9. Постановка задач принятия упр.Решений в классе линейных моделей

Существуют определенные правила, которыми следует руководствоваться, чтобы сформулировать задачу.

Постановка управленческой задачи включает в себя 2 элемента:

- Критерии задач (орган управления должен четко сформулировать, что он хочет).

- Ограничения (внешние и внутренние).

Лицо, принимающее решения, имеет возможность влиять на ограничение.

Ф(х) – некоторый критерий.

х – параметры, которые мы пытаемся активизировать.

Задача.

Имеется предприятие по производству колбасы. Мы можем выпускать 2 вида колбасы:

- вареную;

- ветчинно-рубленную.

Цена вареной колбасы 120 руб.

Цена ветчинно-рубленной – 200 руб.

Для производства этих колбас используется 3 вида рекурсов:

- говядина,

- свинина,

- горох.

На складе имеются следующие запасы этих ресурсов:

- говядина – 100 кг.,

- свинина – 60 кг.,

- горох – 200 кг.

Известны нормативы затрат каждого вида ресурса на производство единицы продукции:

Ставится задача: Лицо, принимающее решения, должно составить план выпуска продукции, так чтобы уложиться в ограничение и обеспечить максимум стоимости выпускаемой продукции.

Введем переменные:

x – количество выпускаемой продукции,

j – номер выпускаемой продукции, j=1,2,

Тогда х_j – количество продукции j-го типа, которое мы должны определить.

b – количество ресурса, которым располагает ЛПР.

i – номер ресурса, i=1,3,

Ц_j – цена за 1 ед. j-го типа продукции,

b_i - количество ресурсов i-го типа, которыми распоряжается ЛПР,

а – норматив затрат ресурса,

а_ij – показывает сколько единиц i-го ресурса требуется для производства 1 шт. j-той продукции.

Задачи, в которых переменные и критерии и в ограничениях находятся в первой степени, называются задачами линейного программирования.

Задача в общем виде:

- количество говядины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество свинины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество гороха, который потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию.

Общий вид задачи:

120х₁ + 200х₂ → max

0,7х₁ + 0,3х₂ ≤ 100

0,2х₁ + 0,6х₂ ≤ 60

0,1х₁ + 0,1х₂ ≤ 200.

Решим задачу методом геометрической интерпретации:

ОДС₁ – если смотреть на задачу через призму только 1-го ограничения (говядины),

ОДС₂ – если смотреть на задачу через призму только 2-го ограничения (свинины).

Построим прямую Ф=0. Точка, максимально удаленная от прямой Ф=0 – точка оптимума.

Оптимальное решение находится на пересечении условий (пересечение условий говядины и свинины).

0,7х₁ + 0,3х₂ = 100

0,2х₁ + 0,6х₂ = 60,

Точка оптимума имеет координаты

х₁ = 116,56

х₂ = 61,143

Резерв по ресурсу – это разность между запасами с сколько надо потратить.

у₁ = 0

у₂ = 0 резервные ресурсы.

У₃ ≠ 0 – недефицитны ресурс.

10. Графическая интерпретация задачи линейного программирования

0,7 * х ₁ + 0,3 * х ₂ 100

0,2 * х ₁ + 0,6 * х ₂ 60

0,1 * х ₁ + 0,1 * х ₂ 200

При определении оптимальной точки ОДР необходимо учитывать 2 фактора:

- оптимальная точка лежит на границе условий

- оптимальная точка находится на пересечении условий (одна из угловых точек)

При графическом решении строится прямая, соответствующая нулевому уровню прибыли Ф=0.

120* х ₁ + 200 * х ₂ = 0

0,7 * х ₁ + 0,3 * х ₂ = 100

0,2 * х ₁ + 0,6 * х ₂ = 60

0,2 * х ₁ = 60 – 0,6 х ₂

х ₁ = 300 - 3 х ₂

0,7 (300 - 3 х ₂ ) + 0,3 х ₂ = 100

210 – 2,1 х ₂ + 0,3 х ₂ = 100

х ₂^opt = 61,143

х ₁^opt = 300 – 3*61 = 116,56

_n

Обозначим через у_i = b_i -  а_ijх _j ;

_{j = 1}

у_i показывает, сколько остается в распоряжении i-того ресурса после реализации оптимальной производственной программы. Фактически это резерв по какому-либо ресурсу.

у₁ = 0

у₂ = 0

у₃  0

То есть ресурсы, для которых резервы равны 0 называются дефицитными, то есть они потребляются полностью. Ресурсы, для которых резервы не равны 0 – недефицитные.