Линейные операторы

Рассмотрим два линейных пространства: размерностииразмерности

Если задан закон ( правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный векторто говорят, что заданоператор ( преобразование, отображение) А ( х ), действующий из в, и записывают у=А( х).

Оператор называется линейным , если для любых векторов выполняются соотношения:

1. свойство аддитивности;

2. свойство однородности оператора.

Вектор называется образом вектора х, а сам вектор х- прообразом вектора

Если пространства исовпадают, то оператор А отображает пространствов себя. Рассмотрим именно этот случай.

Выберем в базисзапишем разложение произвольного векторапо этому базису:

Применим к этому выражению линейный оператор в силу его линейности получаем:

Поскольку -также вектор изто его можно разложить по базису:

Тогда

Перегруппируем сомножители в правой части, вынося за скобки базисные векторы получим:

(*)

С другой стороны, вектор имеющий в том же базисекоординатыможно записать так:

(**)

Разложение вектора по базису единственно, следовательно, правые части (*) и (**) равны, поэтому:

или в матричной форме:

Матрица каждый столбец которой состоит из координат образасоответствующего базисного векторав том же базисеназываетсяматрицей оператора в базисе, а рангr матрицы А рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Наоборот, всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Вектор х и его образ связаны матричным уравнением:

где А- матрица линейного оператора .

Пример: Линейный оператор вв базисезадан матрицейНайти образвектора

Решение: Применяем формулу перехода:

Образ вектора х имеет вид:

Суммой двух линейных операторов иназывается операторопределяемый равенством:

Произведением линейного оператора на числоназывается оператор

Произведением линейных операторов иназывается оператор

Все эти операторы удовлетворяют свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Нулевой оператор переводит все векторы изв нулевые векторы

Тождественный оператор

Теорема. Матрицы илинейного операторав базисахи,связаны соотношением:гдематрица перехода от старого базиса к новому.

Пример.В базисеоператоримеет матрицу. Найти матрицу операторав базисе

Решение, Матрица перехода здесь , а обратная к ней

Следовательно,

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор называетсясобственным вектором линейного оператора если найдется такое числочто

(*)

Число называетсясобственным значением оператора ( матрица А), соответствующим векторуПод действием линейного операторасобственный вектор переходит в вектор, коллинеарный самому себе.

Перепишем (*) в матричной форме:

В развернутом виде:

Представим в однородном виде:

Эта система (однородная) всегда имеет нулевое ( тривиальное) решение х=0. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю:

= 0 (**)

Определитель является многочленомn-ой степени относительно Это – характеристический многочлен оператораили матрицы А, а уравнение (**) – характеристическое уравнение оператораили матрицы А.

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, т.е. гдематрицы операторав старом и новом базисах соответственно.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора заданного матрицей

1 4

А = 9 1 .

Решение. Составим характеристическое уравнение

, или откуда

Находим собственный вектор отвечающий собственному значению

или , откудаПримемотсюда векторыявляются собственными векторами линейного операторас собственным значением

Аналогично для векторыявляются собственными векторами линейного операторас собственным значением

Наиболее простой вид принимает матрица А линейного оператора , имеющегоn линейно независимых собственных векторов с собственными значениями , соответственно равнымиМатрица операторав базисе, составленном из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной , то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора

Кроме того, если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений , то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.