- •Управленческие решения
- •Лекция 2
- •Лекция 3 Постановка задач управления.
- •Критерий оптимальности.
- •Классификация критериев управления.
- •Постановка управленческих задач.
- •Лекция 5
- •Анализ чувствительности управленческих решений в задачах линейного программирования.
- •Лекция 7
- •Понятие опорного базиса системы.
- •Тема: Неопределенность в задачах принятия решений.
- •Тема: Принятие решений в активных организационных системах.
- •Метод формирования данных.
- •Лекция №10. 18.04.05
- •Лекция №11. 26.04.05
- •2. Принцип нормативного распределения рентабельности.
- •3. Принцип равноприбыльности.
- •2. Блок реализации
- •16.05.05 Лекция №13
Анализ чувствительности управленческих решений в задачах линейного программирования.
Пусть мы находимся в классе задач линейного программирования:
Yi = bi - aij xj0
cj, aij, bi – параметры модели
xj0 – оптимальное решение
yi – запасы ресурса i –го вида
Ф(х0), Y(х0) – выходные характеристики данной модели (результат решения оптимизационной задачи).
При некоторых заданных исходных параметрах находится оптимальное управленческое решение.
Реальная жизнь, рыночная обстановка всегда сопровождаются определенными возмущениями (это различные изменения).
∆cj – отклонение по коэффициентам целевой функции,
∆aij – отклонение по нормативам затрат,
∆bi – отклонение по ресурсу.
Возникают следующие задачи:
Как оценить влияние этих возмущений на управленческое решение.
Что делать лицу, принимающему решение в условиях возмущения.
Ф= 18х1 + 78х2 max
102х1 + 122х2 ≤ 5000,
х2 ≤ 30.
х10 = 12; х20 = 30; Ф = 30*78 + 12*18 = 2556 р.
у1 = 0 (резервы не останутся).
Бухгалтер сообщает, что отдали долг в размере 2000 р. Возникло возмущение в 2000 р. (∆b1 = 2000).
Будем выпускать еще 19,6 кг. вареной колбасы.
ОДС расширится.
Лекция 6
Запишем матрицу:
|
х1 |
х2 |
… |
хj |
… |
хк |
хк+1 |
… |
Уn |
| |
a11 |
a12 |
… |
a1j |
… |
a1k |
a1k+1 |
… |
a1n |
≤ b1 | ||
|
a21 |
a22 |
… |
a2j |
… |
a2k |
a2k+1 |
… |
a2n |
≤ b2 | |
|
,,, |
,,, |
… |
,,, |
… |
,,, |
,,, |
… |
,,, |
,,, | |
|
ai1 |
ai2 |
… |
aij |
… |
aik |
aik+1 |
… |
ain |
≤ bi | |
|
,,, |
,,, |
… |
,,, |
… |
,,, |
,,, |
… |
,,, |
,,, | |
|
ak1 |
ak2 |
… |
akj |
… |
akk |
akk+1 |
… |
akn |
≤ bk | |
|
,,, |
,,, |
… |
,,, |
… |
,,, |
,,, |
… |
,,, |
,,, | |
|
am1 |
am2 |
… |
amj |
… |
amk |
amk+1 |
… |
amn |
≤ bm | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, что задача решена, т.е. найдено оптимальное решение, найдено значение критерия в этом оптимальном решении и определены резервы по ресурсу.
Предположим, что в оптимальном плане хj отличного от нуля (хj0), .
эти переменные выгодны, они вошли в план,
эти переменные не выгодны, они не вошли в план.
Выяснилось, что в оптимальном плане Уi = 0 для и отличны от 0 для :
Оказалось, что к ресурсов оказалось дефицитными, а остальные ресурсы оказались недефицитными.
Выделим в исходной матрице матрицу размерностью кк:
|
х1 |
х2 |
… |
хj |
… |
хк |
хк+1 |
… |
Уn |
| |
a11 |
a12 |
… |
a1j |
… |
a1k |
a1k+1 |
… |
a1n |
≤ b1 | ||
|
a21 |
a22 |
… |
a2j |
… |
a2k |
a2k+1 |
… |
a2n |
≤ b2 | |
|
,,, |
,,, |
… |
,,, |
… |
,,, |
,,, |
… |
,,, |
,,, | |
|
ai1 |
ai2 |
… |
aij |
… |
aik |
aik+1 |
… |
ain |
≤ bi | |
|
,,, |
,,, |
… |
,,, |
… |
,,, |
,,, |
… |
,,, |
,,, | |
ak1 |
ak2 |
… |
akj |
… |
akk |
akk+1 |
… |
akn |
≤ bk | ||
|
,,, |
,,, |
… |
,,, |
… |
,,, |
,,, |
… |
,,, |
,,, | |
|
am1 |
am2 |
… |
amj |
… |
amk |
amk+1 |
… |
amn |
≤ bm | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой матрице будут коэффициенты, которые соответствуют ненулевым х и нулевым ресурсам.
Будет строгое равенство: Акх=В
В векторном виде введем чувствительность переменных х к вариации ресурсов.
α будет матрица коэффициентов чувствительности. Каждый коэффициент матрицы будет определять чувствительность j-той переменной к вариации j-го ресурса.
Если бы возникло возмущение Δbj, то оно породило бы реакцию Δxj:
.
Продифференцируем уравнение Акх=В по В:
Умножим обе части на матрицу обратную Ак:
Переходим от частных коэффициентов к отклонениям.
Если вариации подверглись одновременно несколько типов ресурсов, тогда общая реакция будет подчиняться аддитивному правилу:
s – индекс возмущенного ресурса.
Рассмотрим пример.
Пусть имеется задача Ф=2х1 + 4х2 → max
1,2 – ресурсы дефицитные,
3 – ресурс не дефицитный,
У≠0.
Х1+2х2=100
2х1+х2=100 → х1=33,4; х2=33,3.
Ф=2*33,4+4*33,3=200
У1=У2=0, тогда У3=500/3=166,7.
В данном случае матрица Ак:
,
Переходим к строгим равенствам, зная, что эти ресурсы дефицитные:
x1+2х2=b1,
2x1+x2=b2.
Продифференцируем 1 и 2 уравнения по b1:
α (чувствительность) показывает насколько меняется х при изменении b на единицу.
Если в системе появится 1 дополнительная шт. ресурса 1, то вторую продукцию можно увеличить на 2/3.
Добавление в систему ресурса увеличивает возможности.
Продифференцируем исходную систему по b2:
Если одновременно меняется несколько ресурсов, то справедливо правило «аддитивности»:
Рассмотрим пример:
Предположим, что в некоторой системе возникло возмущение по некоторому ресурсу bs. Это возмущение породит изменение в оптимальном плане:
j-тая продукция – продукция особой важности. Нам желательно застабилизировать выпуск в прежнем виде. Тогда может формулироваться так называемая задача взаимозаменяемости ресурсов.
Тогда Δхj будет отрицательно.
Однако есть некоторый l-тый ресурс bl , которым мы управляем (можем его докупить). Более того αjl>0.
Надо рассчитывать количество l-того ресурса, который компенсировал бы недопоставку S-того ресурса.
bl → ∆bl = ∆xj=αjl·∆bl
- коэффициент взаимозаменяемости ресурсов.
Чувствительность плана к недефицитным ресурсам = 0.
Введем характеристику чувствительности -чувствительность критерия задачи к вариации i-го ресурса.
Чувствительность критерия к недефицитным ресурсам = 0.
Чувствительность критерия к дефицитным ресурсам:
ΔФ=Zi Δbi
Если будет колебаться несколько критериев, то ΔФ=∑Zi Δbi