lim

Математический анализ. II семестр. Предел функции

М.А.Заводчиков 13 января 2015 г.

Содержание

2.3Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1Первый и второй замечательный пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5Практическое занятие №5. Непрерывность функции. Асимптоты функции 14

5.1 Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Асимптоты функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Введение

Одной из тем, изучаемых в курсе "Математического анализа"специальности "Биохимия является "Предел функции". Понятие предела функции применяется для исследования функций (понятие непрерывности, нахождение асимптот), а также служит фундаментом для введения таких понятий как производная функции и определенный интеграл.

Целью настоящего методического пособия является поддержка практических занятий по теме "Предел функции". Работа содержит краткую теоретическую справку, большое количество подробно разобранных примеров, задачи для самостоятельной работы, задачи домашней работы, а также несколько вариантов контрольной работы. Рассматриваются не только элементарные функции, изучаемые в школе, но и функции обычно не встречающиеся в школьном курсе математики. По мнению автора это добавляет элемент исследования.

1Практическое занятие №1. Понятие функции

В настоящем парагарафе мы напоминаем, известное из школьного курса математики, определение функции. Далее идет краткий обзор элементарных функций, вводятся операции сложения функций, умножения на число функции, умножения функций, а также частное двух функций. Обсуждается понятие композиции функций. В задачах для самостоятельной работы рассматриваются некоторые функции, обычно не встречающиеся в школьном курсе математики, например: y = [x], y = fxg, y = xx, y = logx a и другие.

1.1Обзор основных элементарных функций

1.Целая рациональная функция – это функция вида:

f(x) = anxn + an 1xn 1 + ::: + a1x + a0; :

где an, an 1,...,a0 – некоторые действительные числа, а n – натуральное число. Простейшим примером целой рациональной функции является постоянная функция f(x) = b. Ее график выглядит вот так:

y

y = b x

Область определения D(f) постоянной функции будет множество действительных чисел R. Область значений E(f) постоянной функции есть число b.

Следующим примером целой рациональной функции является линейная функция f(x) = kx + b. Ее график - прямая.

y

y = kx + b

x

Область определения D(f) линейной функции будет множество действительных чисел R. Область значений E(f) постоянной функции есть множество действительных чисел

R.

Примером целой рациональной функции является квадратичная функция f(x) = a2x2 + a1x + a0. График этой функции парабола.

yy = a2x2 + a1x + a0

x

Область определения D(f) квадратичной функции - множество действительных чисел

R. E(f) = [f(x0); 1), где x0 = a1 2a2

случае a2 < 0 получаем E(f) = ( 1; f(x0)).

4. Тригонометрические функции. К тригонометрическим функциям относятся следующие y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx и обратные к ним. Для функций y = sin x и cos x область определения D(y) = (1; +1). Область значений для этих функций есть E(y) = [ 1; 1]. Функция y = tgx не определена в точках x = 2 + n, где n 2 Z. Область значений E(y) = (1; +1). Функция y = ctgx не определена в точках x = n, где n 2 Z. Область значений E(y) = (1; +1). Ниже представлены графики тригонометрических функций.

y= cos xx

5.Показательная функция. Показательная функция - это функция вида y = ax, где a > 0. Область определения D(y) = (1; +1), а E(y) = (0; +1).

6.Логарифмическая функция. Логарифмическая функция - это функция, задаваемая

так: y = loga x, где a - положительное число, отличное от 1. D(y) = (0; +1), E(y) = (1; +1).

1.2Операции над функциями

Операции сложения функций, умножения функции на число, умножения функций, а также частное двух функций определяются поточечно, то есть (f + g)(x) = f(x) + g(x), ( f)(x) =f(x), (fg)(x) = f(x)g(x), fg (x) = fg((xx)) . Композиция двух функций определяется так: (f g)(x) = f(g(x)).

Пример 1. Даны функции f(x) = sin x и g(x) = x2. Выписать следующие функции: f g,

g f, f f, g g f.

f g = sin(x2), g f = sin2 x, f f = sin(sin x), g g f = sin4(x).

Определение 1. Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, умножения на число, умножения функций, деления функций и композиции функций, называются элементарными функциями.

Элементарные функции достаточно подробно изучаются в школьном курсе математики. Приведем примеры функций, обычно не изучаемых в школе, f(x) = [x] - целая часть числа x, f(x) = fxg - дробная часть числа x, f(x) = xx, f(x) = logx a.

1.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Построить графики функций.

(a) f(x) = 2x 3; f(x) = jxj, f(x) = j2x + 2j;

(b) f(x) = 3(x 1)2 + 2, f(x) = x2 4x + 3, f(x) = 1 x2, f(x) = jx2 4j;

(c) f(x) = x3 x2 + x, f(x) = (x + 1)3 2, f(x) = 1 (x + 2)3, f(x) = jx3j;

2.Найдите область определения и область значений каждой из выше перечисленных функций.

3.Постройте графики следующих функций f(x) = [x], f(x) = fxg, f(x) = xx, f(x) = logx a, f(x) = logcos x sin x, f(x) = (sin x)ctgx, . Найдите область определения и область значений каждой из функций.

2Практическое занятие №2. Предел последовательности.

2.1Предел числовой последовательности

Определение 2. Числовой последовательностью называется функция an = f(n), определенная на множестве всех натуральных чисел.

Значения последовательности a1, a2,...,an,... называются ее членами. Последовательность an часто обозначают так: fang. Приведем примеры некоторых числовых последовательностей.

1.fng: 1; 2; 3; 4; :::;

2.f( 1)nng: 1; 2; 3; 4; :::;

3.n1 : 1; 12; 13; 14; :::;

Для числовой последовательности, как и для любой функции, можно построить график. Он не является линией, а состоит из отдельных точек.

Определение 3. Число A называется пределом числовой последовательности fang, если для любого числа " > 0 существует такой номер N = N("), что для всех n > N выполня-

n!1

ется неравенство jan Aj < ". Это обозначают так: lim an = A или аn ! A.

n!1

Пример 2. Доказать, что lim 1 = 0.

n!1 n

Доказательство. Пусть " – произвольное положительное число. Запишем неравенство из

определения 3 для последовательности n1 , получим:

0 < ":

n

Доказательство. Пусть " – произвольное положительное число. Запишем неравенство из

no

Получили деление на 0. Не совсем так. Мы делим число очень близкое к 1 на число очень

2.2Задачи для самостоятельного решения

Напишите несколько первых членов следующих последовательностей. Определите, являются ли они ограниченными сверху, ограниченными снизу, возрастающими, убывающими?