11. Экономическая трактовка задачи линейного программирования

Имеется предприятие по производству колбасы. Мы можем выпускать 2 вида колбасы:

- вареную;

- ветчинно-рубленную.

Цена вареной колбасы 120 руб.

Цена ветчинно-рубленной – 200 руб.

Для производства этих колбас используется 3 вида рекурсов:

- говядина,

- свинина,

- горох.

На складе имеются следующие запасы этих ресурсов:

- говядина – 100 кг.,

- свинина – 60 кг.,

- горох – 200 кг.

Известны нормативы затрат каждого вида ресурса на производство единицы продукции:

Ставится задача: Лицо, принимающее решения, должно составить план выпуска продукции, так чтобы уложиться в ограничение и обеспечить максимум стоимости выпускаемой продукции.

Введем переменные:

x – количество выпускаемой продукции,

j – номер выпускаемой продукции, j=1,2,

Тогда х_j – количество продукции j-го типа, которое мы должны определить.

b – количество ресурса, которым располагает ЛПР.

i – номер ресурса, i=1,3,

Ц_j – цена за 1 ед. j-го типа продукции,

b_i - количество ресурсов i-го типа, которыми распоряжается ЛПР,

а – норматив затрат ресурса,

а_ij – показывает сколько единиц i-го ресурса требуется для производства 1 шт. j-той продукции.

Задачи, в которых переменные и критерии и в ограничениях находятся в первой степени, называются задачами линейного программирования.

Задача в общем виде:

- количество говядины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество свинины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество гороха, который потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию.

12. Математическая постановка задачи компаундирования

Математическая модель задачи оптимального компаундирования представляет собой частный случай общей задачи линейного программирования о смесях.

Оптимизация процессов смешения полуфабрикатов (нефтепереработка)

Имеется два полуфабриката бензина с показателями качества октанового числа. У перво­го полуфабриката октановое число О₁ = 86, у второго О₂ = 98 . Запасы объемов полуфабрика­тов равны 200 и 100 единиц соответственно. Октановое число смеси описывается аддитивным законом: О_смеси=(О₁*у₁+О₂*у₂)/(у₁+у₂), где у₁ и у₂ -объем первого и второго полуфабриката. Построим область допустимых состояний (решений) при рецептуре О_смеси > 95 .

На нефтеперерабатывающем заводе имеются в наличии три вида полуфабриката бензина, запасы которых ограничены. Качество полуфабрикатов характеризуется октановым числом: 74, 80 и 98. Необходимо решить задачу смешения по критерии максимизации прибыли так, чтобы; получить два конечных продукта - бензины с октановыми числами 76 и 92 соответственно, учитывая, что октановое число смеси описывается аддитивным законом. Запасы и цены полу­фабрикатов, а также цены конечных продуктов даны в таблице:

13. Этапы постановки и математической формализации

Наука – формальные методы, логическое построение которых позволяют принять управленческие решения.

Пример: талантливые люди, основываясь на известной информации, полагаясь на свой опыт и умение, принимали управленческие решения

Ф(х,а)max

Как формализовать задачу принятия решения:

1 этап: Описывается исследуемая система: определяется ее целевое назначение, характер деятельности, характер выпускаемой продукции, используемые ресурсы, описываются нормативные параметры, ограничения внешние и внутренние.

2 этап: Введение элементов формалистики: вводятся переменные(управленческие решения, которые будут искаться), вводятся параметры и формализованные обозначения, вводятся индексы, формулируется математическая запись критерия управления и система ограничений+ математическая постановка задачи

Ф(х) – мах - критерий

х € Х - с-ма ограничений

3 этап: В зависимости от полученной конструкции выбираем метод решения задачи

4 этап: Решение задачи, получение результатов. Х_j⁰ – оптимальное решение (экстремум целевой функции)

5 этап: Анализ полученных результатов и оценка их адекватности реалиям. Если результаты не соответствуют реальности, то возврат на пункт 1.

Пример: измеряли связь между температурой верха колонны и качеством полученного изделия, основываясь на статистических данных, выяснили, что коэффициент корреляции=0(значит связи нет), а в реальности(на практике) качество продукции регулируется именно температурой верха колонны.

Пример: 1 этап: Имеется предприятие, которое выпускает определенную номенклатуру образцов. При выпуске продукции используются определенные ресурсы. Известны нормативы затрат каждого вида ресурса на производство 1 штуки каждого вида продукции. Имеется информация о запасах каждого вида ресурса. Имеется информация о ценах, по которым мы реализуем каждый вид продукции. Необходимо найти оптимальную производственную программу, которая обеспечила бы максимум выручки или дохода.

2 этап: х – количество выпускаемой продукции

j – номер конкретного вида продукции

n – количество видов продукции j=от 1 до n

Xj – количество продукции j-го вида, которое мы будем выпускать

Сj – цена, по которой будет выпускаться j-й вид продукции

Ф=- выручка от продукции

–сколько i-го ресурса мы потратили, произведя все ресурсы

i = от 1 до m

Aij – сколько ресурсов i-го типа, чтобы произвести j-ю продукцию в количестве 1 штуки

Bi – запас ресурса i-го вида, которым мы располагаем