917

.

Полученная формула позволяет вычислять отклонение точки от

плоскости.

Правая часть формулы представляет собой левую часть нормального

Перейд м от общего уравнения плоскости

0 к

нормальному уравнению плоскости

cos

cos

cos

0,

умножив общее уравнение на нормирующий множитель

.

√

Получаем:

0.

√

Преобразуем:

0.

√

Тогда отклонение точки

от плоскости вычисляется следующим об-

|

|

.

3; 7; 1 до плос-

Пример 3.23. Вычислить расстояние от точки

кости 2

10

11

3

0.

Решение. Для вычисления расстояния от точки до плоскости восполь-

зуемся формулой

|

|

, где

– левая часть

√

| ∙

∙

∙

|

.

Ответ:

.

2; 4; 3

Пример 3.24. Вычислить величину отклонения точки

от плоскости 2

2

3 0.

Решение. Для вычисления отклонения точки от плоскости воспользу-

емся формулой

cos

cos

cos

. Правая часть формулы

∙

2

∙

4

∙ 3 1

3.

Ответ:

3.

Пример 3.25. Вычислить расстояние между параллельными плоско-

стями 6

18

9

28

0 и 4

12

6

7 0.

Найд м одну точку, например, первой плоскости. Возьм м

0 и под-

ставим эти значения в уравнение первой плоскости:

6 ∙ 0

18 ∙ 0 9

28 0.

Отсюда

и тогда получаем следующую точку первой плоскости:

0; 0;

.

Находим расстояние от точки

до второй плоскости по формуле

|

|

, где

– левая часть общего уравнения

√

∙

∙

∙

.

Ответ:

.

Пример 3.26. На оси

найти точку, равноудал нную от точки

1;

2; 0

и от плоскости 3

2

6

9

0.

Решение. Так как искомая точка лежит на оси

, то е

абсцисса и

ордината равны нулю:

0; 0;

. Найд м расстояние между точками

и

по формуле расстояния между двумя точками:

0

1

0

2

0

√5

.

Затем вычислим расстояние от точки

до данной плоскости по фор-

муле

|

|

, где

– левая часть общего

√

уравнения плоскости,

при этом вместо текущих координат ,

, подстав-

| ∙ ∙

∙

| |

|

.

Искомая точка

равноудалена от точки

и от плоскости. Прирав-

ниваем полученные выражения расстояний от точки

до точки

и от

точки до плоскости:

|

|

.

√5

49 5

6

9 .

Преобразуем:

245 49

36

108

81,

132

13

108

164 0,

Находим корни квадратного уравнения:

2,

.

0; 0;

2 ,

0; 0;

Получаем две искомые точки:

.

Ответ:

0; 0; 2 ,

0; 0;

.

Пример 3.27. Вывести уравнение геометрического места точек, откло-

нение которых от плоскости 6

3

2

10

0 равно

3.

кости. Для приведения общего уравнения плоскости

0

щий множитель

, где знак выбирается противоположным

√

знаку коэффициента .

Вычисляем нормирующий множитель:

. Умножая

√

0.

Обозначим произвольную точку искомого геометрического места то-

чек через

;

;

. Найд м отклонение точки

от данной плоскости по

формуле

cos

cos

cos

. Правая часть формулы совпа-

дает с левой частью нормального уравнения плоскости. Получаем:

.

3. Получаем:

По условию отклонение точки

от плоскости равно

3.

Преобразуем:

6

3

2

11

0.

Таким образом, искомое геометрическое место точек представляет со-

бой плоскость.

Ответ: 6

3

2

11

0.

Пример 3.28. Составить уравнение геометрического места точек, рав-

ноудал нных от двух параллельных плоскостей 4

2

3 0 и 4

2

5

0.

Решение. Обозначим произвольную точку искомого геометрического

места точек через

;

;

. Найд м расстояние от точки

до данной плос-

кости по формуле

|

|

, где

– левая часть об-

√

щего уравнения плоскости.

Запишем расстояние от точки

до первой плоскости:

|

|

|

|

.

√

Запишем расстояние от точки

до второй плоскости:

|

|

|

|

.

√

133

Точка

равноудалена от плоскостей. Приравниваем полученные вы-

ражения расстояний от точки

до плоскостей:

|

|

|

|

.

√

√

Решаем полученное уравнение.

Приравняем числители:

|4

2

3| |4

2

5|.

Уравнение имеет решение только в случае, когда выражения под зна-

ком модуля имеют разные знаки.

Получаем:

4

2

3

4

2

5 .

Преобразуем:

8

2

4

8

0,

4

2

4

0.

Ответ: 4

2

4

0.

3.8. Уравнение пучка плоскостей

Пусть плоскости

и

заданы общим уравнением:

0 и

0

Если

и

– действительные числа, то уравнение пучка плоскостей

имеет вид:

0.

Разделив уравнение пучка плоскостей на число

0, и, обозначив

через , получаем уравнение пучка плоскостей в следующем виде:

.

Пример 3.29. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

прямую пересечения плоскостей 2

3

3 0,

3

2

1 0: 1) и через точку

1; 2; 3 ; 2) параллельно оси .

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей для двух данных пе-

ресекающихся плоскостей:

2

3

3 λ

3

2

1

0.

наты точки

в уравнению пучка двух данных плоскостей:

2 ∙ 1 3 ∙ 2

3 3 λ 1 3 ∙ 2

2 ∙ 3 1

0.

Отсюда 8

2λ

0 и λ

4.

Подставив значение λ

4 в уравнение пучка двух данных плоско-

стей, получим искомое уравнение плоскости:

2

3

3

4

∙

3

2

1

0.

Преобразуем:

2

15

7

7

0,

134

2

15

7

7

0.

2) Преобразуем уравнение пучка двух данных плоскостей к общему

уравнению плоскости:

2

λ

3 3λ

1

2λ

3

λ

0.

Так как искомая плоскость параллельно оси

, то коэффициент перед

переменной в общем уравнении плоскости равен нулю: 2 λ

0. Отсюда

λ

2.

Подставив значение λ

2 в общее уравнение плоскости, получим

искомое уравнение плоскости:

2

2

3 3 ∙ 2

1 2 ∙ 2

3

2

0.

Преобразуем:

9

3

5

0,

9

3

5

0.

Ответ: 1) 2

15

7

7

0; 2) 9

3

5 0.

мую пересечения плоскостей 3

2

3 0,

2

0 перпендику-

лярно плоскости

2

5

0.

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей для двух данных пе-

ресекающихся плоскостей:

3

2

3

λ

2

0.

Преобразуем уравнение пучка двух данных плоскостей к общему

уравнению плоскости:

3

λ

2

1

2λ

3

0.

1 ∙ 3 λ

2 ∙ 2

1 ∙ 1 2λ

0.

Отсюда λ

8.

Подставив значение λ 8 в общее уравнение плоскости, получим ис-

комое уравнение плоскости:

3

8

2

1

2 ∙ 8

3

0.

Преобразуем:

11

2

15

3

0.

Ответ: 11

2

15

3

0.

Пример 3.31. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку

плоскостей

3

7

36

λ 2

15

0 и отстоящей от

начала координат на расстоянии

3.

Решение. Преобразуем уравнение пучка плоскостей к общему уравне-

нию:

1

2λ

3

λ

7

λ

36 15λ

0.

|

|

,

где

–

левая часть общего

√

уравнения плоскости, при этом вместо текущих координат , ,

подстав-

лены координаты точки .

В качестве

точки

выступает начало координат, то есть точка

0; 0; 0 . Вычисляем расстояние от точки

до искомой плоскости :

|

∙

∙

∙

|

.

Преобразуем:

|

|

.

По условию искомая плоскость отстоит от начала координат на рас-

стоянии

3. Приравниваем полученное выражение к 3:

|

|

3.

Решаем полученное уравнение.

Разделим уравнение на 3:

|

|

1.

Избавимся от знаменателя:

|12 5λ|.

1 2λ

3 λ

7 λ

Возвед м обе части уравнения в квадрат:

1

4λ

4λ

9

6λ

λ

49

14λ

λ

12

5λ .

Преобразуем:

6λ

16λ

59

144

120λ

25λ ,

19λ

104λ

85

0.

Корни полученного квадратного уравнения: λ

1, λ

.

Подставив значение λ

1 в общее уравнение плоскости, получим ис-

комое уравнение плоскости:

1 2 ∙ 1

3 1

7 1

36 15 ∙ 1

0.

Преобразуем:

3

2

6

21

0.

Подставив значение λ

в общее уравнение плоскости, получим

искомое уравнение плоскости:

1

2 ∙

3

7

36

15 ∙

0.

Преобразуем:

0,

189

28

48

591

0.

Ответ: 3

2

6

21

0, 189

28

48

591

0.

Пример 3.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через ли-

нию пересечения плоскостей

2

3

5

0 и 3

2

1 0 и

отсекающей равные отрезки на осях

и .

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей для двух данных пе-

ресекающихся плоскостей:

2

3

5

λ 3

2

1

0.

136