4.4. Содержание отчета по лабораторной работе

Отчет должен содержать следующие пункты:

• задание на лабораторную работу с конкретными исходными данными студента,

• структурную таблицу комплекса работ,

• предварительный сетевой график с упорядоченными номерами событий,

• расчет ранних и поздних сроков свершения событий,

• критический путь и критическое время,

• окончательный сетевой график,

• характеристики работ, представленные в виде таблицы,

• линейную карту сети, построенную по ранним и поздним срокам свершения событий,

• выводы по работе.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 5. Моделирование случайного процесса

1. Задание на лабораторную работу

В некотором городе имеется m супермаркетов, которые конкурируют между собой с целью привлечения возможно большего количества покупателей. На 1 января известно начальное распределение покупателей по супермаркетам в процентах. Фирма по изучению рынка подметила за прошлый год некоторые закономерности в средних ежемесячных переходах покупателей из одного супермаркета в другой. Эти переходы приведены в задании в виде процента сохранения своих покупателей и получения покупателей из других супермаркетов. Требуется сделать прогноз о возможном количестве покупателей в каждом супермаркете в течение 12 месяцев и на длительную перспективу, предполагая общее число покупателей постоянным. Для этого необходимо

• построить граф переходов для средних ежемесячных изменений количества покупателей,

• составить матрицу переходных вероятностей,

• записать математическую модель для прогнозирования посещаемости супермаркетов,

• определить какой процент покупателей будет иметь каждый супермаркет на 1 февраля, 1 марта, и т.д., вплоть до 1 декабря, расчеты представить в виде таблицы,

• составить и решить систему алгебраических уравнений, описывающую стационарное распределение покупателей, найти процент покупателей для каждого супермаркета в стационарном режиме,

• представить в табличном виде распределение покупателей по супермаркетам в динамике, изобразить графики посещаемости каждого супермаркета.

2. . Сведения из теории

Многие экономические системы в любой момент времени находятся в одном из возможных состояний, а поведение системы представляется как процесс смены этих состояний в определенные моменты времени.

Предположим, что в любой момент времени система может находиться в одном из возможных состояний: S₁, S₂,..., S_m. Переход из одного состояния в другое, называемый шагом процесса, может происходить только в дискретные моменты времени n=1,2,... . Пусть X(n) – номер состояния системы в момент n. Очевидно, что для каждого момента времени X(n) есть случайная величина с возможными значениями 1, 2,..., m, а процесс смены состояний с течением времени является случайным процессом. Предположим, что заданы условные вероятности перехода в момент времени n из состояния S_i в состояние S_j, а именно, пусть представляет собой вероятность того, что в момент n+1 процесс попадет в состояние S_j при условии, что в предшествующий момент n он находился в состоянии S_i:

.

При этом говорят, что определена марковская цепь. Если переходные вероятности зависят только от разности моментов времени, то есть при всех n имеем , то марковская цепь называется стационарной. Совокупность условных вероятностей представляется в виде матрицы

.

Матрица P полностью определяет стационарную марковскую цепь и называется матрицей переходных вероятностей марковской цепи. Ее элементы удовлетворяют очевидным соотношениям: , причем сумма элементов каждой строки равна единице, то есть . Это условие отражает тот факт, что процесс, находящийся в состоянии S_i, перейдет в одно из допустимых состояний S₁, S₂,..., S_m с вероятностью, равной единице. Матрица, обладающая указанным свойством, называется стохастической.

Процесс смены состояний стационарной марковской цепи может быть представлен орграфом состояний S₁, S₂,..., S_m, дуги которого соответствуют переходам из состояния в состояние. При этом граф является взвешенным по дугам, веса дуг равны соответствующим переходным вероятностям .

Для прогнозирования развития любой марковской цепи должен быть задан начальный вектор вероятностей , где элемент есть вероятность того, что начальное состояние процесса есть S_i.

Зная матрицу переходных вероятностей и начальное распределение, можно прогнозировать, какое будет распределение вероятностей на любом последующем шаге.

Вероятность того, что на n-ом шаге состояние марковской цепи будет S_i называется полной или безусловной вероятностью и обозначается . Распределение вероятностей на n-ом шаге характеризуется вектором , который рассчитывается на основе распределения вероятностей на предыдущем n-1-м шаге в соответствии с рекуррентными формулами:

. (5.1)

Фундаментальная теорема для регулярных марковских цепей устанавливает, что независимо от начального состояния процесса вероятность быть в данном состоянии стремится к некоторой постоянной величине при увеличении числа шагов. Распределение вероятностей , получающееся при n®¥, называется стационарным или установившимся.

Переходя в равенстве (5.1) к пределу при n®¥, получим, что стационарное распределение вероятностей можно определить из соотношения

(5.2)

В развернутом виде матричное равенство (5.2) можно записать в виде системы алгебраических уравнений

. (5.3)

Система (5.3) представляет собой неопределенную систему линейных уравнений. Поэтому, ее следует решать, используя условие нормировки

, (5.4)

означающее, что сумма вероятностей всех состояний равна единице. Решение системы уравнений (5.3) вместе с условием (5.4) позволяет определить стационарное распределение вероятностей марковской цепи.

3. . Пример выполнения лабораторной работы

Решить задачу о супермаркетах для исходных данных, представленных в табл. 5.1 и 5.2.

Т а б л и ц а 5.1