Обратная матрица

Матрица называетсяобратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении матрицы на А как слева, так и справа получается единичная матрица:

(5)

Только квадратная матрица может иметь обратную, и обратная матрица имеет тот же размер, что и исходная. Для существования обратной матрицы необходимо, чтобы . В этом случае матрица А будетневырожденной. В противном случае матрица А называетсявырожденной.

Теорема. Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Вычисляется обратная матрица по формуле:

, (6)

где - т.н. присоединенная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к матрице А.

Пример: Найти обратную матрицу к матрице :

2 2 3

А= 1 -1 0

-1 2 1

Решение. Получим присоединенную матрицу. Для этого транспортируем А и найдем для нее алгебраические дополнения:

2 1 -1

-1 2 2 2

2 -1 2 ; 0 1 = -1;3 1 =4;

3 0 1

2 -1 1 -1

3 0 =3; 0 1 = -1;

2 -1 2 1

3 1 =5; 3 0 =3;

1 -1 2 -1

-1 2 =1; 2 2 = -6;

2 2

1 -1 = -4.

Отсюда

-1 4 3

-1 5 3

1 -6 -4

Находим определитель матрицы А:

Отсюда обратная матрица:

-1 4 3 1 -4 -3

1 1 -5 -3

-1 5 3 = -1 6 4

-1 1 -6 -4

Ранг матрицы

В матрице вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно получить различные квадратные подматрицы порядка. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы А. Например, из матрицы можно получить миноры 1, 2 и 3 порядков.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается ранг или. При этом очевидно, чтокроме того,тогда и только тогда, когда матрица А нулевая ( нуль-матрица).

Следующие преобразования матрицы называются элементарными. :

1. Отбрасывание нулевой строки ( столбца).

2. Умножение всех элементов строки ( столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк ( столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки ( столбца) соответствующих элементов другой строки ( столбца) , умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Для рангов матриц справедливы соотношения:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) если А и В – квадратные матрицы и

Обозначим строки матрицы как векторы:

….

Строка называетсялинейной комбинацией строк , если она равна выражению:, где-числа.

Строки матрицы называютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0=(0,0,…,0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Если линейная комбинация строк равна нулевой строке тогда и только тогда , когда все коэффициенты равны нулю, то строкиназываютсялинейно независимыми.

Например, в матрице строки линейно зависимы, поскольку, т.е., где. В этом случае,

В качестве примера линейно независимой системы векторов можно привести строки матрицы где нуль-строку можно получить только для нулевых коэффициентов, т.е..

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Вопросы для самоконтроля: