3.3.2. Математическая модель спроса

Согласно (3.2) – (3.3) составим математическую модель для нахождения набора благ потребителя с целью максимального удовлетворения его потребностей

(3.11)

при ограничениях

. (3.12)

Считаем, что потребитель полностью расходует свой доход, поэтому в системе стоит только граница бюджетного множества.

3.3.3. Определение оптимального набора благ

Найдем оптимальный набор благ. Задачу оптимизации (3.11) – (3.12) можно решить несколькими способами.

1 способ (годится только в случае двух благ). Из бюджетного ограничения выразим одну переменную через другую:

.

Подставим в целевую функцию:

.

Максимальное значение функции достигается при том же значении, что и подкоренного выражения. Находя производную и приравнивая ее нулю, получим:

,

откуда

.

Далее получим .Таким образом, оптимальный набор благ составляют 43 ед. блага и 18,8 ед. блага.

2 способ. Заданная функция полезности имеет вид (3.7), в которой ,,. Поэтому можно сразу воспользоваться соотношениями (3.8):

, .

Тогда получим

, . (3.13)

Для заданных значений цен и дохода будем иметь

, .

3 способ. Решим задачу оптимизации (3.11) – (3.12) в Excel. Для этого на новом листе образуем табл. 3.4. Ячейки B2 : C2 предусмотрим для размещения искомого количества потребляемых благ и. В ячейкеD2 содержится выражение для функции полезности (3.11):

= КОРЕНЬ( (B2 + 4) * C2 ).

В ячейках B4 : C4 записаны цены благ. В ячейках D4 и F4 записаны левая и правая части бюджетного множества (3.12), а именно, формула

= СУММПРОИЗВ( B2 : С2; B4 : C4 )

и число 1800 соответственно.

Т а б л и ц а 3.4

	A	B	C	D	E	F
1	Блага	Б1	Б2
2	Значения	43	18,8	29,72541
3				Левая часть	Знак	Правая часть
4	Граница бюджетного множества	20	50	1800	=	1800

Далее идет обращение к процедуре «Поиск решения» пункта меню «Сервис». В появившемся окне надо заполнить графы, как показано на рис. 3.4, и нажать клавишу «Выполнить».

Рис. 3.4.Обращение к процедуре «Поиск решения»

В результате оптимальный набор благ появится в ячейках B2 : C2 (см. табл. 3.4).

Замечание.Если в результате оптимизации появится сообщение об ошибке, следует в искомые ячейки записать некоторые ненулевые значения, например, 1.

Во всех рассмотренных случаях мы получили количества потребляемых благ одинаковыми, равными соответственно 43 ед. и 18,8 ед. Максимально возможный уровень полезности равен

.

На рис. 3.5 оптимальный набор благ представлен на столбиковой диаграмме.

Рис. 3.5.Оптимальный набор благ

3.3.4. Функция спроса по цене

Определим функцию спроса на каждое благо по цене. Подставляя в соотношения (3.13) значение дохода, равное , получим

, .

Видим, что спрос на благо зависит только от цены на него, а спрос на благозависит не только от цены на него, но также и от цены. Соответствующие графики представлены на рис. 3.6 и 3.7.

Рис. 3.6.Спрос на благов зависимости от цены

Рис. 3.7.Спрос на благов зависимости от цены

при постоянных остальных ценах