим числом подробно разобранных примеров, решением прикладных задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера. К упражнениям, прикладным задачам для самостоятельного решения и тестам приведены ответы.
Прикладные задачи, представленные в пособии, являются механизмом повышения мотивации обучающихся к изучению не только аналитической геометрии в пространстве, но и в целом дисциплин Математика и Высшая математика, а также технических дисциплин.
7
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии
впространстве
Вэтой главе будет рассмотрен такой геометрический объект как точка, расположенная в пространстве. Такой точке ставится в соответствие тройка чисел, называемых е координатами и определяющих е расположение в пространстве.
1.1.Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Для определения декартовой прямоугольной системы координат в
пространстве необходимо:
1) выбрать три взаимно перпендикулярные прямые, одну из которых называют осью или осью абсцисс, другую называют осью или осью ординат, третью называют осью или осью аппликат; точку пересечения прямых называют началом координат; начало координат обозначают буквой , ось абсцисс – буквами , ось ординат – буквами , ось аппликат – буквами
;оси абсцисс, ординат и аппликат называют координатными осями;
2)на каждой оси координат задать положительное направление;
3)на каждой оси координат задать единицу масштаба (на чертеже – отрезок ).
Рис. 1.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Описанная система координат называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве (рис. 1.1).
Попарно взятые координатные оси образуют координатные плоско-
сти. Оси |
и |
образуют координатную плоскость |
, оси |
и |
об- |
|||||
разуют координатную плоскость |
, оси |
и |
образуют координатную |
|||||||
плоскость |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Три плоскости |
, |
, |
, рассматриваемые одновременно, разде- |
|||||||
ляют пространство на восемь частей, которые называют октантами. |
|
|||||||||
8
|
1.2. Координаты точки в декартовой прямоугольной |
|
||||
|
|
системе координат в пространстве |
|
|
||
Рассмотрим произвольную точку |
и опустим из этой точки перпен- |
|||||
дикуляры на оси координат. Основание перпендикуляра на оси |
обозна- |
|||||
чим через |
, |
на оси |
обозначим через |
и на оси |
обозначим через |
|
. Точки |
, |
и |
являются вершинами прямоугольного параллелепи- |
|||
педа (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Координаты точки в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве
|
Координатами точки |
|
в заданной системе координат называются |
|||||||||||||
числа |
|
, |
|
и |
|
|
, где |
– величина отрезка |
, |
|
||||||
– величина отрезка |
, |
|
– величина отрезка |
. Число |
называется |
|||||||||||
абсциссой точки |
, число |
называется ординатой точки |
, число |
назы- |
||||||||||||
вается аппликатой точки |
. Используют обозначение: |
|
; |
; . |
|
|
||||||||||
|
Точки |
, |
и |
являются проекциями точки |
на оси координат. |
|||||||||||
|
Если точка |
лежит в плоскости |
, то координата |
0 и можно |
||||||||||||
записать: |
|
; ; 0 |
. Если точка |
лежит в плоскости |
, то координата |
|||||||||||
|
0 и можно записать: |
|
; 0; |
. Если точка |
лежит в плоскости |
|
, то |
|||||||||
координата |
0 и можно записать: |
0; |
; |
. Если точка |
|
лежит на оси |
||||||||||
|
, то |
|
0 и можно записать: |
|
; 0; 0 . Если точка |
|
лежит на оси |
|||||||||
|
, то |
|
0 и можно записать: |
|
0; |
; 0 . Если точка |
|
лежит на оси |
||||||||
|
, то |
|
0 и можно записать: |
|
0; 0; . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 1.1. Построить следующие точки по их декартовым коорди- |
|||||||||||||||
натам: |
3; 5; 7 , |
4; |
2; 6 , |
|
|
5; 4; |
3 , |
6; |
8; |
5 |
0; |
6; 4 , |
||||
|
0; 0; 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для построения точки |
3; 5; 7 |
отложим по оси |
в положительную |
||||||||||||
сторону отрезок длины 3. Получим точку |
– проекцию точки на ось . |
|||||||||||||||
Далее отложим по оси |
в положительную сторону отрезок длины 5. Полу- |
|||||||||||||||
чим точку |
|
– проекцию точки |
на ось |
. В координатной плоскости |
|
|||||||||||
провед м через точки и |
прямые, параллельные координатным осям |
|
||||||||||||||
и |
соответственно. В пересечении этих прямых получаем точку |
– про- |
||||||||||||||
екцию точки |
на координатную плоскость |
|
. Затем отложим по оси |
в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|