- •Кафедра высшей математики
- •Операции над матрицами
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.Что такое матрица?
- •Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное следующей сумме:
- •Минором элементаквадратной матрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.
- •Алгебраическим дополнением элементаквадратной матрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
- •Свойства определителей
- •Лекция № 5 - 7
- •Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра
- •Векторы и операции над ними
- •Разность векторов и- это сумма вектораи вектора
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство Скалярным произведением двух векторов иназывается число:
- •Линейные операторы
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Лекция № 10 - 12 Аналитическая геометрия
- •Уравнение прямой
- •Примерные тесты
- •VII. Учебно - методическое обеспечение дисциплины
Линейная модель обмена (модель международной торговли)
Пусть n стран имеют национальный доходсоответственно,доля национального дохода, которуюj-ая страна тратит на покупку товаров у I-ой страны. Считаем, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.
(1)
Матрицаназываетсяструктурной матрицей торговли.
В соответствии с выражением (1) сумма элементов любого столбца равна единице.
Для I-ой страны выручка от внутренней и внешней торговли составит:
Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой стран, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:
Отсюда получаем систему неравенств:
(2)
Сложим все неравенства, получим после группировки:
Учитывая (1), имеем
Неравенство невозможно, условиепринимает видС экономической точки зрения это означает, что все страны не могут одновременно получать прибыль.
Введем вектор х=((вектор- столбец), получим уравнение
(3)
Задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению
Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:
Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.
Решение. Решим уравнение
=
Методом Гаусса найдем решение: т.е.
Для сбалансированной торговли соотношение национальных доходов должно быть или 3:4:2.
Вопросы для самоконтроля:
Что такое вектор?
Назовите основные операции над векторами, их свойства
Что такое базис?
Как найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора.
Для самостоятельного изучения - линейная модель обмена (Балансовый анализ)
Лекция № 10 - 12 Аналитическая геометрия
План лекции
Основные понятия для вывода уравнения прямой
Способы задания уравнения прямой на плоскости и в пространстве
Взаимное расположение прямых
Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на это линии.
В общем виде уравнение линии:
F (x,y) = 0
или, если это возможно:
у = f (x).
Любую линию на плоскости можно выразить соответствующим уравнением, но не всякое уравнение определяет на плоскости некоторую линию.
Уравнение прямой
Пусть прямая пересекает ось Оу в точке В (о; в) и образует с осью Ох угол a (0<a<)
Уравнение прямой можно записать так: у = kх +b,
где tga = k = - угловой коэффициент прямой. Это – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Формула справедлива и для
< a < p.
Частные случаи (1):
b = 0; у = kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат;
a = 0; k = tg 0 = 0; у = в – уравнение прямой, параллельной оси Ох;
a =-вертикальная прямая, у которой не существует углового коэффициента; х = а, прямая пересекает ось Ох в точке х = а.
Уравнение произвольной прямой, проходящей через точку М1 (х1,у1) с координатами х1 и у1, имеет вид:
у – у1 = k (x –x1). (2)
Здесь k – произвольное число; задав его, можно задать конкретную прямую. Это уравнение называется также уравнением пучка прямых.
Прямую можно задать координатами двух точек, через которые она проходит:
(3)
где х1, у1 – координаты первой точки М1, х2, у2 – координаты второй точки М2.
Еще один способ задать уравнение прямой – выразить его через отрезки, которые прямая отсекает на осях координат:
(4)
Уравнение (4) называется уравнением прямой в отрезках.
Наиболее общим способом задать уравнение прямой является общее уравнение 1-й степени с двумя переменными:
Ах + Ву + С = О, (5).
в котором А и В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0.
Частные случаи уравнения (5):
В ¹ 0, тогда
Это уравнение (1), в котором
Если A¹0, С=0, тогда y=kx (прямая проходит через начало координат);
А=0, С¹0, у=b –прямая параллельна оси Ох;
В=0, А¹0, тогда
с¹0, х=а – прямая параллельна оси Оу;
с=0, х=0 – уравнение оси Оу.
Таким образом уравнение (5) при любых допустимых значениях А, В, С есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху. Это общее уравнение прямой.
Пусть заданы две прямые:
y=k1x+b1
y=k2x+b2.
Тогда угол j между этими прямыми (j=a2-a1, a1¹,a2¹) определяется выражением:
(6).
Угол j получается поворотом против часовой стрелки первой прямой до совпадения со второй. Из выражения (6) условие параллельности двух прямых:
к1 = к2 (7),
а условие перпендикулярности –
к1 к2 = -1. (8)
Если прямые заданы общим уравнениями
А1 х + В1 у + С1 = 0
А2 х + В2 у + С2 = 0,
условие параллельности имеет вид:
, (9)
а условие перпендикулярности –
А1 А2 + В1 В2 = 0. (10)
При этом если прямые не параллельны, координаты точки их пересечения можно найти из решения системы уравнений:
Точка пересечения в этом случае будет единственной.
Если дано уравнение прямой в общем виде Ах + Ву + С = 0 и координаты точки М (хо,уо), не лежащей на этой прямой, то расстояние от точки М до прямой определяется выражением:
Вопросы для контроля:
Запишите различные виды уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Запишите условие параллельности и перпендикулярности прямых