книги / Эконометрика. Начальный курс

сти, получаемой при использовании модели со связанным с этим риском (неопределенностью).

Еще раз подчеркнем, что нет способа тестировать гипотезу эф­ фективности рынка. Можно только тестировать совместную ги­ потезу эффективности рынка и некоторой модели доходности. В данном случае, в качестве модели мы взяли уравнение (15.1) и отвергли эту совместную гипотезу.

Отметим, что последняя модель (таблица 15.3) объясняет только 1% вариации завтрашнего значения однодневной доход­ ности. Прогноз на один день вперед за границу наблюдений дает прогнозное значение однодневной доходности —0.1% и 95%-ный доверительный интервал прогноза (—4.8%, 4.6%). (В действитель­ ности следующее значение доходности, 23 июля 2002 г., было рав­ но —1.6%).

Из литературы известно (см., например, (Lo, 2000)), что пове­ дение доходностей разное для различных временных интервалов, за которые подсчитывается доходность. Для развитых рынков, как правило, корреляция доходностей положительна для корот­ ких временных интервалов (однодневные, недельные доходности) и не отличается достоверно от нуля или отрицательна для более длинных временных интервалов (доходности за месяц, квартал, год).

Выше мы рассматривали однодневные доходности индекса РТС и обнаружили их положительную коррелированность. Рас­ смотрим теперь недельные доходности. Определим недельную до­ ходность как

Оценим теперь на тех же данных уравнение (15.4), аналог урав­ нения (15.2)

Заметим, однако, что здесь присутствует так называемая «про­ блема перекрывающихся отрезков» (overlapping samples problem). Дело в том, что

поэтому rjt содержит в себе возмущения et, ... ,£*-4. Следователь­ но, при к ^ 4 недельные доходности r5it и г5>4_* содержат общие возмущения, поэтому в уравнении (15.4) можно ожидать авто­ корреляцию ошибок T)i четвертого порядка. Соответственно, для состоятельного оценивания дисперсий МНК-оценок коэффициен­ тов уравнения (15.4) следует применять стандартные ошибки в форме Ныои-Веста (см. п. 6.1).

Другая проблема состоит в том, что данные нерегулярны. Есть пропуски в данных (по праздникам биржа не работает), иногда в связи с праздниками переносятся выходные дни и суббота ста­ новится рабочим днем и т.д. Выше, когда мы рассматривали од­ нодневные доходности, мы игнорировали эту проблему и просто считали, что торговые дни идут подряд. Например, доходность в понедельник рассчитывалась как прирост индекса по сравнению с пятницей (так часто поступают, когда тонкая временная струк­ тура доходностей не является предметом исследования). Однако в построении моделей для принятия реальных финансовых ре­ шений эту нерегулярность учитывают тем или другим способом. (Можно, например, предположить, что дисперсия доходности в понедельник больше, чем в другие дни, аргументируя это тем, что на самом деле в выходные экономика не стоит на месте.)

Для начала поступим с недельными доходностями так же, как и с однодневными. Просто вычеркнем пропуски и определим «недельную» доходность как доходность за пять идущих подряд торговых дней (см. (15.3)).

Оценим уравнение (15.4), конечно, ири этом используем стан­ дартные ошибки в форме Ньюи-Веста. Результаты приведены в таблице 15.4.

Из результатов оценивания можно сделать вывод, что недель­ ные доходности некоррелированы с предыдущим значением.

Ошибки в уравнении (15.4) корреяированы (это можно заме­ тить из выборочных значений ACF остатков) и по построению имеют структуру МА(4). Учитывая эту структуру, а также нали­ чие GARCH-эффекта в уравнении, получаем, что наиболее под­ ходящей оказывается модель, приведенная в таблице 15.5.

Уравнение, оценка которого приведена в таблице 15.5, дает бо­ лее эффективный способ оценивания коэффициента 0 в уравне­ нии (15.4). На это же указывают и значительно возросшее значе­ ние логарифмической функции правдоподобия и меньшие значе­ ния критериев Акаике и Шварца (см. п. 11.4). Результат, однако, тот же: нам не удалось выявить прогнозируемость недельных до­ ходностей.

Следует подчеркнуть, что оценивание уравнения (15.4) с ARMA(1,4) моделью для ошибок является более эффективным, если именно эта модель для ошибок и есть верная модель. Как по-

называет результат оценки того же уравнения с ARMA(4,0) моде­ лью для ошибок, приведенный в таблице 15.6, выводы очень чув­ ствительны к тому, какая модель ошибок рассматривается. По­ этому при тестировании прогнозируемости доходностей при на­ личии перекрывающихся интервалов, как правило, используют стандартные ошибки в форме Ньюи-Веста (таблица 15.4) (см., например, (Eama and FVench, 1988)).

Вспомним о проблеме пропущенных наблюдений. Возможно, более корректно говорить о недельных доходностях как о доход­ ности понедельник-понедельник, вторник-вторник и т.д. Попро­ буем учесть это. Для этого заполним пропуски в данных, пользу­ ясь следующими правилами. Если пропущен четверг, заполняем его данными по предыдущему дню — среде, если пропущен по­ недельник, то заполняем по следующему вторнику, и т. п. Оценив на таким образом скорректированных данных модель (15.4), полу-

чаем результат, не слишком отличающийся от предыдущего (ср. таблицы 15.7 и 15.4):

Таким образом, мы получили положительную корреляцию од­ нодневных доходностей и статистически незначимую корреляцию недельных доходностей индекса РТС.

где через тп и Е обозначены соответственно математическое ожи­ дание и матрица ковариаций вектора г

Построение оптимального портфеля

Рассмотрим инвестора, который стремится минимизировать свой риск (variance) при заданной доходности ц (mean) портфеля, так называемого mean-variance investor. Тогда задача оптимизации портфеля математически выражается как следующая задача по­ иска минимума функции при наличии ограничений:

u/E tv —►min, при условии w'm = ц и и /г = 1. (15.8)

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим функцию Лагранжа:

Условия минимума первого порядка выглядят следующим обра­ зом:

Подставив это выражение для w в ограничения, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными Л и 6:

где А = т !Л ~1т , В = тп'Е -1г и С = г'Е -1г. Подставляя (15.12) в (15.10), получаем оптимальный портфель с ожидаемой доход­ ностью /л:

Рис. 15.2. Фронты эффективных портфелей из 3, 4 и 5 активов

соответствует операции «короткая продажа» (short sale), кото­ рая состоит в следующем. Инвестор занимает' актив i (например, у брокерской фирмы), тут же продает его, скажем, за Ха. В сле­ дующий период времени инвестор покупает актив г по цене Х \ и возвращает долг. Если цена актива понизилась, то инвестор по­ лучает прибыль Ха - Х \ > 0.

Втом случае, если «короткая продажа» запрещена, т.е. все

Щ^ 0, фронт эффективных портфелей состоит из отрезков ги­ пербол, соответствующих эффективным границам, построенных для портфелей, где некоторые w* = 0.

Перечислим некоторые свойства эффективных портфелей.

1.Портфель, составленный из эффективных портфелей, так­ же является эффективным. Любые два эффективных портфеля порождают весь фронт эффективных портфелей. Оба этих утвер­ ждения вытекают из линейной зависимости оптимального порт­ феля w от параметра д (см. (15.13)).

2. Пусть д — эффективный портфель с наименьшей дисперси­ ей. Тогда среднее, вектор весов и дисперсия его доходности равны

Эти результаты вытекают из формул (15.7) и (15.13), в частности, дисперсия доходности эффективного портфеля со средней доход­ ностью fi равна (см. упражнение 15.1)

3. Пусть есть два эффективных портфеля с ожидаемыми до­ ходностями, ц\ и дг; тогда ковариация их доходностей равна (см. упражнение 15.2)

15.4.Тест на включение новых активов в эффективный портфель

Из рис. 15.2 мы видим, что с включением в портфель новых акти­ вов фронт эффективных портфелей сдвигается влево. Это означат ет, что инвестор может сформировать эффективный портфель с той же средней доходностью /х, но с меньшей дисперсией (риском). Остается, однако, вопрос: является ли этот сдвиг статистически значимым? Имеет ли смысл инвестору включать дополнительные активы в свой портфель? В этом разделе мы приведем тест, по­ могающий ответить на этот вопрос.

Пусть есть инвестор, который уже инвестировал в множе­ ство X из п активов. Обозначим вектор их доходностей через гх = (Дх.1, ... Rx,nY- Множеству X соответствует фронт эф­ фективных портфелей. Зададимся вопросом: сдвигается ли этот фронт, если добавляется возможность дополнительного инвести­ рования в набор Y из т активов? Ниже мы используем следую­ щие обозначения, все величины, имеющие отношение к портфелю,