Правила выполнения и оформления лабораторных работ

Изучение теоретической части курса «Математика в экономике» сопровождается выполнением лабораторных работ. Исходные данные на работы выдаются преподавателем индивидуально каждому студенту. Данные можно получить также по номеру зачетной книжки через Internet на сайте http://gurov.vs58.net/. При выполнении лабораторных работ студент должен соблюдать следующие требования.

Лабораторные работы должны быть выполнены только в соответствии со своим вариантом, в отдельной тетради, чернилами. Графики и рисунки изображаются карандашом.

На обложке тетради помещаются наименование дисциплины, фамилия и инициалы студента, факультет, курс, группа, код специальности, номер зачетной книжки, вариант.

Выполнение лабораторных работ следует располагать в порядке возрастания их номеров. Перед решением каждой работы надо полностью выписать ее условие, заменяя общие данные конкретными из соответствующего номера. Построение математических моделей и проводимые расчеты следует излагать подробно, объясняя все действия.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 1. Статическая модель межотраслевого баланса

1.1. Задание к лабораторной работе

Для -отраслевой экономической системы известны

• матрица коэффициентов прямых материальных затрат ;

• вектор конечной продукции .

Требуется составить межотраслевой баланс. С этой целью необходимо

• определить продуктивность модели;

• найти коэффициенты полных материальных затрат;

• определить вектор валовой продукции;

• вычислить межотраслевые потоки продукции;

• определить условно-чистую продукцию каждой отрасли;

• представить полученную информацию в виде межотраслевого баланса производства и распределения продукции

• изобразить диаграммы производства и потребления продукции для различных отраслей.

1.2. Сведения из теории

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта по отраслям, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на чистых отраслей. Чистая отрасль – это условное понятие – некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная. Такими отраслями могут служить энергетика, машиностроение, станкостроение, приборостроение, сельское хозяйство и т.д.

Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).

Обозначим через – валовый продукт-й отрасли,;– стоимость продукта, произведенного в-й отрасли и потребленного в-й отрасли для изготовления продукции стоимостью;– конечный продукт-й отрасли,– условно-чистая продукция-й отрасли,.

Рассмотрим основные соотношения межотраслевого баланса. Валовая продукция -й производящей отрасли () равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

, . (1.1)

Коэффициент прямых затрат показывает, какое количество продукции-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции-й отрасли:

, ,. (1.2)

Числа характеризуют технологию-й отрасли. С учетом формулы (1.2) систему уравнений баланса можно переписать в виде

, . (1.3)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат , вектор-столбец валовой продукциии вектор столбец конечной продукции, тоэкономико-математическая модель межотраслевого баланса примет вид

. (1.4)

Модель межотраслевого баланса часто называют моделью В.Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Заметим, что вывод уравнения (1.4) основан на двух важных допущениях. Первое допущение состоит в неизменности сложившейся технологии производства, когда элементы матрицы постоянны. Второе допущение состоит в предположении линейности существующих технологий, т.е. для выпуска-й отраслью продукции объематребуется ресурсов (продукции-й отрасли) в количествеединиц.

Важным вопросом в рассматриваемой модели является вопрос о существовании решения уравнения (1.4). Разумеется, с учетом экономической интерпретации вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьевапродуктивна, если уравнение (1.4) имеет неотрицательное решение для любого , т.е. матрица коэффициентов прямых затратпозволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.

Теорема. Модель Леонтьева с матрицей продуктивна тогда и только тогда, если существует неотрицательная матрица, обратная к матрице, где– единичная матрица.

Можно доказать также, что модель Леонтьева продуктивна, если она позволяет произвести хоть какой-нибудь строго положительный вектор потребления; из этого вытекает, что можно произвести и любой неотрицательный вектор потребления.

Одним из признаков продуктивности матрицы является следующий: если сумма элементов столбцов (строк) матрицыне превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов (одной из строк) сумма элементов строго меньше единицы, то матрица продуктивна.

Из (1.4) следует, что

,

откуда

. (1.5)

Обозначим обратную матрицу как . Тогда. Это значит, что для любой-й отрасли справедливо соотношение:

, . (1.6)

Коэффициент полных затрат показывает, какое количество продукции-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции-й отрасли. Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.

С помощью модели межотраслевого баланса можно выполнять три варианта расчетов:

1. Определить объем конечной продукции каждой отрасли, зная величины валовой продукции каждой отрасли:

.

2. Определить величины валовой продукции каждой отрасли, зная величины конечной продукции каждой отрасли:

.

3. Определить величины конечной продукции ряда отраслей и объемы валовой продукции остальных отраслей, зная величины валовой продукции первых отраслей и объемы конечной продукции остальных отраслей.

Валовая продукция -й потребляющей отраслиравна сумме ее материальных затрати условно чистой продукции :

, . (1.7)

Межотраслевой баланс можно представить табл. 1.1.

Т а б л и ц а 1.1

Произво-дящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	...	n
1			...
2			...
...	...	...	...	...	...	...
n			...
Условно-чистая продук-ция			...
Валовый продукт			...

Он состоит из четырех квадрантов. Первый квадрант (светло-бирюзовый) отражает межотраслевые потоки продукции. Второй (бледно-зеленый) характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода. Третий (светло-желтый) представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции. Четвертый квадрант (светло-коричневый) показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Основной недостаток статической модели межотраслевого баланса состоит в том, что она не позволяет установить связи между планами производства отраслей и планами капитальных вложений, обеспечивающих развитие этих отраслей, т.е. модель не учитывает динамику самой экономики.