2.1.3. Полярная засечка

В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта A и дирекционный угол направления AB (или координаты пункта B), измеряемыми элементами являются горизонтальный угол β (средняя квадратическая ошибка измерения угла mβ) и расстояние S (относительная ошибка его измерения mS / S = 1 / T), неизвестные элементы - координаты X, Y точки P (рис.2.4).

Исходные данные: XA, YA, αAB

Измеряемые элементы: β , S

Неизвестные элементы: X , Y

Рис.2.4

Графическое решение. От направления AB отложить транспортиром угол β и провести прямую линию AQ, затем вокруг пункта A провести дугу окружности радиусом S в масштабе чертежа (плана или карты); точка пересечения прямой линии и дуги является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Дирекционный угол α линии AР равен:

α= αAB + β .

Запишем уравнения прямой линии AP - формула (2.4) и окружности радиуса S вокруг пункта A - формула (2.5):

(2.6)

Для нахождения координат X и Y точки P нужно решить эти два уравнения совместно как систему. Подставим значение ( Y - YA ) из первого уравнения во второе и вынесем за скобки ( X - XA ) 2:

( X - XA )2 * (1 + tg2 α )= S2 .

Выражение ( 1 + tg2α ) заменим на 1 / Cos2α и получим:

( X - XA )2 =S2 * Cos2α ,

откуда X - XA = S* Cosα .

Подставим это значение в первое уравнение (2.6) и получим:

Y - YA = S * Sinα .

Разности координат ( X - XA ) и ( Y - YA ) принято называть приращениями и обозначать ΔX и ΔY.

Таким образом, полярная засечка однозначно решается по формулам:

(2.7)

2.1.4. Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7):

(2.8)

2.1.5. Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис.2.5).

Рис.2.5

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ΔX = X2 - X1, ΔY = Y2 - Y1 ), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Δ X 00 и Δ Y00, то решаем треугольник по известным формулам:

(2.9)

(2.10)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим:

(2.11)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.1.4-а),

вычисление α по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

(2.12)

Если ΔX = 0.0 , то

S = іΔYі; и α = 90o 00' 00" при ΔY > 0 , α = 270o 00' 00" при ΔY < 0 .

Если ΔY = 0.0 , то

S = іΔXі и α = 0o 00' 00" при ΔX > 0 , α = 180o 00' 00" при ΔX < 0 .

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

(2.13)

если ΔY => 0o , то α = a , если ΔY < 0o , то α = 360o - a .