книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdf372 |
Гл. 13. Панельные данные |
Эта дисперсия оценивается стандартным образом по остаткам межгрупповой регрессии:
= |
~ MB - г 'З в )2- |
(13.27) |
|
i—l |
|
Наконец, в соответствии с (13.26) для дисперсии |
строится |
|
оценка |
|
|
Таким образом, в модели со случайным эффектом удается реали зовать доступный обобщенный метод наименьших квадратов.
Формула (13.28) дает несмещенную и состоятельную оценку дисперсии в\. Однако на практике, когда объем выборки невелик, может так случиться, что эта оценка окажется отрицательной. В этих ситуациях нужно использовать другие оценки дисперсии описание которых выходит за рамки данной книги. Подробнее об этом можно прочесть в книге (Greene, 1997, глава 14.4).
Пример. Оценка производственной функции российских предприятий топливно-энергетической отрасли. Продол жение 1 (см. начало н. 13.3, стр. 366).
Оценка производственной функции Кобба-Дугласа для пред приятий топливно-энергетической отрасли в модели со случайным эффектом приводит к следующим результатам:
Dependent Variable: InQ |
|
|
|
|
Variable |
Coefficient |
Std.Error |
z-Statistic |
Probability |
In К |
0.24671 |
0.01763 |
13.990 |
0.000 |
In L |
0.77544 |
0.02578 |
30.078 |
0.000 |
const |
-1.13749 |
0.11982 |
-9.494 |
0.000 |
|
1.94279 |
|
|
|
cre |
0.76341 |
|
|
|
Как и раньше, оценки эластичностей получились значимыми и согласующимися со здравым смыслом. По сравнению с оценка ми, полученными в модели объединенной регрессии и в модели со случайным эффектом, они занимают промежуточное положение между первыми и вторыми.
13.5. Качество подгонки |
373 |
Подведем кратко итоги.
При наличии панельных данных возникает несколько оценок вектора коэффициентов /3:
1)МНК-оценка в обычной модели регрессии (13.1).
2)Внутригрупповая оценка — оценка в регрессии, которая опе рирует с отклонениями исходных данных от средних по вре мени для каждой экономической единицы. Эта же оценка называется оценкой с фиксированным эффектом (13.9).
3)Межгрупповая оценка — оценка в регрессии индивидуаль ных средних по времени (13.21).
4)Оценка со случайным эффектом — оценка, полученная при менением обобщенного метода наименьших квадратов в мо дели (13.14).
При этом как оценка Эо1£>так и оценка PQLS являются сред невзвешенными внутри- и межгрупповой оценок (каждая, есте ственно, со своей весовой матрицей).
1 3 .5 . К ач еств о п од гон к и
Для стандартных моделей регрессии качество подгонки (при усло вии, что среди регрессоров есть константа) обычно измеряет коэф фициент детерминации Я2 или скорректированный коэффициент детерминации Л2^. Напомним, что коэффициент детерминации интерпретируется как доля объясненной вариации зависимой пе ременной. Для моделей с панельными данными это понятие тре бует уточнения и модификации. Во-первых, внутригрупповая и межгрупповая модели имеют дело с разными вариациями зави симой переменной. Во-вторых, модель со случайным эффектом оценивается с помощью обобщенного метода наименьших квадра тов, для которого коэффициент детерминации вообще не является адекватной мерой качества подгонки.
Один из возможных подходов основывается па том факте, что для стандартной линейной модели регрессии коэффициент детер минации Я2 совпадает с квадратом выборочного коэффициента
13.6. Выбор модели |
375 |
больше соответствующего объединенного коэффициента для вто рого метода, даже если более адекватным является использование случайного эффекта. Тем не менее коэффициенты детерминации можно применять для сравнения моделей, отличающихся набором регрессоров и оцениваемых одним и тем же методом.
13.6.Выбор модели
Фиксированный или случайный эффект?
При работе с реальными панельными данными всегда возни кает проблема, какую модель (обычная регрессия, фиксирован ный или случайный эффект) следует выбрать. На содержатель ном уровне разницу между моделями можно интерпретировать следующим образом. Обычная модель предполагает, что у эко номических единиц нет индивидуальных различий, и в некото рых простых ситуациях такое предположение оправданно. В мо дели с фиксированным эффектом считается, что каждая эко номическая единица «уникальна» и не может рассматриваться как результат случайного выбора из некоторой генеральной со вокупности. Такой подход вполне справедлив, когда речь идет о странах, крупных регионах, отраслях промышленности, боль ших предприятиях. Вели же объекты попали в панель «случай но» в результате выборки из большой совокупности, то прием лемой является модель со случайным эффектом. Примером мо гут служить небольшие фирмы, домашние хозяйства, индивиду умы. Следует, однако, подчеркнуть, что и в подобных ситуаци ях (особенно для небольшого числа экономических единиц) мо жет возникнуть вопрос о наличии индивидуальных различий, и тогда модель с фиксированным эффектом представляется более предпочтительной.
Сделаем еще одно важное замечание. Модель со случайным эффектом предполагает, что ошибки а» некоррелированы с ре грессорами хц , т.е. индивидуальный эффект не связан с объ ясняющими переменными Xjt. Это условие выполняется далеко не всегда, даже для выборок из большой совокупности. Так, в
376 Гл. 13. Панельные данные
приведенном выше примере оценивания производственной функ ции (уравнение (13.5)) индивидуальный эффект, связанный с ка чеством управления, коррелирует с производственными факто рами Xjt: при прочих равных условиях на предприятии с бо лее высоким качеством управления производственные издерж ки ниже. В некоторых учебниках по панельным данным имен но наличие или отсутствие корреляции между индивидуаль ным эффектом и регрессорами Xjt рассматривается как клю чевое различие между моделями с фиксированным и случай ным эффектами (см., например, (Johnston and DiNardo, 1997), (Hsiao, 1986)).
Заметим, что независимо от того, коррелировалы индивиду альные эффекты с другими объясняющими переменными или нет, оценки с фиксированным эффектом являются несмещенными и состоятельными. Поэтому в любой ситуации модель с фиксиро ванным эффектом дает приемлемые оценки. Однако при отсут ствии корреляции эти оценки будут неэффективными, что может быть весьма важным при выборках небольшого объема. В то же время, если в модели присутствует фиксированный эффект, то оценки с помощью случайного эффекта будут несостоятельными. Таким образом, качество оценок существенно зависит от правиль ной спецификации модели.
Подробнее о выборе моделей с фиксированным или случай ным эффектом можно прочесть в книге (Searle, Casella, McCul loch, 1992).
На практике оценивание с помощью разных моделей часто приводит к существенно разным результатам.
Статистические тесты
Помимо содержательных соображений существуют статистиче ские тесты, позволяющие частично решать проблему выбора мо дели с помощью стандартной техники проверки гипотез. В рас смотренных выше моделях существует определенная иерархия:
1) обычная модель регрессии (13.2) есть частный случай моде ли с фиксированным эффектом (13.3), когда в последней а» = О, * = 1 > - о п ;
378 |
Гл. 13. Панельные данные |
Как обычно, если LM > Хв(1)» то гипотеза Но отвергается при уровне значимости а, где Хв(1) — «-процентная точка распреде ления хи-квадрат с одной степенью свободы.
В нашем примере результаты этого теста выглядят так:
Breusch and Pagan LM-test for random effects: HQ: Var(tt) = 0
X2 ( l ) _________ 6504.28_________ Probability_________ 0.0000
Вновь видим, что модель простой объединенной регрессии в данном случае уверенно отвергается в пользу модели со случай ным эффектом.
3. Случайный эффект против фиксированного эффекта. В мо дели со случайным эффектом предполагается, что индивидуаль ные эффекты не коррелируют с остальными объясняющими пе ременными. Таким образом, необходимо проверить гипотезу Но: Cov(aj,*jt) = 0. Альтернативная гипотеза состоит в том, что эта ковариация отлична от нуля.
Для проверки подобных гипотез обычно используется тест Хаусмана (Hausman, 1978), о котором уже шла речь в главе 8. Этот тест основан на сравнении оценок параметров /3, получен ных в основной и альтернативной моделях. Как уже говорилось выше, при нулевой гипотезе оценка со случайным эффектом состоятельна и эффективна, а при альтернативной гипотезе не состоятельна. Оценка с фиксированным эффектом Дод состоя тельна как при нулевой, так и при альтернативной гипотезах. Содержательный смысл теста Хаусмана состоит в том, что при нулевой гипотезе оценки /3RE и /3ЕЕ не должны сильно отли чаться, а если справедлива альтернативная гипотеза, то различие должно быть существенным. Чтобы понять, велика ли разница /3рв —Дшз между^оценками, требуется знание ковариационной матрицы V(/3FE —/Зод) этой разности. Можно показать, что при выполнении пулевой гипотезы из эффективности оценки /3ЕЕ сле дует (асимптотическое) равенство
V(3FE _ 3 RE) = V(3FE) ~ V(/3aE).
Таким образом, статистика
О/ = (3FE ~ 3 RE)'(V(3KB) ~ V(0RE))-1 ifiFE ~ £ RE) (13.32)
13.7. Динамические модели |
379 |
при нулевой гипотезе имеет асимптотически хи-квадрат распреде ление с к степенями свободы, где V(/3FE), V(/3RB) — оценки соот ветствующих ковариационных матриц, а к — размерность вектора /3 (ср. с разделом 8.4).
Применяя тест Хаусмана в нашем примере оценки производ ственной функции, получаем следующие результаты:
Hausman specification test: |
|
|
|
InQ |
Coefficients |
|
|
Fixed Effects |
Random Effects |
Difference |
|
\пК |
0.11421 |
0.24671 |
-0.13250 |
In L |
0.60393 |
0.77544 |
-0.17151 |
Test: difference in coefficients not systematic |
0.0000 |
||
X2(2) |
141.01 |
Probability |
Таким образом, тест Хаусмана отвергает гипотезу о случайных эффектах в пользу гипотезы о наличии фиксированных индиви дуальных эффектов.
При практической реализации теста Хаусмана может возник нуть трудность, связанная с тем, что матрица V(/3FE) —V(/3RE) не обязательно является положительно определенной, что может привести к проблемам при ее обращении. В подобной ситуации можно пытаться применять тест Хаусмана лишь к части компо нент вектора /3.
В современных эконометрических компьютерных пакетах, как правило, реализованы процедуры работы с панельными данными и оценивание моделей по объединенным данным, с фиксирован ным или случайным эффектом. Отметим, в частности, уже упо минавшийся выше пакет STATA, где также можно легко осуще ствлять тест Хаусмана.
13.7.Динамические модели
Впредыдущих разделах мы достаточно подробно рассмотрели статические модели с панельными данными. Следующий есте ственный шаг — это изучение динамических моделей, основанных
380 |
Гл. 13. Панельные данные |
на панельных данных, которые, образно говоря, позволяют иссле довать динамику «на индивидуальном уровне». Как будет показа но ниже, оценвание этих моделей является более сложной задачей по сравнению со статическими моделями, поэтому мы ограничим ся в этой книге постановкой задачи и кратким описанием способов ее решения.
Простейшая модель авторегрессии с панельными данными
Наиболее простую динамическую модель, которая является есте ственным обобщением рассмотренных выше статических моделей и учитывает индивидуальный эффект, можно получить, добавляя в правую часть уравнения (13.3) датированное значение зависи мой переменной:
Уй = <*» + + 7Уй-1 + £#• (13.33)
Формально эта модель выглядит почти так же, как и рассмот ренные выше статические модели. Поэтому на первый взгляд ка жется, что можно использовать те же подходы, что и раньше, и пытаться оценивать эту модель, делал выбор между фиксирован ным и случайным эффектами. Однако в данном случае очевидно, что переменные уи -1 и а, коррелировали независимо от природы индивидуального эффекта ац. Чтобы продемонстрировать возни кающие здесь новые проблемы, достаточно рассмотреть простей шую авторегрессионную модель без экзогенных переменных хц:
Уи = оц + 7Уй -1 + £й , Ы < 1- |
(13.34) |
Применяя к (13.34) внутригрупповое преобразование, получа |
|
ем следующее уравнение: |
|
Уи ~ V i= 7(y»t-i - V i - 1) + e«t -£*, |
(13.35) |
где, как и раньше, у^Уг-\ — соответствующие внутригруппо
вые средние: у,- = (1/Т) Y j =l уи, Vi-i = (1/Л ££=i Уй-i- Тогда нетрудно заметить, что в уравнении (13.35) регрессоры Уй- 1~У|,-1