Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (или столбец) матрицы состоит из одних нулей , то ее определитель равен нулю.

2. Если все элементы какой- либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца, в отличие от матрицы, за знак который можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4. При перестановке двух строк ( столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит 2 одинаковые строки(столбца), то ее определитель равен нулю.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки ( столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки ( столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.при.

Замечание.: Свойство 7 и теорему Лапласа можно объединить:

.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки ( столбца) матрицы прибавить элементы другой строки ( столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки ( столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки ( столбца) на числа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:, где С=, А и В – матрицыn-го порядка. Даже если АВВА, и в этом случае.

Перечисленные свойства упрощают вычисления определителей.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как вычислить определитель матрицы 2, 3, 4-го порядков?

Лекция № 5 - 7

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

План:

1.Основные понятия и определения.

2. Методы решения (Гаусса, формулы Крамера, метод обратной матрицы)

3. Однородные системы

Система m линейных уравнений с n переменными (неизвестными) имеет вид:

(1)

……………………………

Здесь - произвольные числа, называемые соответственнокоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью суммирования система (1) выглядит так:

(2)

Решение системы (1)- это такая совокупность n чисел при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему (1) в матричной форме. Введем обозначения:

А= ; Х=; В=,

………..

где А- матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х- вектор-столбец переменных, В- вектор-столбец свободных членов.

Используя определения действий над матрицами, систему (1) можно записать в виде:

АХ=В (3)