Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

917

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

15.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

10.31.			: 4					2		1	0,	: 9		4		3		4		0,
7; 4; 1 .
10.32.			: 3			6				7	0,	:		4		5		7		0,
3; 1; 2 .
10.33.			: 6			2			3	1	0,		: 2	5		6		6		0,
4; 4;	5 .
10.34.			: 2			3			7	8	0,		: 3	4		6		1		0,
3; 6; 0 .
10.35.			: 5			9				2	0,	: 6		2		3		6		0,
7; 3; 2 .
10.36.			: 4			2			3	9	0,		: 7	3		4		5		0,
1;	4; 3 .
											Тесты
										Вариант 1
Первый уровень сложности.
1. Нормальный вектор плоскости 5														9	4			13			0 может иметь
следующие координаты:
1)	5; 0; 0									2)	0;	9; 0						3)		0; 0; 4
4)	5;		9;		13					5)	5;	9; 4
2. Среди привед нных уравнений указать уравнение плоскости в от-
резках:
1) 10			3			7		0				2) 2		4		5		7		3			1	0
3)							1					4)						1
3)							1					4)						1
5) 6			7					2	0
3.	Для			плоскости					10	2		11		3	0		нормальное					уравнение
имеет вид:
1)	10		1			2		1	3	11				0				1
1)	10		1			2			3	11				0
2)										0		3)										0
2)												3)
4)												5)


Второй уровень сложности.
4. Уравнение плоскости, проходящей															через				ось			и	точку
3; 2;		7 , имеет следующий вид:
1) 3			7			0				2) 7		3		0				3) 7				3	0
4) 7			2			0				5) 2		3		0
Третий уровень сложности.
5. Уравнение плоскости, проходящей через точку																				1; 2;		4	парал-
лельно векторам								4; 3;		5	и		1; 2; 1			имеет следующий вид:
1) 4			3			5		22		0				2)		2				9		0
3) 7			9			11			33	0				4) 7		9		11		33			0
5)	2					4		33	0
											150

						Вариант 2
Первый уровень сложности.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку														3; 4; 1		перпен-
дикулярно вектору				6; 3;		2 , имеет следующий вид:
1) 6	3		3	4		2		1	0
2) 6	3		3	4		2		1	0
3)	3		6	4	3			2	0
4)	3		6	4	3			2	0
5)	2		3	3	4	6		1	0
2. Среди привед нных уравнений указать общее уравнение плоскости:
1)				1				2)					4
1)				1				2)					4

3) 2	1		3	7		5		2	0
4)	6		1					5) 4	2		3		5	0
3. Для плоскости 3						2	6	8		0 уравнение в отрезках имеет
вид:
1)					0			2)							0
1)				1	0			2)					1		0
3)								4)
3)								4)

5) 3	1		2	3		6			0
5) 3	1		2	3		6			0
Второй уровень сложности.
4. Уравнение				плоскости,			проходящей					через		ось		и точку
5; 1;		3 , имеет следующий вид:
1)	5		0			2)		5	0					3) 5		0
4) 3	5		0			5) 3		5	0

Третий уровень сложности.

5. Уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плос-

костей 4	6	3	3 0,	7	5	6	0 и	точку		1; 4; 1 ,
имеет следующий вид:
1)	13	11	0			2) 18	4	7	15	0
3) 18	4	7	15	0		4) 10	8	13	9	0
5) 10	8	13	9	0

151

Глава 4. Прямая линия в пространстве

В этой главе будет рассмотрен такой простейший геометрический объект как прямая линия в пространстве, определяемая как пересечение двух плоскостей. В дальнейшем прямую линию в пространстве кратко будем называть прямой.

4.1. Канонические уравнения прямой

Пусть прямая проходит через точку		; ;	. Пусть вектор
; ; лежит на прямой или параллелен ей. Вектор			называется направля-
ющим вектором прямой. Пусть	; ; – произвольная точка прямой (рис.
4.1).

Рис. 4.1. Прямая, проходящая через точку

параллельно вектору

Рассмотрим вектор

;

Так как векторы

и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорцио-

нальны:

Полученные равенства называются каноническими уравнениями пря-

мой.

Пример 4.1. Даны канонические уравнения прямой

Найти точку прямой и направляющий вектор прямой.

Решение.

Преобразуем

данные

уравнения:

Сравнивая данные уравнения с каноническими уравнениями прямой

, получаем:

3. Та-

ким образом, точка прямой:

4 , направляющий вектор прямой:

6; 3 .

Ответ:

3; 8;

4 ,

6; 3 .

Пример 4.2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

через точку

4; 9; 1

параллельно вектору

2; 3;

5 .

Решение. В условиях примера точка прямой имеет следующие коор-

динаты:

1, направляющий вектор прямой имеет коор-

152

динаты:

5. Подставляем эти данные в канонические урав-

нения прямой

. Получаем:

. Преобра-

зуем:

Ответ: .

Пример 4.3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

через точку	1; 7; 6 параллельно прямой						.

Решение. Исходная прямая задана каноническими уравнениями. Запишем е направляющий вектор: 4; 7; 2 . Так как искомая и данная прямые параллельны, то направляющий вектор данной прямой можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой. Точка искомой прямой

задана. Составляем канонические уравнения искомой прямой:

. Преобразуем:

Ответ:

Пример 4.4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

через точку

8; 5; 2 параллельно оси .

Решение. Так как прямая параллельна оси

, то в качестве направ-

ляющего вектора прямой можно взять вектор

0; 1; 0 . Точка прямой

задана. Составляем канонические уравнения искомой прямой:

. Преобразуем:

. В полученных уравнениях в

знаменателе присутствует число ноль. Запись канонических уравнений прямой условная, поэтому присутствие нуля в знаменателе не означает «деление на ноль». Эта запись говорит лишь о том, что первая и третья координаты направляющего вектора прямой равны нулю.

Ответ: .

4.2. Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим канонические уравнения прямой:

Обозначим каждую дробь через параметр :

Отсюда можно записать систему уравнений:

{ .

Преобразуем:

153

Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями

прямой.
Пример 4.5. Даны параметрические уравнения прямой:
						2		3 ,
						6	5 ,
						1		7 .
Найти точку прямой и направляющий вектор прямой.
Решение. Сравнивая данные уравнения с параметрическими уравне-
				,
ниями прямой:				, получаем:				2,	6,		1,		3,
				,
5,	7. Таким образом,				точка прямой:			2; 6;		1 , направляющий
вектор прямой:		3; 5; 7 .
Ответ:		2; 6;	1 ,			3; 5; 7 .
Пример 4.6. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-
щей через точку		2;	4;	1	параллельно вектору					5;	3; 6 .
Решение. В условиях примера точка прямой имеет следующие коор-
динаты:	2,	4,			1, направляющий вектор прямой имеет ко-
ординаты:	5,	3,			6. Подставляем эти данные в параметрические
					,			2	5	,
уравнения прямой:					, Получаем:			4	3	,
		2	5 ,		.			1	6 .
		2	5 ,
Ответ:		4	3 ,
		1	6 .
Пример 4.7. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-
щей через точку		2; 3; 8		параллельно прямой								.
щей через точку		2; 3; 8		параллельно прямой								.
Решение. Исходная прямая задана каноническими уравнениями. За-
пишем е направляющий вектор:						7;	6;	4 . Так как искомая и данная

прямые параллельны, то направляющий вектор данной прямой можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой. Точка искомой прямой

задана.	Составляем		параметрические	уравнения	искомой прямой:
2	7 ,
3	6 ,
8	4 .	2	7 ,
		2	7 ,
Ответ:		3	6 ,
		8	4 .
Пример 4.8. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-
					3	2 ,
щей через точку		4; 0; 9 параллельно прямой			5	3 ,
					4	6 .
Решение. Исходная прямая задана параметрическими уравнениями.
Запишем е направляющий вектор:				2; 3; 6 . Так как искомая и дан-

ная прямые параллельны, то направляющий вектор данной прямой можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой. Точка искомой

154

прямой	задана.		Составляем		канонические		уравнения		искомой	прямой:
4	2 ,
3 ,
9	6 .		4	2 ,
			4	2 ,
Ответ:			3	, .
			9	6 .
Пример 4.9. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-
щей через точку			7;	5; 3	параллельно оси .
Решение. Так как прямая параллельна оси								, то в качестве направля-
ющего вектора прямой можно взять вектор								0; 0; 1 . Точка прямой
задана.	Составляем			параметрические		уравнения			искомой	прямой:
7	0 ∙	,			7,
5	0 ∙	, Преобразуем:			5,
	3 .		7,		3 .
			7,
Ответ:			5,
			3 .
4.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть даны две точки прямой						;	;	и	; ;	. В каче-
стве направляющего вектора прямой можно взять вектор
	;		;	. Далее воспользуемся каноническими уравнени-

ями прямой, выбирая в качестве заданной точки прямой любую из точек или . Выберем точку . Получаем:

Полученные уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример 4.10. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки: 1) 5; 1; 0 , 1; 2; 4 ; 2) 4;7; 2 ,

4; 3; 1 .

Решение.

1) В условиях примера 5, 1, 1, 2, 0, 4. Подставляем эти данные в уравнения прямой, проходящей через две

данные точки:

. Получаем:

. Преобразуем:

2) В условиях примера

1. Подставляем эти данные в уравнения прямой, проходящей через две

данные точки:

. Получаем:

. Пре-

образуем:

. В полученных уравнениях в знаменателе присут-

ствует число ноль. Это говорит о том, что первая координата направляющего вектора прямой равна нулю.

Ответ: 1)	; 2)		.
Ответ: 1)	; 2)	155	.
		155

Тогда	\|	\|	, то есть точка делит отрезок	в отношении
	\|	\|

. Найд м координаты точки . Для этого воспользуемся формулами, позво-

ляющими находить координаты точки, если известны координаты конца отрезка и известно отношение, в котором точка делит отрезок. Получаем:

				∙				,			∙	4,
				∙							∙



					∙					.			; 4;
					∙



Точка пересечения биссектрисы и стороны :														.
Точка пересечения биссектрисы и стороны :														.
	Составляем канонические уравнения биссектрисы, то есть уравнения
прямой, проходящей через точки										и . Получаем:
						.
						.

	Преобразуем:
			.
			.

	Умножим уравнения на								:
	Умножим уравнения на								:
		.					.
	Ответ:	.

4.4. Прямая как пересечение двух плоскостей

Прямая в пространстве определяется как пересечение двух плоскостей. Обозначим одну плоскость через , другую плоскость обозначим через , прямую обозначим через (рис.4.3).

Рис. 4.3. Прямая в пространстве, определяемая как пересечение двух плоскостей

Пусть плоскость задана общим уравнением:

157

Плоскость задана общим уравнением:

Тогда алгебраически прямую в пространстве можно задать как систему двух общих уравнений первой степени:

Указанная система определяет прямую в пространстве как пересече-

ние двух плоскостей.

Заметим,

что плоскости

не параллельны и не совпадают. В

этом случае нормальные векторы этих плоскостей

;

не кооллинеарны, а значит коэффициенты при переменных в об-

щих уравнениях не пропорциональны.

Пример 4.13. Составить уравнения прямой, образованной пересече-

нием плоскости 3

9 0 с плоскостью, проходящей через ось

и точку

3; 2;

5 .

Решение. Плоскость, проходящую через ось

можно записать в

виде

0. Эта

плоскость

по условию

проходит

через

точку

3; 2;

5 . Поэтому координаты этой точки удовлетворяют уравнению

плоскости. Подставляем координаты точки

в уравнение плоскости:

∙ 2

∙

0. Отсюда

. Подставляем полученное выражение в урав-

нение плоскости:

0. Отсюда 5

Искомая прямая определяется как пересечение данной плоскости и

найденной плоскости. Поэтому уравнения искомой прямой можно записать

в виде системы уравнений этих плоскостей:
	3	7	9	0,
	5	2	0.
	Ответ: 3	5	7	9	0,
		5	2	0.
	Пример 4.14. Определить, при каком значении					прямая 4	2
2	0, 3	4		2	0 пересекает ось .
	Решение.	Точка пересечения прямой с осью				имеет нулевые абс-

циссу и ординату. Прямая задана как пересечение двух плоскостей. Поэтому

точка пересечения с осью					одновременно принадлежит обеим плоскостям.
Подставив в уравнения плоскостей						0, получаем систему из двух
уравнений:
		2	0,
		2	0.
	Отсюда		2,	4.
	Ответ:		4.
	Пример 4.15. Составить канонические уравнения прямой, проходя-
щей через точку				6; 1;	4 параллельно прямой 2		8 0,
3	4	2	1 0.

158

Решение. Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой. Данная прямая определена как пересечение двух плоскостей. Поэтому е направляющий вектор можно найти как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей. Запишем нормальные


векторы данных плоскостей:		2; 1; 1 ,	3; 4; 2 .
Находим направляющий вектор искомой прямой, как векторное про-
изведение векторов	и . Воспользуемся формулой векторного произве-
дения векторов через их координаты. Получаем:

̅̅

2			1		1	2 ̅ 7 ̅ 11 .
3			4		2		2; 7;	11 .
	Таким образом, направляющий вектор прямой:						2; 7;	11 .
	Составляем канонические уравнения прямой:
				.
	Преобразуем:			.
	Преобразуем:
		.			.
	Ответ:	.					2	3


	Пример 4.16. Составить уравнения проекции прямой
5 0 и 2			2 0 на координатную плоскость				.

Решение. Проекцией данной прямой на координатную плоскость является прямая. Эта прямая образуется при пересечении проектирующей плоскости с координатной плоскостью . Исходная прямая задана как пересечение двух плоскостей. Поэтому проектирующая плоскость проходит через прямую пересечения этих плоскостей перпендикулярно координатной

плоскости		. Для составления уравнения проектирующей плоскости вос-
пользуемся уравнением пучка плоскостей. Получаем:
	2	3	5	2	2	0.
Преобразуем к общему уравнению плоскости:
1	2		2		3	5	2	0.
Так как плоскость перпендикулярна координатной плоскости
или, иначе, параллельна оси					, то коэффициент перед переменной в об-
щем уравнении плоскости равен нулю: 3							0. Отсюда		3.
Подставляем значение					3 в уравнение пучка плоскостей, привед н-
ного к общему уравнению:
1 2 ∙ 3			2 3		3 3		5 2 ∙ 3		0.
Преобразуем:
7		1	0.
Получили уравнение проектирующей плоскости.
Искомые уравнения проекции запишем в виде системы уравнений
проектирующей плоскости и координатной плоскости								:
7		1	0,
Ответ:		70.	1		0,
			0.
					159

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.202413.37 Mб2912.pdf
#
09.01.202413.83 Mб2913.pdf
#
09.01.202415.17 Mб0914.pdf
#
09.01.202415.55 Mб0915.pdf
#
09.01.202415.76 Mб1916.pdf
#
09.01.202415.95 Mб2917.pdf
#
09.01.202415.98 Mб2918.pdf
#
09.01.202416.2 Mб0919.pdf
#
09.01.2024460.4 Кб092.pdf
#
09.01.202416.73 Mб1920.pdf
#
09.01.202416.8 Mб0921.pdf