
- •Лекція 1. Основні поняття теорії д.Р.
- •Др 1-го порядку. Основні поняття
- •Метод ізоклін
- •Інтегровні типи др-1, розв’язних відносно похідної
- •Неповні рівняння.
- •Лінійні др-1
- •Загальні властивості розв’язків лодр-1:
- •Рівняння, звідні до лінійних
- •Рівняння в повних диференціалах
- •Інтегрувальний множник
- •Др-1, не розв’язні відносно похідної
- •Рівняння Лагранжа.
- •Др-. Основні поняття та означення
- •Др-, що допускають пониження порядку
- •Лінійні др-
- •Властивості однорідних лінійних др
- •Лодр-з постійними коефіцієнтами
- •Лінійні неоднорідні др-
- •Метод варіації довільних сталих знаходження частинного розв’язку лндр-
- •Лінійні неоднорідні др-зі сталими коефіцієнтами
- •Метод невизначених коефіцієнтів
- •Рівняння Ейлера
- •Інтегрування др за допомогою рядів
- •Системи др Основні означення
- •Метод виключення
- •Метод інтегровних комбінацій
- •Метод Ейлера інтегрування однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами
- •Метод виключення інтегрування неоднорідних систем лінійних рівнянь
- •Застосування перетворення Лапласа до розв’язування лдр та їх систем
- •Властивості перетворення Лапласа
- •Розв’язування задачі Коші для лінійного др з постійними коефіцієнтами
- •Розв’язування систем лінійних др з постійними коефіцієнтами
- •Інтегральні рівняння
- •Інтегральні рівняння Вольтерра
- •Розв’язування ір Вольтерра за допомогою резольвенти.
- •Метод послідовних наближень
- •Рівняння типу згортки
- •Ір Фредгольма з виродженими ядрами
Лінійні неоднорідні др-зі сталими коефіцієнтами
Одним
із методів розв’язання такого типу
рівнянь є метод варіації довільних
сталих, коли відомий розв’язок
відповідного однорідного ЛДР-.
Частинний
розв’язок ЛНДР шукаємо у вигляді
.
Складемо систему для
і
:
,
,
.
Тоді
.
Приклад.
.
Практично
цей шлях вимагає досить громіздких
обчислень. Але існують для деяких окремих
видів правої частини
ЛНДР-
прості прийоми знаходження його частинних
розв’язків без квадратур.
Метод невизначених коефіцієнтів
Застосування цього методу ґрунтується на тому, що іноді можна підібрати таку функцію аргументу і кількох сталих, що при певних значеннях цих сталих ця функція буде частинним розв’язком рівняння.
Нехай
права частина ЛНДР-має вигляд
.
Частинними випадками цього вигляду можуть бути:
1)
(тут покладемо
),
2)
(тут покладемо
),
3)
або
.
Тоді частинний розв’язок будемо шукати у вигляді
,
де
,
- кратність кореня
серед коренів характеристичного
рівняння.
Тут
многочлени записані через невизначені
коефіцієнти. Підставляючи
в рівняння, прирівнюємо коефіцієнти
при відповідних степенях алгебраїчних
чи тригонометричних многочленів,
дістанемо систему лінійних рівнянь.
Приклад.
Принцип
суперпозиції.
Методом невизначених коефіцієнтів
можна розв’язувати ЛНДР-,
коли
,
де кожна з функцій
,
має вигляд
.
Теорема.
Якщо
функції
частинні розв’язки рівнянь
,
то функція
є частинним розв’язком рівняння
.
Приклад.
.
Рівняння Ейлера
Рівняння
виду
,
де
- сталі, називаєтьсярівнянням
Ейлера.
Заміною
це рівняння перетворюється в ЛОДР-
з постійними коефіцієнтами:
.
Зауваження. Рівняння виду
також
називається рівнянням
Ейлера
і зводиться до ЛОДР-з постійними коефіцієнтами заміною
.
Виконуючи
заміну
,
отримаємо, що похідні функції
по
матимуть вигляд:
,
,
…
Приклад.
Після
підстановки
отримаємо:
,
- ЛОДР-2.
Зауваження.
Частинні розв’язки рівняння Ейлера
можна відразу шукати у вигляді
,
пр. цьому для
отримаємо рівняння, яке співпадає з
характеристичним рівнянням ЛОДР-
.
2-й
спосіб.
,
де
-
невідоме число. Тоді
,
.
Маємо
.
,
,
.
Неоднорідне рівняння Ейлера – це рівняння виду
,
де
- многочлен степеня
.
Приклад.
.
Відповідь:
.
Інтегрування др за допомогою рядів
Цей
прийом зручний для розв’язування
лінійних ДР. Нехай маємо ЛОДР-2
.
Припустимо, що коефіцієнти
і
записані у вигляді рядів Маклорена:
.
Розв’язок
цього рівняння також будемо шукати у
вигляді степеневого ряду
.
Підставимо його в рівняння:
.
Перемножуючи
ряди та порівнюючи коефіцієнти при всіх
степенях
зліва і справа, отримаємо нескінченну
систему:
……………………………………………….
Кожне
наступне рівняння містить на 1 шуканий
коефіцієнт більше, ніж попереднє.
Коефіцієнти
і
- довільні і відіграють роль довільних
сталих. З першого рівняння знаходимо
,
з другого –
і т.д.
Практично
зручно зробити так. За наведеною схемою
визначимо 2 розв’язки
і
,
причому для
виберемо
і
,
а для
виберемо
,
що відповідає наступним початковим
умовам:
.
Будь-який розв’язок початкового рівняння
буде лінійною комбінацією розв’язків
та
.
Теорема.
Якщо
ряди
і
збігаються при
,
то побудований вказаним способом
степеневий ряд буде також збіжний при
цих значеннях
і є розв’язком рівняння. Зокрема, якщо
і
- многочлени, то ряд
буде збігатися при довільному
.
Приклад.
Шукаємо
.
Підставимо і отримаємо:
Поклавши
отримаємо
і
.
Аналогічно,
.
Загальний
розв’язок має вигляд:
,
де
- довільні сталі, так що
.