917

шем нормальный вектор плоскости:

7; 1; 3 .

Тогда направляющий

вектор прямой:

7; 1; 3 . Составляем канонические уравнения пря-

мой:

.

Преобразуем:

.

.

Ответ:

Пример 4.26. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку

3;

6; 5

перпендикулярно к прямой 2

4

3

8 0,

3

5

0.

1

2 ,

Пример 4.28. Найти точку пересечения прямой

3 , и плоско-

сти 2

3

4 0.

1 .

нений:

1

2 ,

3

,

1

,

2

3

4

0.

Подставим выражения для переменных

,

,

в последнее уравнение

системы:

2 1

2

3 3

1

4

0.

Преобразуем:

14

1

0.

Отсюда

.

Подставляем значение

в выражения для

, ,

:

1

2 ∙

,

3 ∙

,

1

.

Получили точку пересечения прямой и плоскости:

;

;

.

Ответ:

;

;

.

Пример 4.29. Найти точки пересечения прямой, заданной как пересе-

чение плоскостей 3

2

8

0 и 7

5

3

9

0, с координат-

ной плоскостью

.

плоскости

. Поэтому искомую точку можно найти, совместно решая

уравнения тр х плоскостей: двух данных и координатной плоскости

.

Уравнение координатной плоскости

имеет вид:

0.

Составляем систему уравнений:

нении. Запишем нормальный вектор плоскости:

3; 1; 2 .

Тогда

направляющий вектор прямой:

3; 1; 2 .

Для прямой известна точка . Составим параметрические уравнения

прямой:

1

3 ,

3

,

4

2 .

Точку

найд м как точку пересечения прямой

с плоскостью

. Для

уравнений:

1

3 ,

3

,

4

2 ,

3

2

0.

Подставим выражения для переменных

, , в последнее уравнение

системы:

3 1

3

3

2

4

2

0.

Преобразуем:

14

14

0.

Отсюда

1.

Подставляем значение

1 в выражения для ,

, :

1 3 ∙ 1

2,

3 1 2,

4 2 ∙ 1

2.

Получили точку пересечения прямой и плоскости:

2; 2;

2 .

Точка

является серединой отрезка

.Координаты точки

заданы.

; отсюда

2

,

5;

; отсюда 2

,

1;

; отсюда

2

,

0.

Получили искомую точку:

5; 1; 0 .

Ответ:

5; 1; 0 .

Пример 4.31. Найти точку

, симметричную точке 4; 1; 6 относи-

тельно прямой

4

12

0, 2

2

3 0.

Решение. Для нахождения искомой точки понадобится плоскость,

проходящая через точку

перпендикулярно данной прямой.

Обозначим:

1

1

4

12

2

1

2

3 .

2

2

1

12

Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на

2 и при-

бавим к третьей строке также первую строку, умноженную на

2:

1

1

4

12

0

3

6

21 .

0

0

9

36

Разделим вторую строку на 3, разделим третью строку на 9:

1

1

4

12

0

1

2

7 .

0

0

1

4

Записываем систему уравнений:

4

12,

2

7,

Отсюда

4.

1,

3.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости:

3;

1; 4 .

Точка

является серединой отрезка . Координаты точки

заданы.

; отсюда 3

,

2;

; отсюда 1

,

3;

; отсюда 4

,

2.

Получили искомую точку:

2;

3; 2 .

Ответ: 2; 3; 2 .

4.11. Механический смысл параметрических уравнений прямой

Рассмотрим прямолинейное движение точки

; ;

. Начальное по-

ложение этой точки обозначим через

; ; . Пусть

– время, прошед-

шее от начала движения.

,

.

Левые части этих уравнений представляют координаты вектора

,

числа

, ,

являются координатами направляющего вектора прямой,

то

есть вектора

. Таким образом:

;

;

,

;

; .

177

прямолинейного

движения

произвольной

точки

; ;

из

точки

;

;

в направлении вектора

за время

. При этом путь

, прой-

денный точкой

, пропорционален времени , то есть движение точки

равномерно.

Найд м скорость

движения точки

. Для этого найд м путь, прой-

денный точкой за первую секунду, то есть при

1. Получаем:

|

|

| |

√

.

Таким образом, параметрические уравнения прямой определяют пря-

молинейное

и

равномерное

движение

точки

; ;

из

точки

;

;

в направлении вектора

за время

со скоростью:

√

.

4.12. Прямая в пространстве в прикладных задачах

Задача 4.1. Даны

уравнения

движения

точки

; ; :

3

12 ,

1

15 ,

Определить е

скорость .

4

16 .

Решение. Уравнения движения точки

определяют прямую, задан-

12; 15; 16 . Находим скорость движения точки:

12

15

16

25.

Ответ: 25.

Задача 4.2. Составить уравнения движения точки

; ; , которая

имея начальное положение

4;

7; 6 , движется прямолинейно и равно-

мерно в направлении вектора

̅

6; 2; 9 со скоростью

55.

По условию точка движется в направлении вектора ̅. Поэтому направ-

ляющий вектор прямой и вектор ̅коллинеарны, то есть

̅, где –

некоторое положительное число.

Так как точка движется прямолинейно и равномерно, то скорость е

движения

| |

| ̅|. Находим модуль вектора

̅: | ̅|

6

2

9

11. По условию скорость

55. Получаем уравнение:

55

∙ 11. Отсюда

5. Тогда направляющий вектор прямой:

5 ̅

30;

10; 45 .

178

Составляем параметрические уравнения прямой:

4

30 ,

7

10 ,

6

454.

30 ,

Ответ:

7

10 ,

6

45 .

Задача 4.3. Точка

; ;

движется прямолинейно и равномерно из

начального положения

15;

24; 16 со скоростью

12 в направле-

нии вектора ̅

2; 2; 1 . Убедившись, что траектория точки пересекает

плоскость 3

4

7

17 0, найти: 1) точку

их пересечения;

2) время, затраченное на движение точки

от

до ; 3) длину отрезка

.

Решение. В задаче надо убедиться, что траектория точки пересекает

точка движется в направлении вектора

̅. Поэтому направляющий вектор

прямой

и вектор

̅коллинеарны, то есть

̅, где

– некоторое положи-

тельное число.

Так как точка движется прямолинейно и равномерно, то скорость е

движения

|

|

| ̅|. Находим

модуль

вектора

̅: | ̅|

2

2 1

3. По условию скорость

12. Получаем уравнение:

12

∙ 3. Отсюда

4. Тогда направляющий вектор прямой:

4 ̅

∙

8 ∙ 3 8 ∙ 4 4 ∙ 7 36 0,

15

8 ,

параметрические уравнения прямой:

24

8 , Затем решим сов-

16

4 .