Основы проектирования электронных средств Материалы к Экз ОПЭС-2014 РК-01-02 / ZashitaRES Meh Vozd

Как видно из допущений, принимаемых при выводе формул (3.57), (3.58), они могут быть использованы для расчета конструкций типа прямоугольных пластин, имеющих однородные краевые условия, типа свободного опирания по всему краю, жесткого защемления и т.п. Анализ конструктивных форм и способов крепления плат в ячейку РЭА, многие из которых приведены в учебнике [29], показывает, что прямоугольная форма монтажной платы наиболее типична. Однородность краевых условий также часто выполняется, но способы крепления плат (например, винтами к раме по всему контуру или путем установки в направляющие) не соответствуют строго типовым – свободному опиранию или жесткому защемлению. Как отмечалось, замена реальных условий крепления краев идеализированными приведет к ошибке определения собственной частоты колебаний, значение которой было оценено в §3.3 и к ошибке определения коэффициента формы колебаний.

Анализ показывает, что наибольшая ошибка определения коэффициента К(x,y) возможна в том случае, если на краях способы крепления различны и трудно ответить на вопрос о том, у какого края жесткость защемления больше. Это обусловлено тем, что форма колебаний будет несимметрична – происходит смещение максимума амплитуды виброперемещения в сторону края с меньшей жесткостью защемления. В этом случае расчет амплитуд целесообразно вести при максимально возможных, т.е. наихудших для предполагаемых способов крепления коэффициентах

К(x,y).

В заключение отметим, что аналитические методы расчета собственных частот и резонансных амплитуд колебаний имеют преимущества перед другими способами, так как решение получается в виде математического выражения, удобного для анализа и решения оптимизационных задач. Расчет на ЭВМ при этом, как правило, не требует больших затрат машинного времени. Эти методы удобны при расчете прямоугольных плат, имеющих равномерное размещение элементов по площади платы и однородные по каждому из краев площади платы микросхемы, не искажают существенно ее собственную форму колебаний повышения жесткости платы за счет жесткости ЭРЭ в значительной степени компенсируется тем, что ЭРЭ увеличивают и массу ячейки. Следует учитывать, что повышение жесткости ячейки зависит от способа крепления электорадиоэлементов на плате – только за выводы или же корпус дополнительно крепится к плате.

Аналитические методы расчета можно успешно также применить при расчете колебаний конструкций типа плоских или коробчатых экранов, обшивки корпусов блоков, стоек и других плоских конструкций.

Если конструкция имеет сложную форму, неравномерное располо-

91

foi = 2παai 2 mD ,

но так как все параметры в этой формуле, кроме α, не изменяются, получим

41 − 651.2 >> η2i672

или

0.24 >> ηi2.

КМП ячеек, даже с ПД, как правило не превышает 0,3. Поэтому условие (3.61) в большинстве случаев выполняется. Это дает возможность применить спектральный метод, по крайней мере, в диапазоне 2000 Гц.

Применение спектрального метода к конструкциям типа балок подробно рассмотрено в работе [13]. Применим его к анализу конструкций типа пластин.

Среднеквадратическое отклонение точки пластины, имеющей координаты x, y, находится по формуле

где S(ω) – спектральная плотность возмущающих колебаний. Учитывая (3.56) и принимая во внимание

93

Первое слагаемое, соответствующее перемещению на первой собственной частоте колебаний, значительно превышает все остальные, и поэтому:

В отличие от перемещения средний квадрат ускорения существенно зависит от средних квадратов ускорения на всех резонансных частотах.

где fв и fн – нижняя и верхняя частоты рассматриваемого диапазона, и коэффициент передачи

Формулы (3.56), (3.62) – (3.65) позволяют рассчитать коэффициенты передачи по перемещению и ускорению в различных точках ячейки при кинематических гармоническом и случайном воздействиях.

94

ловиями, имеющими переменную жесткость и сосредоточенные нагрузки для расчета применяются численные методы конечных разностей, конечных элементов, вариационно-разностные и другие.

Современные системы расчета на ЭВМ, основанные на этих методах позволяют рассчитывать СЧК сложных конструкций, определять их формы колебаний, но не всегда предусматривают определение амплитуд резонансных колебаний. Возможность решения этой задачи с помощью системы конечно-элементных расчетов «Искра» рассмотрена в следующей главе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Напишите уравнение свободных колебаний балки. Какие силы входят в это уравнение?

2.Какие виды граничных условий наиболее часто рассматриваются?

3.Как выглядит общее решение уравнения свободных колебаний балки?

4.Напишите уравнение вынужденных колебаний балки при силовом и кинематическом возбуждении.

5.Какой метод применяется при решении уравнения вынужденных колебаний балки?

6.Как можно приближенно рассчитать СЧК и АРК балок, если граничные условия точно неизвестны?

7.Какие применяются методы расчета СЧК пластин?

8.Что лежит в основе методов Релея и Ритца?

9.Какие способы применяют для повышения СЧК пластин?

10.Как рассчитывается коэффициент передачи в точках пластины при резонансе?

96

Гл ава 4

Численные методы анализа конструкций ЭС

4.1. НЕОБХОДИМОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

При определении динамических характеристик конструкций электронной аппаратуры возникает необходимость в решении двух основных задач динамики: в первой находятся собственные частоты и собственные формы колебаний конструкции, во второй определяют амплитуды вынужденных колебаний элементов в различных точках конструкции при заданных параметрах внешнего вибрационного воздействия. Далее могут быть определены механические напряжения и запасы прочности конструктивных элементов, а также оценена вероятность безотказной работы устройства при вибрации.

Практическое применение аналитических методов для решения задач динамики конструкций сопряжено с рядом трудностей. Конструкции современной аппаратуры представляют собой сложные механические системы с множеством упругих и жёстких связей, с неклассическими для строительной механики способами крепления отдельных конструктивных элементов. Для такой механической системы сложно построить расчётную модель, достаточно простую и в то же время хорошо отражающую физические и динамические свойства, тем более, что конструкция содержит множество неконтролируемых параметров, например усилия затяжки соединений при сборке плат в пакет, коэффициенты механических потерь материалов элементов. При составлении и решении уравнений движения конструкции возникает ряд математических трудностей.

Эти причины способствовали быстрому развитию численных методов, которые и получили в настоящее время широкое распространение с внедрением в практику инженерных расчётов цифровых ЭВМ. Основу численных методов расчётов динамических параметров конструкции составляют: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и различные вариационные методы, в том числе и энергетический метод [15].

4.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Для расчёта конструкции аппарата с помощью метода конечных разностей строится его упрощенная модель-сетка. В этой модели детали с непрерывно распределенной массой заменяются набором дискретных элементов с сосредоточенными массами. Точки сосредоточения массы

97

элементов называют узлами. Соседние узлы соединяются друг с другом невесомыми упругими связями.

Таким образом, модель стержня будет представлять собой одномерную структуру в виде цепочки узлов (рис.4.1,а), модель платы или панели - плоскую сетку (рис.4.1,6), модель монолитного блока - пространственную трёхмерную сетку (рис.4.1,в).

а)

б) в)

Рис. 4.1. Дискретные модели элементов конструкции РЭА

а) одномерные; б) двумерные; в) трехмерные

Расчёт модели ведётся с помощью конечно-разностных уравнений. Эти уравнения образуют из дифференциальных уравнений посредством замены в них частных и обычных производных отношениями конечных приращений рассматриваемых переменных. Так, например, производная f ′(x) = df (x) / dx заменяется отношением конечных приращений ∆f (x) и ∆x .

Приращение аргумента - шаг ∆x = h берут обычно одинаковым во всём интервале изменения функции f(x):

h = (Xb − X a ) / n .

f(x)

Рис. 4.2. К определению конечных разностей в одномерной задаче

98

Приращение функции вычисляется с помощью одного из разностных операторов ∆, или δ :

δf (x) = f (x + 0,5h) − f (x − 0,5h)

Всоответствии с этим в любой точке x=xi могут быть вычислены:

По этой же схеме вычисляются и разности высших порядков, например:

Используя эти выражения, можно получить формулы для приближенного вычисления производных в точке x=xi, приведены в табл.4.1.

Применение МКР к расчету колебаний балок рассмотрим на примере.

Пример 4.1. Рассчитать собственные частоты колебаний балки с шарнирнозакрепленными концами, показанной на рис.4.3.

Уравнение свободных колебаний балки имеет вид

Определение собственных частот колебаний балок аналитическим методом подробно рассмотрено в § 3.1. Для сравнения сделаем расчет МКР. Для этого будем считать массу балки сосредоточенной в узлах 3,4 - и напишем уравнения их движения в конечных разностях. Считая, что свободные колебания балки происходят по гармоническому закону W(x,t)=W(x)eiωt , уравнение (4.3) преобразуем к виду

99

Т а б л и ц а 4.1

Таблица конечных разностей

100