Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Медицинский Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lim

.pdf

Скачиваний:

1647

Добавлен:

14.03.2015

Размер:

318.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

11					2.4		Задачи домашней работы
(b) f(x) = 3(x 1)2 + 2, f(x) = x2 4x + 3, f(x) = 1 x2, f(x) = jx2 4j;
(c) f(x) = x3	x2 + x, f(x) = (x + 1)3 2, f(x) = 1 (x + 2)3, f(x) = jx3j;
(d) f(x) = x4	, f(x) = x5;				p		p	2
	3						p	2
p		p
(e) f(x) =	x	, f(x) =	x	, f(x) =		1 x, f(x) =	x	8x 7;

11 x + 1 2x 1

(f)f(x) = x2 , f(x) = x3 , f(x) = x 1, f(x) = x + 1 ;

(g)f(x) = sin(x 2 ), f(x) = 2cos(x + 3 ), f(x) = tg(x 2 ), f(x) = 2ctg(x) 1;

(h)f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctgx, f(x) = arcctgx;

(i)f(x) = 2x, f(x) = (12)x, f(x) = 3x+2, f(x) = 3x 1 + 2;

(j) f(x) = log2 x, f(x) = log2	x, f(x) = log3	(x 1), f(x) = log2	(1 x) + 4;
1		1

2.Найдите область определения и область значений каждой из выше перечисленных функций.

3.Постройте графики следующих функций f(x) = [x], f(x) = fxg, f(x) = xx,

f(x) = logx a, f(x) = logcos x sin x, f(x) = (sin x)ctgx, . Найдите область определения и область значений каждой из функций.

4. Даны функции f(x) = x, g(x) = x3. Выписать функции f g, g f, f f, g g.

5. Даны функции f(x) = x2, g(x) = log2x, h(x) = sin x. Выписать функции

f g h, f h g, h g h, h g g, g f f, f f g h.

2.4Задачи домашней работы

1.Построить графики функций.

(a) y = 3x 2, y = 2jx + 2j 1,

y = x2 5x + 6, y = j x2 + 7x 12j,

y = x3 + x2 x 1.

2x + 3

(b) y =

, y =

x + 2;

x 1

2 sin(x+1) 3, y = tg2x, y = p

, y = arcsin(1 x), y = arctg(x1 );

cos x

(d) y =

22 4x, y = (4)x

, y = log4(2 x), y = lnx, y = e x;

2. Найти область определения и область значений, каждой функции из задачи 1.

3. Построить графики функций y = (cos x)x, y = (sin x)cos x, y = logsin x x,

y = logx(cos x).

4.Даны функции f(x) = ln(x), g(x) = tgx. Выписать функции f g, g f, f f, g g f.

3Практическое занятие №2. Предел последовательности.

3.1Предел числовой последовательности

Определение 2. Числовой последовательностью называется функция an = f(n), определенная на множестве всех натуральных чисел.

Значения последовательности a1, a2,...,an,... называются ее членами. Последовательность an часто обозначают так: fang. Приведем примеры некоторых числовых последовательностей.

1.fng: 1; 2; 3; 4; :::;

2.f( 1)nng: 1; 2; 3; 4; :::;

3.n1 : 1; 12; 13; 14; :::;

4.	n	:	1	;	2	;	3	;	4	; :::;

	n + 1		2		3		4		5

5. ( 1)n	n	:	1	;	2	;	3	;	4	; :::;

	n + 1		2		3		4		5

6.	n + 1	:	2	;	3	;	4	;	5	; :::;

	n		1		2		3		4

7. ( 1)n	n + 1	:	2	;	3	;	4	;	5	; :::;

	n		1		2		3		4

8.	2n + 1	:	3	;	5	;	7	;	9	;	11	; :::;

	n		1		2		3		4		5

Для числовой последовательности, как и для любой функции, можно построить график. Он не является линией, а состоит из отдельных точек.

m nk

13 3.1 Предел числовой последовательности

Определение 3. Число A называется пределом числовой последовательности fang, если для любого числа " > 0 существует такой номер N = N("), что для всех n > N выполняется неравенство jan Aj < ". Это обозначают так:

n!1

lim an = A или аn ! A.

n!1

Пример 2. Доказать, что lim 1 = 0.

n!1 n

Доказательство. Пусть " – произвольное положительное число. Запишем нера-

1
венство из определения 3 для последовательности		, получим:
	n

0 < ":

неравенство верно когда n >

. Отсюда получаем, что в качестве N можно

взять целую часть числа

, то есть N =

. Тем самым, из определения

предела имеем lim

= 0.

n!1 n

Пример 3. Доказать, что

lim

= 0, где m и k – натуральные числа.

n!1 pnk

Доказательство. Пусть " – произвольное положительное число. Запишем нера-

n o

венство из определения 3 для последовательности , получим:

pnk

< ":

Отсюда n >

, то есть N = [

]. Тем самым, из определения предела

имеем

= 0.

lim

n!1 pnk

Теорема 1. Пусть lim an = A и

lim bn = B. Тогда существуют пределы

+ b

n!1

a b

n!1

= 0

суммы

n an

n, произведения

и при условии

n 6

существует предел

частного

, причем

lim (an + bn) = A + B;

lim (anbn) = AB;

lim

n!1

n!1 bn

3.1

Предел числовой последовательности

Пример 4. Вычислить предел последовательности

lim

n!1 n

Используя теорему 1 и пример 2, получаем nlim

= nlim

nlim

= 0

Пример 5. Вычислить предел последовательности

lim

3n + 1

n!1 n + 1

3n + 1

Имеем nlim

= nlim

= nlim 3 2 nlim

= 3 2 0 = 3.

n + 1

Пример 6. Вычислить предел последовательности

lim

3n2 + 2n 1

n!1

2n2 n + 4

Вынесем в числителе и знаменателе n2 за скобки, получим

lim

n2(3 + n2

)

= lim

3 + n2

n!1 n2(2 n1 +

)

n!1 2 n1 +

Применяя теорему 1, получим

3 + n

nlim 3 + nlim

nlim

3 + 0

lim

n1 +

2 0 + 0

n!1 2

lim 2

lim

+ lim

n!1

n!1 n

n!1 n2

Пример 7. Вычислить предел последовательности

lim

3n2 + 2n 1

n!1

2n3 n + 4

Вынесем в числителе и знаменателе n3 за скобки, получим

lim

n3(n3 +

)

= lim

n3 +

n!1 n3(2

)

n!1 2

Применяя теорему 1, получим

n + n2

nlim

+ nlim

0 + 0

n2 nlim

lim

= 0:

n!1 2 n1 +

lim 2

lim

+ lim

2 0 + 0

n!1

n!1 n2

n!1 n3

Пример 8. Вычислить предел последовательности lim n3 + 1 . n!1 4n2 + 3

2. lim ( 1)n

n!1

3.2 Задачи для самостоятельного решения

Вынесем в числителе и знаменателе n3 за скобки, имеем

lim 1

+ lim

lim

n (1 +

)

= lim

1 +

n!1

n!1 n3

n!1 n3(n4 +

)

n!1 n4 +

lim

+ lim

n!1 n

Получили деление на 0. Не совсем так. Мы делим число очень близкое к 1 на

число очень близкое к 0, но не на 0. Поэтому

! 1. То есть,

n3 + 1

nlim

= 1:

4n2 + 3

+ p4

Пример 9. Вычислить предел последовательности nlim

n + 1

Вынесем за скобки в числителе и знаменателе n2 , получим:

lim

(1 + pn)

n!1 n21 (n 61 + n 21 )

3.2Задачи для самостоятельного решения

Напишите несколько первых членов следующих последовательностей. Определите, являются ли они ограниченными сверху, ограниченными снизу, возрастающими, убывающими?

;

n2 + 1

n 1

;

n + 3

;

f( 1)ng;

2 + 3

n 1

n2 + 2n + 2

Докажите, что

1. lim = 0;

n!1 n + 1

n + 1

Вычислите пределы

3.	lim	n + 1	= 1;
		n
	n!1
= 0; 4.	lim	2n + 1		= 2;
		n
	n!1

последовательностей.

5. lim = n!1 n3 + 2n2 n + 3

3.3

Задачи домашней работы

3n 1

4n3 n2 n + 2

+ p

lim

2n + 1

3 + n

n!1

2n + 2

!1 p

2n + 2

lim

+ 3n 1

lim

n + 1

lim

pn + pn

10.

n + 3

!1 pn pn

+ p4

lim

4n + 3

lim

n 1

lim

n 1

n + 1

!1 n

11.

2n 1 +

3n + 5

2 3 n + 1

2n + 1

+ p

+ 3n

lim

4n3 n2 n + 2

lim

2n 1

+ 3

12.

lim

3n 1

2n + 3

n2 2n + 2 .

n!1

n!1 p2n + 1 2

n!1

npn 4

3.3Задачи домашней работы

Докажите, что

lim

2n + 1

lim

n2 1

n!1

4n 1 2

n!1

2n + 1

lim

3n2 n + 2

.4.

lim

n 1

= 0.

2n2 + 1

n!1

2n2 3n + 1 2

n!1

Вычислите пределы последовательностей.

2n2 + 3n 1

n2p

n4 + n5

lim

n!1

n + 1

n!1 n3 2

n!1 n2 + n3

nlim

2n 4 +

3n + n

2n + 1

lim

n + 6

lim

+ n

n!1

lim

n 1

n!1 n + 4n + 5

+ p

3n2 + 5n

n3 + n2 + 6

lim

n3 + 2n + 2

3n 2

lim

10.

n!1

n + 3

n n 1 2n

4Практическое занятие № 3. Предел функции.

4.1Предел функции

Определение 4. Пределом функции f(x) при стремлении x к x0 называется число A, если для любого числа " > 0 существует такое число (") > 0, что

x!x0

4.1 Предел функции

для всех x, для которых выполняется условие 0 < jx x0j < , выполняется неравенство jf(x) Aj < ".

Записывают следующим образом: lim f(x) = A. Число A есть предел функ-

ции f(x) в точке x = x0. Оно означает, что для всех x достаточно близких к x0, соответствующие значения f(x) будут сколь угодно близкими к A.

Пример 10. Доказать, что lim x2 = 4.

x!2

Пусть " > 0 - произвольное положительное число. Необходимо найти такое число > 0, что для любых x, удовлетворяющих неравенству 0 < jx 2j < , выполняется неравенство jx2 4j < ". jx2 4j = jx 2jjx + 2j < ". Оценим jx + 2j. Имеем равенство jx + 2j = j(x 2) + 4j. Тогда по свойству модуля имеем j(x 2) + 4j jx 2j + j4j < + 4: Таким образом, получаем, jx2 4j = jx 2jjx + 2j < ( + 4): Чтобы это неравенство выполнялось необходимо,чтобы

( +4) = ". Из этого равенства мы найдем . Следовательно, мы доказали, что

lim x2 = 4:

x!2

Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной: lim C =

Теорема 3 (Свойства пределов). Если функции f(x) и g(x) имеют пределы при x ! x0, то имеют пределы при x ! x0 и функции f(x) + g(x), f(x)g(x),

f(x), если lim g(x) 6= 0: Причем эти пределы равны: g(x)

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x):

x!x0 x!x0 x!x0

lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x):

x!x0 x!x0 x!x0

!	( )			lim f(x)
!	( )			x x0
lim		f(x)	=	x!x0
x x0		g x		lim g(x):
				!

Следствие. Если функция f(x) имеет предел при x ! x0, тогда:

lim (f(x))n = ( lim f(x))n;

x!x0 x!x0

lim Cf(x) = C lim f(x);

x!x0 x!x0

где n – натуральное число, а C – константа.

4.1 Предел функции

lim(5x2

Пример 11. Вычислить предел функции x!2

Пользуясь свойствами пределов получаем:

lim(5x2

1) = 5 lim x2

lim 1 = 5

1 = 19:

2x2 1

lim

Пример 12. Вычислить предел функции x!2

x3 + 2

lim(x3 + 2) = lim x3 + lim 2 = 8 + 2 = 10 = 0:

Далее воспользуемся свойствами

lim(2x2

1) = 2 lim x2

lim 1 = 8

1 = 7:

x!2

пределов:

lim(2x2

lim

x!2

+ 2

10:

lim(x3 + 2)

x 2

Два выше приведенных примера показывают, что в случае непрерывной функции вычисление предела функции в точке сводится к подстановке предельного значения x в аналитическое выражение, задающее функцию.

lim		x2 + 2x 8		.
Пример 13. Вычислить предел функции x!2		x3 8

Вданном примере пределы числителя и знаменателя равны 0. В этом случае

говорят, что имеется неопределенность	0	. Таким образом, свойства пределов
	0

применить нельзя. Разложим числитель и знаменатель на множители, получим:

lim				(x 2)(x + 4)			:		x	2
x	!	2	(x		2)(x2	+ 2x + 4)		Разделим числитель и знаменатель на		, тогда:
	!

lim

x + 4

x2 + 2x + 4

x!2

lim

4 + x

Пример 14. Вычислить предел функции x!0

Пределы числителя и знаменателя равны 0. Для того, чтобы вычислить этот предел, умножим и числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение. Выражение, сопряженное к данному, – это такое выражение, которое дополняет данное до какойлибо формулы сокращенного умножения. В нашем

примере до формулы разности квадратов. Таким образом, получаем:

x!0

x(p4 x + p4 + x)

lim

x 4 + x

= lim

(

4 x

4 + x)( 4 x +

4 + x)

19	4.2 Задачи для самостоятельного решения

= lim

x( 4 x + 4 + x)

( 4 x + 4 + x)

lim

x 1 + 1

Пример 15. Вычислить предел функции x!0

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю.

То есть на выражение (

1 + 1, которое дополняет числитель до

x 1)

формулы суммы кубов.

1 + 1)

lim

(

1 + 1)((

x!0

x((p3 x

1)2

p3 x

1 + 1)

= lim

x 1 + 1)

x((

x 1)

= lim

1 + 1)

((

При исследовании функций приходится рассматривать пределы, когда аргумент стремится к 1:

Определение 5. Пределом функции f(x) при стремлении x к 1 называется число A, если для любого числа " > 0 существует такое число (") > 0, что для всех x, для которых выполняется условие jxj > , выполняется неравен-

ство jf(x) Aj < ". Записывают следующим образом: lim f(x) = A. Предел

x!1

функции при x, стремящемся к 1, определяется аналогично.

Техника нахождения пределов функций при x ! 1 аналогично вычислению

пределов последовательностей.

Пример 16. Вычислить предел xlim ( x + 1 2x + 3).

1 .

неоределенность типа

В данном случае получается

lim (p

lim

( x + 1

2x + 3) x + 1 +

2x + 3

x + 1

2x + 3) =

( x + 1 + 2x + 3)

lim

(x + 1) (2x + 3)

= lim

x 2

x!1 px + 1 + p2x + 3 x!1 px + 1 + p2x + 3

4.2Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций.

20	4.3 Задачи домашней работы

lim(x2 + 2x

1):

x 2

lim

x!3

2x 6

lim

4x3 3x2

x!0

2x2 + 5

lim

x + 1

x!0

lim

x2 9

x!3

x 3

lim

x2 + 4x 5

x! 5

x + 5

x3 + 27

lim

x + 3

x! 3

lim

x2 4x + 3

x!1

x2 + x 2

lim

x4 6x2 + 5

x!1

x2 4x + 3

10.

lim

x + 3 2

x!1

x 1

4.3Задачи домашней работы

Вычислите пределы функций.

		x3		+ 1
1.	lim					.

	x!3	x 1
	lim	p			+ 1		.
2.			x

	x!1	x 1
		x2			+ x
3.	lim							.

	x!0 x2			+ 3x
4.	lim	x2		+ x 6					.

	x!2		x 2

11.

lim

1 + x

1 x

x!0

1 + p3

12.

lim

1 + x

x! 1

13.

lim

1 + x

1 + x2

1 + x 1

14.

lim

x!0 p3 1 + x p3 1 x

15.

lim

x!1

2x + 1

16.

lim

2x2 + x 1

x!1 x2 + 4x + 5

17.

x3 + x2 + 6

lim

x2 + 3

x!1

18.

lim

x4 + x5

+ x3

x!1 x2

19.

lim (

1 + x

x 1).

x!1

20.

lim (p

x2 + 3x 2

x2 2x + 4).

x!1

lim

x!1

x 1

lim

5x + 6

x!3 x2

6x + 9

lim

1 + x + x2

x!0

lim

2 + x

3x 2

2 p

4x + 1

5x 1

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2016110.08 Кб42lektsia_po_konstitutsii_2011.doc
#
21.04.2015139.78 Кб912Lektsii_1-4_informatika.doc
#
21.04.2015173.57 Кб191lektsii_uef[1].doc
#
14.03.2015713.22 Кб71Lektsii_Uglova_propedevtika.doc
#
21.04.201533.72 Кб59lera (1).docx
#
14.03.2015318.68 Кб1647lim.pdf
#
24.03.2016276.82 Кб70lim.pdf
#
21.11.2019178.69 Кб9Lipidy.doc
#
24.03.2016267.47 Кб1667Lyubimaya_farma.docx
#
24.03.201640.68 Кб83manipulyatsii_stazhirovka.docx
#
14.03.201576.29 Кб16marshrutnaya_knijka.doc