917

8.28.

3;

9; 7 ,

8; 3; 4 ,

̅

5; 9;

1 .

8.29.

6; 7; 9 ,

3; 4; 6 ,

̅

1; 2;

4 .

8.30.

3;

2; 1 ,

8; 5;

3 ,

̅

4;

9;

1 .

8.31.

6;

3;

4 ,

6;

4; 7 ,

̅

2; 1;

9 .

8.32.

9;

2; 3 ,

3; 2;

4 ,

̅

8; 7;

1 .

8.33.

9; 3;

4 ,

1;

2;

9 ,

̅

2; 1; 6 .

8.34.

9;

6; 3 ,

8; 1;

5 ,

̅

6; 7;

1 .

8.35.

1;

8;

7 ,

2; 5; 3 ,

̅

6;

3; 2 .

8.36.

2; 9; 2 ,

6; 1;

5 ,

̅

2; 4;

1 .

Второй уровень сложности

9. Нахождение угла треугольника

Задание 9. Даны вершины треугольника

,

,

. Определить его внут-

ренний угол при вершине .

9.1.

8; 4; 7 ,

6;

2; 4 ,

5; 8;

5 .

9.2.

6; 7;

1 ,

4;

3; 10 ,

6; 11; 5 .

9.3.

0; 3;

8 ,

2; 5;

7 ,

4; 6; 4 .

9.4.

1; 6; 2 ,

3; 9;

10 ,

0; 8; 4 .

9.5.

13; 9; 1 ,

1;

15;

7 ,

3; 24;

11 .

9.6.

7; 5;

2 ,

3; 9; 0 ,

17;

3; 10 .

9.7.

10;

18; 1 ,

2; 6; 13 ,

22;

2;

14 .

9.8.

2; 3;

6 ,

2; 6; 6 ,

0; 7;

2 .

9.9.

5; 7;

8 ,

7;

8; 8 ,

3; 13;

5 .

9.10.

3; 1; 9 ,

1; 4;

3 ,

5; 7; 9 .

9.11.

4; 2; 3 ,

2; 10; 3 ,

8; 6; 0 .

9.12.

1; 3;

4 ,

5; 5; 0 ,

11; 1; 7 .

9.13.

3; 5;

7 ,

5; 11;

7 ,

9;

3; 17 .

9.14.

8; 3; 2 ,

4; 7; 4 ,

4;

1; 5 .

9.15.

1;

8; 5 ,

1;

4; 2 ,

1; 4;

11 .

9.16.

5;

2; 8 ,

1; 0; 5 ,

3;

10; 4 .

9.17.

1; 7;

9 ,

1;

3; 2 ,

7;

9;

25 .

9.18.

2;

8; 1 ,

10;

2; 1 ,

4;

6; 2 .

9.19.

9; 12;

16 ,

1; 0; 8 ,

3; 27; 0 .

9.20.

6;

10; 1 ,

2;

6; 3 ,

4;

7;

5 .

9.21.

4;

13; 12 ,

8; 2;

4 ,

1;

9; 12 .

9.22.

0;

18; 14 ,

8; 6; 2 ,

12;

26;

10 .

9.23.

3;

8; 5 ,

5; 3; 15 ,

7;

5;

7 .

9.24.

4; 7;

9 ,

2;

1;

9 ,

8; 11;

3 .

9.25.

3; 1; 8 ,

1;

5; 11 ,

3;

7; 8 .

9.26.

2; 6; 1 ,

1; 2; 1 ,

0; 7; 2 .

9.27.

4; 7; 9 ,

1;

5; 5 ,

6; 5;

2 .

9.28.

6; 3;

1 ,

4;

7; 10 ,

3; 5;

7 .

9.29.

3; 4;

1 ,

5; 0; 3 ,

7; 7; 11 .

9.30.

3; 7; 8 ,

3;

1; 8 ,

9;

1;

16 .

100

9.31.

1; 2;

6 ,

1; 10; 0 ,

5; 10;

14 .

9.32.

7; 9;

3

,

9;

6;

9

,

5;

7; 3 .

9.33.

3;

8;

1

,

3;

4; 4 ,

5; 6; 2 .

9.34.

1;

5;

6 ,

7; 3;

6

,

12;

3; 4 .

9.35.

2;

3; 9 ,

10;

18;

7 ,

4;

1; 6 .

9.36.

12; 3; 1 ,

10; 5; 2 ,

0;

13;

14 .

вектора .

10.1.

5; 4; 7 ,

12;

3; 8 ,

2; 4; 8 ,

2; 10;

4 .

10.2.

4; 3; 0 ,

7; 8; 9 ,

15; 10;

11 ,

3;

14; 3 .

10.3.

4; 7; 5 ,

3; 5;

9 ,

8; 1;

2 ,

9; 3; 0 .

10.4.

11; 5; 8 ,

6;

7; 1 ,

4; 3; 2 ,

7; 5;

8 .

10.5.

3;

9; 1 ,

6; 7; 2 ,

2; 4;

7 ,

1; 8; 5 .

10.6.

4; 8; 3 ,

3; 9;

6 ,

2; 7; 4 ,

2; 11; 2 .

10.7.

8; 3; 7 ,

7; 6;

2 ,

3;

4; 1 ,

5;

1; 7 .

10.8.

5; 3;

4 ,

1; 7; 8 ,

3;

9;

2 ,

3;

6; 2 .

10.9.

1;

7;

9 ,

2; 3;

2 ,

10; 4; 1 ,

8; 8;

3 .

10.10.

3;

8; 1 ,

4; 5; 9 ,

6;

7;

2 ,

8;

5;

1 .

10.11.

1; 7;

9 ,

2; 0; 5 ,

16;

8;

1 ,

6; 3; 1 .

10.12.

1;

3; 5 ,

0; 2; 7 ,

3; 6;

8 ,

4;

4;

6 .

10.13.

10;

8; 1 ,

3; 2;

3 ,

1; 7; 2 ,

11; 11; 5 .

10.14.

3; 4;

2 ,

0; 5; 1 ,

1; 6; 2 ,

4; 10;

10 .

10.15.

1;

7; 3 ,

2;

6; 1 ,

3; 8;

4 ,

3; 16; 2 .

10.16.

1; 4; 8 ,

3;

7; 0 ,

6;

2;

1 ,

10; 1; 11 .

10.17.

2; 3;

1 ,

4;

8; 3 ,

13; 6; 9 ,

5;

6;

15 .

10.18.

9; 7;

5 ,

6; 7; 2 ,

2;

4;

8 ,

1;

2;

6 .

10.19.

2;

5; 8 ,

3; 1; 3 ,

4; 8; 7 ,

6;

6; 6 .

10.20.

8; 3;

4 ,

6; 5; 2 ,

5;

9; 1 ,

11;

1; 1 .

10.21.

9;

2; 3 ,

4; 1; 8 ,

3; 7;

2 ,

1; 4; 4 .

10.22.

1;

7; 4 ,

5; 3;

9 ,

6;

4; 1 ,

5; 6; 3 .

10.23.

5; 7;

1 ,

8; 3; 4 ,

2; 1; 7 ,

5;

3;

5 .

10.24.

3;

4; 9 ,

1; 8; 5 ,

2; 6;

1 ,

4;

2;

1 .

10.25.

5; 7;

2 ,

3; 5; 1 ,

4;

8;

9 ,

8; 7; 7 .

10.26.

1; 3;

4 ,

6; 7; 5 ,

8; 1;

2 ,

5;

3;

2 .

10.27.

2; 6; 0 ,

3; 4;

1 ,

7; 8;

9 ,

1; 8;

1 .

10.28.

3; 6; 8 ,

1; 7;

2 ,

2;

9; 3 ,

6; 3; 0 .

10.29.

1; 7;

2 ,

3;

5;

9 ,

2;

8;

5 ,

9; 2;

3 .

10.30.

4; 8; 1 ,

0; 3;

4 ,

2; 6; 3 ,

1; 8; 5 .

10.31.

2; 7;

9 ,

3; 4; 1 ,

5; 6; 2 ,

1; 10; 4 .

10.32.

3; 8;

1 ,

1; 5; 6 ,

6; 3;

2 ,

8;

3; 1 .

10.33.

10; 3; 6 ,

8;

1;

2 ,

1; 4; 5 ,

4; 0; 5 .

10.34.

5;

7; 1 ,

2; 1; 6 ,

3; 4;

3 ,

5;

6; 8 .

10.35.

3;

9; 5 ,

6; 7;

1 ,

2;

4;

8 ,

10; 8; 16 .

101

10.36.

4; 8;

5

,

2;

7; 1 ,

1;

6; 3 ,

1; 4; 4 .

11. Вычисление площади треугольника

через координаты его вершин

Задание 11. Даны точки

,

,

. Найти площадь треугольника

.

11.1.

6; 4;

3 ,

5;

1;

4 ,

0;

2; 1 .

11.2.

1;

3;

2 ,

2;

6; 4 ,

1; 3;

5 .

11.3.

2; 4; 0 ,

4; 3; 1 ,

1; 6;

3 .

11.4.

2; 5;

1 ,

4; 1; 2 ,

0; 3; 5 .

11.5.

3; 4; 0 ,

2; 7; 5 ,

1; 4; 1 .

11.6.

5; 3;

4 ,

1; 2; 1 ,

4; 0;

3 .

11.7.

2; 3;

4 ,

5; 6;

2 ,

3;

1;

5 .

11.8.

6; 7; 1 ,

8;

4;

3 ,

5;

6; 2 .

11.9.

3; 5;

6 ,

1; 2;

4 ,

1; 3;

2 .

11.10.

8; 5;

6 ,

4; 3;

2 ,

6;

1;

4 .

11.11.

4;

2; 5 ,

1; 3; 2 ,

3; 0; 6 .

11.12.

1;

3; 4 ,

5;

2;

1 ,

2; 0; 1 .

11.13.

2; 4;

5 ,

3; 5;

3 ,

0;

2;

1 .

11.14.

3;

7;

1 ,

5;

6; 2 ,

2;

5; 3 .

11.15.

1;

4;

6 ,

5; 2;

5 ,

2;

3;

4 .

11.16.

6; 2; 5 ,

4; 3; 0 ,

5;

1; 3 .

11.17.

3;

4; 1 ,

6;

2;

3 ,

4; 1; 2 .

11.18.

5;

6; 1 ,

2;

4;

2 ,

3;

2; 0 .

11.19.

1; 5; 3 ,

4; 2; 1 ,

0; 6;

2 .

11.20.

3;

2; 6 ,

1; 2; 5 ,

0;

3; 4 .

11.21.

1; 0; 3 ,

4;

2; 6 ,

2; 1;

1 .

11.22.

2; 7;

3 ,

1; 8;

3 ,

0; 6; 1 .

11.23.

4;

6; 1 ,

2;

5;

3 ,

3;

7; 0 .

11.24.

3; 5; 0 ,

1; 2;

2 ,

2; 1;

3 .

11.25.

1;

4; 5 ,

4;

8; 2 ,

2;

5; 3 .

11.26.

2; 5; 1 ,

1; 3;

1 ,

0; 4; 2 .

11.27.

3;

2; 4 ,

1; 0;

1 ,

2;

5; 6 .

11.28.

3; 1; 5 ,

2; 2; 4 ,

4; 0; 3 .

11.29.

4;

2; 7 ,

3; 0; 6 ,

1;

1; 5 .

11.30.

2; 3;

5 ,

4; 1;

6 ,

3; 0;

4 .

11.31.

6; 3; 2 ,

5;

1; 0 ,

4; 2; 5 .

11.32.

5;

4; 1 ,

2; 1;

3 ,

3;

2; 0 .

11.33.

1; 2; 0 ,

3;

1; 2 ,

1; 4; 3 .

11.34.

1; 4; 5 ,

2; 3; 6 ,

0; 1; 4 .

11.35.

2; 5;

1 ,

1; 4; 2 ,

1; 3;

3 .

11.36.

3; 6;

5 ,

1; 7;

2 ,

0; 5;

1 .

12. Вычисление объ ма пирамиды через координаты е

вершин

Задание 12. Даны точки ,

, ,

. Найти объ м пирамиды

.

12.1. 2; 3; 8 , 9; 5;

6 ,

4; 6; 2 ,

5; 7; 13 .

102

12.2.

3; 6; 1 ,

6; 8; 5 ,

12; 11;

1 ,

3; 5; 5 .

12.3.

5; 1; 3 ,

4; 9;

1 ,

8;

8; 4 ,

10; 4;

2 .

12.4.

7; 8; 2 ,

9; 10; 1 ,

11; 5; 6 ,

2; 10; 5 .

12.5.

3;

4; 9 ,

5;

1; 13 ,

4;

13; 12 ,

2;

2; 10 .

12.6.

4;

6; 7 ,

1;

5; 6 ,

7;

8; 11 ,

2;

10; 10 .

12.7.

1; 5;

2 ,

3; 8; 5 ,

7; 0; 0 ,

3; 7; 6 .

12.8.

3; 9;

3 ,

12; 4;

1 ,

11; 6;

2 ,

5; 8;

6 .

12.9.

6;

2; 7 ,

7;

4; 4 ,

1; 2; 13 ,

3;

1; 2 .

12.10.

0; 2;

5

,

2;

1;

3

,

5;

4; 7 ,

7;

1; 0 .

12.11.

6; 9;

5

,

2; 11;

8 ,

7; 5;

7 ,

3; 10; 9 .

12.12.

1;

3; 8 ,

3; 0; 3 ,

1;

5; 9 ,

8; 5;

1 .

12.13.

2; 4; 1 ,

1; 1;

3

,

7; 8;

6 ,

4; 9;

4 .

12.14.

9; 3; 2 ,

3;

5; 6 ,

8; 0; 0 ,

2;

2; 4 .

12.15.

3; 4; 1 ,

0;

3;

3

,

1;

4; 3 ,

8; 7;

8 .

12.16.

2; 7;

3

,

6; 10;

12 ,

3; 4;

4 ,

4; 8;

1 .

12.17.

4; 2; 7 ,

5; 5; 5 ,

3; 8; 12 ,

4; 5; 6 .

12.18.

5; 1;

6

,

3; 2;

3

,

2; 4; 0 ,

6; 0;

2 .

12.19.

3;

6;

2 ,

11; 2;

6 ,

4;

9; 0 ,

3;

5;

6 .

12.20.

1;

3; 5 ,

7; 0;

4

,

3;

8; 12 ,

2;

2; 2 .

12.21.

4; 7; 9 ,

10; 3; 6 ,

2; 2; 4 ,

11; 10; 11 .

12.22.

5;

8;

3 ,

0;

5; 2 ,

12;

4;

6 ,

7;

13;

6 .

12.23.

6; 5; 4 ,

7; 1;

5

,

3; 3;

1 ,

8; 0; 2 .

12.24.

1; 3; 6 ,

2;

1; 8 ,

5; 6; 13 ,

7; 2; 15 .

12.25.

3; 7; 0 ,

1; 3;

3

,

4; 14; 5 ,

5; 8; 4 .

12.26.

2; 6;

9 ,

6; 8;

8

,

7; 10;

17 ,

5; 5;

5 .

12.27.

5;

2; 3 ,

6;

9;

1

,

10; 3;

6 ,

9; 1;

2 .

12.28.

1;

4; 6 ,

2;

8;

4

,

1;

7;

3 ,

5;

2; 11 .

12.29.

7; 3;

9 ,

2; 6;

11 ,

8; 7;

3 ,

1; 6;

14 .

12.30.

3;

4; 6 ,

2;

7; 7 ,

8; 2; 3 ,

7;

6; 10 .

12.31.

7; 3;

5 ,

2; 5;

2

,

12;

5;

3 ,

10; 4;

8 .

12.32.

5; 6; 1 ,

3; 3;

1

,

0;

2; 5 ,

4; 9;

2 .

12.33.

6; 3;

1 ,

11; 0;

2 ,

3; 10;

5 ,

9; 5;

6 .

12.34.

2; 1;

4 ,

9; 2;

9

,

10;

4;

5 ,

1; 0;

2 .

12.35.

2;

6; 5 ,

1;

10; 2 ,

7;

4;

2 ,

8; 3; 2 .

12.36.

4;

1;

5 ,

1; 2;

9

,

6;

8; 1 ,

5; 5;

2 .

Задание 13. Даны вершины пирамиды

,

,

, . Найти длину е вы-

соты, опущенной из вершины .

13.1.

8; 3;

5 ,

6;

1;

4 ,

7;

9;

2 ,

5; 0; 3 .

13.2.

2;

4; 1 ,

0;

3;

3 ,

1;

5; 2 ,

2; 6; 4 .

13.3.

2; 3;

5

,

4;

1;

2

,

3; 5;

7 ,

1;

2; 3 .

13.4.

1; 4; 7

,

5;

3; 6 ,

2;

2;

5

,

0; 2; 3 .

13.5.

3; 2; 1

,

1;

1; 3

,

2; 4;

2

,

4;

3; 1 .

103

13.6.

6; 3;

2 ,

3; 1; 1 ,

7; 2;

3 ,

4;

5; 2 .

13.7.

1;

4; 6 ,

0; 3; 5 ,

3;

5; 3 ,

2;

6;

1 .

13.8.

3;

4;

1 ,

5;

1; 1 ,

4; 3; 2 ,

2; 7; 3 .

13.9.

5; 2; 0 ,

4;

1; 2 ,

3; 3;

1 ,

2;

3; 4 .

13.10.

4; 1;

2 ,

3;

2; 0 ,

5; 3;

1 ,

2; 4; 1 .

13.11.

2; 3;

5

,

1; 1; 4 ,

3; 4; 2 ,

1;

2;

3 .

13.12.

7; 4;

2 ,

6; 2; 1 ,

9; 3;

1 ,

8;

5; 2 .

13.13.

3; 2;

6

,

7;

1;

5 ,

2; 3;

7 ,

4;

1; 2 .

13.14.

5; 7;

2 ,

3; 6; 0 ,

2; 5;

3 ,

4;

2; 3 .

13.15.

2; 6;

3

,

1; 4; 0 ,

1; 5;

2 ,

2;

3; 4 .

13.16.

1;

3; 1 ,

4; 2; 3 ,

1; 0;

1 ,

2; 5;

6 .

13.17.

4;

3; 2 ,

6; 1; 0 ,

2;

4; 1 ,

5; 2;

4 .

13.18.

1;

2;

0

,

3; 1;

2 ,

2;

3; 4 ,

1; 5;

7 .

13.19.

1; 3;

5

,

4; 2; 6 ,

0; 1; 3 ,

3;

2;

7 .

13.20.

2;

4;

7 ,

1;

3;

5 ,

1;

3;

8 ,

0; 2; 3 .

13.21.

5; 0;

3

,

7; 2;

1 ,

4;

1; 4 ,

6;

3;

2 .

13.22.

6; 3;

2

,

2;

1; 0 ,

7; 4; 1 ,

3;

5; 7 .

13.23.

2;

9; 1 ,

1;

8;

3 ,

3;

5; 2 ,

1; 4;

6 .

13.24.

1; 3;

5

,

2; 0;

3 ,

2; 4;

7 ,

1;

2; 4 .

13.25.

3; 5;

2

,

1; 3; 4 ,

1; 3; 1 ,

2;

4;

5 .

13.26.

1; 3;

4

,

2; 0; 2 ,

3; 2; 2 ,

1;

5;

3 .

13.27.

3; 1;

4

,

1; 0; 6 ,

4;

5; 3 ,

2;

6;

2 .

13.28.

1; 0; 3 ,

2; 1; 4 ,

3;

2; 2 ,

1; 6;

2 .

13.29.

2; 5;

6 ,

3; 2;

7 ,

0; 4;

3 ,

1;

3; 7 .

13.30.

4; 1;

1 ,

3;

2; 0 ,

2; 4; 1 ,

1;

3;

2 .

13.31.

1; 2;

5

,

3; 0;

4 ,

1; 1;

8 ,

2; 3; 6 .

13.32.

5;

2;

3

,

3; 1; 2 ,

5;

1; 0 ,

4; 2; 6 .

13.33.

6; 7;

1 ,

5; 4; 0 ,

3; 4; 1 ,

4;

2;

3 .

13.34.

1; 2;

4

,

3; 1; 5 ,

0; 5; 2 ,

2;

3;

1 .

13.35.

1; 3;

5

,

4; 2;

6 ,

2; 5;

3 ,

3;

2; 4 .

13.36.

4; 3;

5

,

0; 1; 6 ,

3; 4; 3 ,

2;

5; 8 .

Тесты

Вариант 1

Первый уровень сложности.

1. Даны векторы

3;

2; 1

и

5; 3; 6 . Вектор

имеет

следующие координаты:

1)

2;

1;

7

2)

2; 1; 7

3)

7; 1;

2

4)

8;

5;

5

5)

8; 5; 5

2. Модуль вектора

6; 2; 3

равен:

1) 1

2)

√23

3) 49

4)

7

5) 7

3. Даны точки

4;

6; 1

и

2;

3;

7 . Вектор

имеет следую-

щие координаты:

1)

6; 3;

8

2)

6;

3; 8

3)

8; 3; 6

104

4)

2;

9;

6

5)

2; 9; 6

4. Векторное произведение векторов

2; 5; 1

и

4;

3; 0

равно:

1)

23

2) 23

3)

3 ̅ 4 ̅ 14

4)

3 ̅ 4 ̅ 14

5)

14 ̅ 4 ̅ 3

5. Смешанное произведение векторов

2; 1; 3 ,

4; 0;

6 и

1)

14

2) 14

3)

4)

5) 73

6. Известно, что |

|

4,

3 и

,

. Скалярное произведение

векторов

и

равно:

1)

12

2) 6

3)

6

4) 6√3

5)

6√3

Второй уровень сложности.

7. Проекция вектора

10; 2;

22

на ось вектора

4;

4;

2

равна:

1)

2)

3)

4)

5)

8. Объ м параллелепипеда, построенного на векторах

1;

5;

3 ,

3; 4;

1

и ̅

7; 3;

2 , равен:

1)

2)

3)

19

4) 57

5) 114

9. Векторы

̅

̅и

3 ̅ 3 ̅ 4

перпендикулярны при зна-

чении

, равном:

1)

0

2)

2

3)

2

4)

1

5) 1

Третий уровень сложности.

10. Даны векторы

2 ̅

̅ 3 ,

̅ 3 ̅ 2

и ̅

3 ̅ 2 ̅

4 . Вектор

̅, удовлетворяющий условиям

̅

5,

̅

11,

̅̅ 20,

имеет следующие координаты:

1)

2;

3; 2

2)

2; 3;

2

3)

2; 3; 2

4)

3; 2;

2

5)

6;

2; 1

Вариант 2

Первый уровень сложности.

1. Дан вектор

3; 7; 2 . Вектор

2

имеет следующие коорди-

наты:

1)

;

;

1

2)

4; 14;

6

3)

6; 14; 4