Задачи для самостоятельной работы

ЗАДАЧА 1

Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака продукции. В выборке было взято 400 единиц изделий из общего количества в 4 тыс. единиц. В результате выборки обнаружен брак в 65 изделиях.

Определите:

1. размеры колебаний брака во всей партии с вероятностью 0,954;

2. сколько продукции должно быть выборочно обследовано для определения доли брака с ошибкой, не превышающей 1% исходя из приведенных выше показателей.

ЗАДАЧА 2

На ткацкой фабрике работает 800 ткачих. В порядке случайной повторной выборки определена средняя дневная выработка 100 ткачих. В итоге этого обследования получены следующие данные:

Дневная выработка, м	350-450	450-550	550-650
Число ткачих	25	55	20

Определите с вероятностью 0,997 пределы нахождения средней выработки всех ткачих фабрики.

ЗАДАЧА 3

Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака продукции. В выборку было взято 900 единиц изделий из общего количества в 5 тыс. единиц. В результате выборки был обнаружен брак в 70 изделиях.

Определите:

1. численность бракованных единиц продукции во всей партии с вероятностью 0,954;

2. сколько продукции должно быть обследовано для определения доли брака с ошибкой, не превышающей 1%, исходя из приведенных выше показателей, с вероятностью 0,997.

ЗАДАЧА 4

При обработке материалов учета городского населения методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе 10% жителей в возрасте свыше 60 лет. При этом из общей численности города (400 тыс. человек) выборкой было охвачено 100 тыс. человек.

Определите, с вероятностью 0,954 в каких пределах колеблется доля жителей в возрасте старше 60 лет среди всего населения города.

ЗАДАЧА 5

В городе проживает 10 тыс. семей. С помощью выборки предполагается определить долю семей с тремя детьми и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?

ЗАДАЧА 6

Для определения средней влажности 10 т пшеницы проводится случайная бесповторная выборка. Сколько проб весом 200 г необходимо взять для того, чтобы с вероятностью 0,997 гарантировать ошибку средней влажности всего зерна, не превышающую 0,1%? Среднее квадратическое отклонение по данным прошлого обследования равно 0,6%.

Тема 9. Статистическое изучение связи между признаками

1. Виды и формы связей.

2. Методы изучения связи.

3. Оценка тесноты связи.

Методические указания

При изучении связей различают факторные и результативные признаки. Факторные– это признаки, влияющие на изменение других признаков, т.е. выступающие в качестве аргумента.Результативные– это признаки, которые зависят от факторных и изменяются под их воздействием, т.е. выступающие в качестве функции.

В зависимости от направления действия связи могут быть прямые (положительные) и обратные (отрицательные). Связь называется прямой, если направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения факторного признака. Если же с увеличением факторного признака результативный признак уменьшается, то такие связи называются обратными.

По характеру зависимости между признаками различают два вида связей: функциональные и корреляционные.

Функциональная связь – это такая связь, при которой каждому значению факторного признака соответствует строго определенное значение результативного признака. Функциональная связь характеризуется полным соответствием между названными признаками. Функциональную связь можно представить в виде уравнения:

,

где x – факторный признак;

y – результативный признак.

Заметим, что факторных признаков может быть несколько.

Корреляционная связь – это такая связь, когда одному и тому же значению факторного признака могут соответствовать различные значения результативного, при этом с изменением факторного признака изменяется средняя величина результативного признака.

Корреляционная связь возникает в тех случаях, когда на результативный признак действует, помимо изучаемого фактора, множество других, от влияния которых абстрагируются. Особенности корреляционной связи в том, что они обнаруживаются не в единичных случаях, а в массе, в среднем, и в том, что это неполные, приближенные связи. Корреляционную связь можно выразить уравнением:

,

где x – факторный признак,

–среднее значение результативного признака, сформировавшееся под действием всех факторов.

По аналитическому выражению (форме) связи могут быть прямолинейные и криволинейные. Связь называется прямолинейной (линейной), если зависимость результативного признака от факторного может быть выражена уравнением прямой линии. Связь называется криволинейной, если зависимость между признаками выражается уравнением какой-либо кривой (параболы, гиперболы и др.)

В зависимости от числа определяющих признаков связи делятся на простые (однофакторные) и множественные (многофакторные). Однофакторной называется связь, если исследуется зависимость между одним признаком-фактором и результативным признаком. Такие связи называются также парными. Многофакторные связи – это связи между несколькими (двумя и более) факторными признаками и результативным признаком.

Связи между общественными явлениями, установленные на основе теоретического анализа, могут быть изучены, измерены и количественно выражены с помощью различных статистических методов.

Для исследования функциональных связей применяются балансовый и индексный методы. Для исследования корреляционных связей применяют метод сравнения параллельных рядов, метод аналитических группировок, графический метод, корреляционно-регрессионный анализ (КРА).

Измерить тесноту связи – это определить, насколько вариация результативного признака зависит от вариации факторного признака.

Для количественной характеристики тесноты связи между признаками используют следующие показатели: 1) эмпирический коэффициент детерминации, 2) эмпирическое корреляционное отношение, 3) теоретическое корреляционное отношение, 4) линейный коэффициент корреляции и др.

Для успешного усвоения темы 9 необходимо ознакомиться с представленным теоретическим материалом и целесообразно решить предлагаемые задачи.

Один из наиболее распространенных методов изучения связей – метод группировок в сочетании с методом средних. Этот метод позволяет установить наличие связи, определить направление связи, приближенно измерить тесноту связи.

Методика применения группировок в сочетании с методом средних при изучении связей заключается в следующем:

1. проводят группировку изучаемой совокупности по величине факторного признака;

2. рассчитывают среднее значение результативного признака для каждой группы;

3. сопоставляют направление изменения среднего значения результативного признака с направлением изменения факторного признака.

Рассматриваемый метод позволяет измерить тесноту связи. Для этого используют показатели вариации результативного признака: общую дисперсию (²) и межгрупповую дисперсию (²). Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака, вызванную всеми действующими на нее факторами. Формулы для ее расчета приведены в теме 5 «Средние величины и показатели вариации». Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, вызванную признаком-фактором, положенным в основание группировки:

² = ,

где – среднее значение результативного признака в j-й группе;

–число единиц в j-й группе.

Разделив межгрупповую дисперсию на общую, получим эмпирический коэффициент детерминации:

_э²=.

Его значения находятся в пределах: 0≤_э²≤1.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации результативного признака вызвана признаком, положенным в основание группировки. Чем больше эта доля, тем сильнее влияние факторного признака на результативный. Поэтому коэффициент детерминации используется как показатель тесноты связи между факторным и результативным признаком. При _э²=0 связь между признаками отсутствует. При _э²=1 связь функциональная, вся вариация вызвана группировочным признаком.

В качестве показателя тесноты связи используют также эмпирическое корреляционное отношение, представляющее собой квадратный корень из коэффициента детерминации:

_э = .

Его значения также находятся в пределах: 0≤_э≤1.

Чем ближе корреляционное отношение к 0, тем связь слабее; чем ближе оно к 1, тем связь теснее.

Принято считать, что если _э>0,5, то связь заметная, если _э>0,7, – то высокая, если _э>0,9, – то весьма высокая.

Когда установлено, что связь высокая, можно продолжать исследование зависимости признаков нахождением линии регрессии.

Другой показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции (r) – служит показателем тесноты связи в случае линейной зависимости между признаками. Этот показатель рассчитывается по различным формулам в зависимости от исходных данных, например:

,

где и– среднеквадратические отклонения факторного и результативного признаков.

Его значения находятся в пределах: –1 ≤ r ≤1.

Знак линейного коэффициента корреляции указывает направление связи (знак «+» свидетельствует о прямой связи, знак «–» – об обратной связи). Чем ближе коэффициент к 1, тем сильнее связь факторного и результативного признаков.

Рассмотрим типовую задачу исследования зависимости производительности труда от энерговооруженности труда.

Имеется следующая информация по 25 промышленным предприятиям региона:

№ п/п	Энерговооруженность труда, кВт.ч (Х)	Производительность труда, шт. (Y)
1	7,1	14
2	7,2	15
3	7,9	18
4	8,3	16
5	8,5	14
6	9,0	15
7	9,3	16
8	9,6	17
9	9,7	18
10	10,2	20
11	10,5	17
12	11,0	19
13	11,6	19
14	12,3	20
15	12,4	18
16	12,6	21
17	12,8	21
18	13,2	20
19	13,4	19
20	13,7	20
21	13,8	21
22	14,0	18
23	14,1	22
24	14,3	21
25	14,4	22

Определите:

1. наличие и направление связи между производительностью труда и его энерговооруженностью;

2) тесноту связи между исходными признаками.

Сделайте выводы.

1. Установим наличие и направление зависимости производительности труда от энерговооруженности труда с помощью аналитической группировки изучаемой совокупности: 25 предприятий разобьем на 5 групп с равным интервалом по величине факторного признака (Х).

1.1. Находим размер интервала (i) следующим образом:

i=R/n,

где R – размах вариации, который определяется как разность между максимальным и минимальным значениями признака;

n – установленное число групп (определяется либо по формуле Стерджесса, либо устанавливается исследователем).

В нашем случае

i = =1,461,5(кВт.ч).

1.2. Далее установим полную шкалу интервалов по методологии, изложенной в теме «Сводка и группировка статистических материалов».

1.3. Подсчитаем число предприятий, входящих в каждую группу.

1.4. Рассчитаем средние уровни производительности труда в каждой группе и в целом по совокупности:

,

где – среднее значение результативного признака для каждой j-й группы;

–сумма значений результативного признака;

M_j – число предприятий в каждой группе.

Аналогичным образом по всей совокупности получим:

==18,44(шт.).

5. Построим расчетно-аналитическую групповую таблицу:

Зависимость производительности труда от энерговооруженности:

Группы предприятий по энерговооруженности, кВт.ч (Х)	Число предприятий в группе (Мj)	Средняя производительность труда, шт. ()	(-)2Мj
7,1-8,6 8,6-10,1 10,1-11,6 11,6-13,1 13,1-14,6	5 4 3 5 8	15,4 16,5 18,8 20,0 20,4	46,208 15,054 0,389 12,168 30,733
Итого	25	18,4	104,552

2. Оценим тесноту связи между изучаемыми признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения (методика расчета которого рассмотрена выше):

_э = .

2.1. Предварительно рассчитываем общую дисперсию (²), характеризующую вариацию результативного признака вследствие влияния всех действующих на него факторов:

σ² = =-=-18,44²=345,720-340,034=5,684.

2.2. Рассчитаем межгрупповую дисперсию (²) в соответствии с вышеизложенной методикой:

² = ==4,18.

2.3. Произведенные расчеты позволяют определить эмпирическое корреляционное отношение:

_э = ==0,857.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что вариация результативного показателя (производительности труда) на 73,5% обусловлена влиянием энерговооруженности труда на предприятиях и соответственно на 26,5% – влиянием неучтенных факторов.

2.4. Определим коэффициент корреляции:

.

Связь между изучаемыми признаками высокая.