2. Определение прямоугольных координат точек

2.1. Определение координат одной точки

2.1.1. Способы задания прямоугольной системы координат

Как известно, система прямоугольных координат на плоскости может задаваться тремя способами: 1-й способ

фиксируется местоположение центра системы - т.O,

проводится ось OX и указывается ее положительное направление,

перпендикулярно к оси OX проводится ось OY,

в соответствии с типом системы (правая или левая) указывается положительное направление оси OY,

устанавливается масштаб координат вдоль осей.

При наличии координатных осей для определения координат какой-либо точки C нужно сначала опустить перпендикуляры из этой точки на координатные оси и затем измерить длину этих перпендикуляров; длина перпендикуляра к оси OX равна координате Y, длина перпендикуляра к оси OY координате X точки (рис.2.1).

Рис.2.1

Кроме системы XOY можно использовать систему X'O'Y', получающуюся из системы XOY путем переноса начала координат в точку O' ( Xo'=δx , Yo'= δy ) и поворота осей координат по часовой стрелке на угол α. Переход из XOY в X'O'Y' выполняется по формулам [25]:

(2.1)

Для обратного перехода используются формулы [25]:

(2.2)

2-й способ

проводятся две взаимно перпендикулярные системы параллельных линий; расстояния между линиями одинаковые,

считается, что эти линии параллельны осям координат, и у каждой линии подписывается значение соответствущей координаты (получается координатная сетка).

3-й способ

указываются численные значения координат двух фиксированных точек.

Первый способ является общепринятым; в геодезии этим способом задается зональная система прямоугольных координат Гаусса.

На топографических картах и планах система прямоугольных координат Гаусса задается вторым способом.

На местности система прямоугольных координат задается третьим способом; всегда можно найти несколько геодезических пунктов с известными координатами и определять положение новых точек относительно этих пунктов, выполняя какие-либо измерения.

2.1.2. Три элементарных измерения

На плоскости можно измерять углы и расстояния.

Угол фиксируется тремя точками: одна точка - это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.

Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.

В данном разделе рассматривается простейший случай, когда измерение угла или расстояния выполняют для определения координат одной точки. Поскольку при измерении угла определяемая точка может располагаться либо в вершине угла, либо на одной из его сторон, то с нашей точки зрения на плоскости имеют место три разных измерения, которые назовем элементарными.

Измеряется угол β на пункте A с известными координатами X4,Y4 между направлением с известным дирекционным углом αAB и направлением на определяемую точку P (рис.2.2).

Рис.2.2

Дирекционный угол α направления AP получается по формуле

(2.3)

Для прямой линии AP, называемой линией положения точки P, можно написать уравнение в системе XOY [25]:

(2.4)

В этом уравнении X и Y - координаты любой точки прямой, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Измеряется расстояние S от пункта A с известными координатами XA, YA до определяемой точки P. Из курса геометрии известно, что точка P находится на окружности радиуса S, проведенной вокруг точки A, и называемой линией положения точки P (рис.2.3). Уравнение окружности имеет вид :

(2.5)

В этом уравнении X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно.

Рис.2.3

Измеряется угол β на определяемой точке P между направлениями на два пункта с известными координатами; это измерение рассматривается в разделе 2.1.8.

Координаты X и Y точки P можно найти из совместного решения двух уравнений, поэтому, взяв любую комбинацию из трех измерений по два, получим простейшие способы определения координат точки, назывемые геодезическими засечками:

два уравнения типа (2.4) - прямая угловая засечка,

два уравнения типа (2.5) - линейная засечка,

одно уравнение типа (2.4) и одно уравнение типа (2.5) полярная засечка,

два измерения углов на определяемой точке - обратная угловая засечка.

Остальные комбинации измерений называются комбинированными засечками.

Каждое из трех элементарных измерений является инвариантом по отношению к системам координат, что позволяет решать засечки на различных чертежах, определяя положение точки P относительно фиксированных точек A и B графическим способом.

Аналитический способ решения засечек - это вычисление координат определяемой точки. Оно может быть выполнено через решение системы двух уравнений, соответствующих выполненным измерениям, или через решение треугольника, вершинами которого являются два исходных пункта и определяемая точка (этот способ для краткости назовем способом треугольника).

В любом геодезическом построении принято выделять три типа данных:

исходные данные (координаты исходных пунктов, дирекционные углы исходных направлений и т.п.); эти данные часто принимаются условно безошибочными,

измеряемые элементы; каждый измеренный элемент обычно сопровождается значением средней квадратической ошибки измерения,

неизвестные (или определяемые) элементы; эти элементы подлежат нахождению по специально разработанному алгоритму, и их значения получаются с некоторой ошибкой, зависящей от ошибок измерений и геометрии данного построения.