Др-1, не розв’язні відносно похідної

1. Рівняння першого порядку -го степеня відносно.

Нехай маємо ДР . Розв’яжемо це рівняння відносно. Нехай,, …,,- дійсні корені рівняння.

Тоді загальний інтеграл буде виражатися сукупністю інтегралів: ,, …,, деє інтеграл рівняння.

Таким чином через кожну точку області, в якій набуває дійсних значень, проходитьінтегральних кривих.

Приклад. .

,

Тоді .

2. Рівняння вигляду і.

Розглянемо випадок, коли ці рівняння не розв’язні відносно похідної.

А) Рівняння розв’язне відносно:. Покладемо , тоді. Продиференціюємо останнє рівняння і замінимо, отримаємо

, ,.

Отримаємо загальний розв’язок в параметричній формі

, .

Приклад. , де- сталі.

Покладемо , тоді,,,. Тоді загальний розв’язок буде

, .

Б) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння розв’язне відносно :. Покладемо, отримаємо. Але, і тому, так що і .

Таким чином, ,- загальний розв’язок в параметричній формі.

Приклад. .

Нехай , тоді,

, .

Тобто загальний розв’язок маємо в параметричній формі

.

Рівняння Лагранжа.

Його загальний вигляд .

Покладемо та продиференціюємо по, замінюючина. Отримаємо рівняння лінійне відноснояк функції від. Знайшовши розв’язок цього останнього рівняння, отримаємо загальний розв’язок в параметричній формі:,.

, ,

-ЛНДР-1

Крім того, рівняння Лагранжа може мати ще особливі розв’язки виду , де- корінь рівняння.

Приклад. .

Нехай , тоді. Продиференціюємо:

, ,- ЛНДР-1 відносно, розв’язком якого є. Підставимо знайдений вираз дляв:

, .

Рівняння Клеро має вигляд . Метод розв’язання той самий, як і для рівняння Лагранжа:

,

- загальний розв’язок.

Рівняння Клеро може мати особливий розв’язок, який можна отримати виключенням параметра з рівнянь,.

Приклад. .

Нехай , тоді,,

- одно параметрична сім’я прямих.

Якщо , то.

Виключимо параметр з системи

.

Тобто особливий розв’язок, що з геометричної точки зору є обвідною сім’ї прямих.

Др-. Основні поняття та означення

ДР-має вигляд, або у випадку, коли воно розв’язне відносно

. (1)

Задача знаходження розв’язку , який задовольняє початкові умови , називається задачею Коші для рівняння (1).

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо в рівнянні (1) функція

а) неперервна по всім своїм аргументам в деякій області;

б) має в цій області обмежені частинні похідні ,

то знайдеться інтервал , на якому існує єдиний розв’язокрівняння (1), що задовольняє початковим умовам, де значеннямістяться в області.

Зокрема, для ДР-2 початкові умови мають вигляд, де- дані числа. В цьому випадку теорема існування та єдності геометрично означає, що через дану точкуплощиниз даним тангенсом кута нахилу дотичноїпроходить єдина крива.

Приклад. ,.

В даному випадку , яка визначена і неперервна при всіх значеннях. Її частинні похідні поірівні

,

які є неперервними і обмеженими функціями своїх аргументів. Тому для довільних початкових умов існує єдиний розв’язок даного рівняння, який їм задовольняє.

Загальним розв’язком ДР- (1) називається множина всіх його розв’язків , що містить довільних сталихтаких, що якщо задані початкові умови, то знайдуться такі значення, щобуде розв’язком р-ня (1), що задовольняє цим початковим умовам.

Довільний розв’язок, який можна отримати із загального при конкретних значеннях довільних сталих , називаєтьсячастинним розв’язком (1).

Рівняння виду , яке визначає неявно загальний розв’язок ДР, називаєтьсязагальним інтегралом рівняння. Графік частинного розв’язку або частинного інтегралу називається інтегральною кривою даного ДР.