Начнем с нового, более современного способа изложения матери ала, рассмотренного в предыдущих разделах7.
Введем следующие обозначения. Пусть есть рынок ценных бу маг, каждая из них приносит какой-то доход в конце периода, при t = 1. Для простоты предполагается, что все бумаги бесконечно делимы. Через X будем обозначать капитал, кратное (возмож но, дробное или отрицательное) некоторого портфеля. Этой же буквой будем обозначать и валовой доход, выплату (payoff), ко торый этот капитал принесет в конце периода. Этот доход еще не известен в начале периода (в момент t — 0 ) и поэтому является случайной величиной. Обозначим через X = {X} множество всех мыслимых выплат (пространство выплат). Через р(Х) обозначим сегодняшнюю (£ = 0) цену капитала X, т. е. р — функция на мно жестве X. Сформулируем два естественных предположения:
Al) X является линейным пространством, т.е. если Хх.Хг € X, то для любых вещественных а, 6 выплата X = аХ\ + 6X2 € X.
А2) р(аХ 1+ 6X2) = ap(Xi) + Ьр(Хъ) (закон одной цены, law of one price). Другими словами, р — линейная функция на про странстве X.
Эквивалентная формулировка этого утверждения такова. Ес ли есть две выплаты, которые одинаковы при всех возможных состояниях экономики в конце периода, то их сегодняшние цены совпадают (см. упражнение 15.4). Фактически А2) означает, что мы имеем дело с рынком, уже достигшим равновесия.
Из утверждений А1) и А2) также следует, что р(0) = 0, т.е. существует выплата, равная 0 в конце периода, и ее цена должна быть равна 0 .
Поскольку линейное пространство X состоит из случайных ве личин X, то на нем определена функция Е(Х) — математическое ожидание выплаты X. Можно показать, что функция Е(ХК) удо влетворяет всем свойствам скалярного произведения в X .
ТВ этом разделе мы будем в основном следовать обозначениям из (Cohrane,
2001).
462
Гл. 15. Эконометрика финансовых рынков
В самом деле, рассмотрим для простоты случай, когда коли* чество возможных состояний экономики в момент t = 1 конеч но, s = 1 , 2 , Каждому состоянию соответствует’ его веро ятность р3 > 0. Каждая выплата полностью описывается набо ром ее значений в каждом из возможных состояний экономики: X = • • • i^s), который можно интерпретировать как век тор в евклидовом пространстве Rs . Тогда
Е(ХУ) =
s
3=1
конечно, является
скалярным
произведением векторов X =
»®s) и У
= (у1,з/2»-
-iVs)в Rs . В этом смысле мож
но говорить, что случайные величины X и У ортогональны, если
E(XY) = 0.
Определение. Рынок называется полным, если X совпадает с Rs (это определение можно распространить и на бесконечномерный случай).
Определение. Случайная величина т называется стохастиче ским дисконтирующим мноэ/сителем (stochastic discount factoi'),
если цена каждого капитала X представляется в виде р[Х) = Е(тпЛ-).
Из условий А1) и А2) следует существование стохастического дисконтирующего множителя.
Теорема. Если выполняются условия А1) и А2), то существу ет единственная выплата X* € X , такая что для любой выпла ты X € X ее цена равна
р(Х) = Е(**Х).
(15-45)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для конечномерного случая данная теорема является хорошо известной из линейной алгебры теоре мой о том, что любая линейная функция /(ж ), определенная на евклидовом пространстве, представима в виде скалярного произ ведения /(ж) = (ж, а) (см. упражнение 15.5). Обобщение набсско-
15.6. Модели оценки финансовых активов
463
печномерный случай называется теоремой Рисса о представлении линейного функционала.
Замечание. Пусть тп — некоторый другой стохастический дис контирующий множитель. Тогда имеет место разложение
т = X* + е, где для всякого X € X , Е(Ле) = 0. (15.46)
Таким образом, ортогональная проекция т х любого стохастиче ского дисконтирующего множителя m на пространство X рав на X*.
Определение. (Отсутствие арбитража8). Говорят, что в про странстве выплат X с ценой р(Х) отсутствуют арбитражные воз можности, если цена всякой выплаты X € X, такой, что X ^ 0 и Р{ЛТ > 0} > 0, положительна, р(Х) > 0.
Другими словами, отсутствие арбитража озиачает запрет на существование такого портфеля, цена которого равна 0, отсут ствует возможность отрицательных выплат, а вероятность поло жительных выплат положительна. Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Арбитраже отсутствует тогда и только тогда, ко гда существует строго положительный стохастический дис контирующий мноо/ситель т > 0.
Прежде чем перейти к моделям оценки финансовых активов, покажем, как с помощью приведенного выше формализма полу чается вывод теории фронта эффективных портфелей.
Фронт эффективных портфелей
В этой секции, для краткости, будем обозначать через R «вало вой доход», R — Х/р(Х). По определению R является элементом пространства выплат X с ценой p(R) = 1. Такие элементы про странства выплат X будем называть «доходностями» (returns).
8Современное математическое изложение теории арбитража можно найти в (Kabanov, 2001), (Ширяев, 1998)
464
Гл. 15. Эконометрика финансовых рынков
Введем следующие обозначения.
TV — пространство «избыточных выплат»,
TV = {X € X : р(Х) = 0}.
Выделим два специальных элемента пространства X :
д .
_ _ * 1
_
* *
де»
_ .
я
~р(ЛГ*)
"
Е(Л-*2)’
^
~ 1 п ‘ -
Последнее равенство означает проекцию такого элемента X , ко торый дает выплату 1 в любом состоянии в момент t — 1, на подпространство TV С X.
Для любого Де € TV имеем
Е(Д*) = Е(1 • Д€) = Е(1*« • R€) = Е ^ ’Д*).
(15.47)
Теперь сформулируем следующую, очевидную с геометриче ской точки зрения, теорему.
Теорема. Д ля любой <доходности> R существует следующее ортогональное разложение:
R = R* + 7Д** + п,
(15.48)
где 7 —число, п — ^избыточная выплата», Е(п) = 0, « все ком поненты разложения взаимно ортогональны
E(R*Re*) = Е(Д*п) = Е(Де*п) = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим R —Д*. Поскольку р(Д - Д*) = р(Д) - р(Д*) = 1 - 1 = 0, то Д - Д* е TV. Пусть iR e* есть ортогональная проекция вектора Д —Д* на вектор Д**, тогда вектор п = (Д —Д*) - 7 Де* по построению ортогонален Де*. Век тор Д* ортогонален подпространству TV, поскольку для всякого Де € Д е имеем 0 = р(Д«) = E(X*Re) = р(Л’*)Е(Д*Дв), поэтому Д* ортогонален п и Д**. Из (15.47) получаем Е(п) = Е(Д**п) = 0. Теорема доказана.
15.6. Модели оценки финансовых активов
465
Используем разложение (15.47) для подсчета ожидаемого зна чения и дисперсии любой «доходности» Я:
Е(Я) = Е(Я*) + 7Е(Я~),
сг2(Я) *г У(Я) = У(Я* + 7Де*) + V(n).
*
Мы видим, что 7 определяет однозначно ожидаемую доходность портфеля, а дисперсия доходности минимальна при п = 0. Таким образом, все эффективные портфели описываются равенством R = R* + 7Яе*, и фронт эффективных портфелей (гипербола на плоскости (a, fi)) задается парой уравнений
д = Е(Я*) + 7Е(Яе*),
(15.50)
<т2 я У(Я* + 7Яе*).
Перейдем теперь непосредственно к теме данного раздела.
Факторные модели оценки финансовых активов
Идея факторных моделей оценки финансовых активов состоит в том, что мы используем формулу р(Х) = Е (тЛ ’) для цены акти ва и постулируем вид стохастического дисконтирующего фактора т в а + b'f, где а и Ь — постоянные число и вектор, а / — век тор факторов. Выбор факторов определяет модель. Например, в качестве вектора факторов можно взять
Ri -
R f
/ =
(15.51)
R K - R f
где Я, — К активов, a R? — ставка безрискового актива.
Модель оценки финансовых активов САРМ
Рассмотрим инвестора, обладающего портфелем с выплатой X 6 X. Возьмем ортогональную проекцию ЛГ на 1 (безрисковый актив) и X*:X
X = fa + 0iX* + е,
Е(е) = 0, Е(е**) = 0.
(15.52)
466 Гл. 15. Эконометрика финансовых рынков
Имеем:
Е (Х ) = & + А Е ( Х * ) ,
р(Х) = Е(ХХ*) = E(fioX* + 0\Х*2 + е Х *) « р(Д> + /?,**),
ЩХ) = V(/3b + 0 \ Х Щ) + V(e).
(15.53)
Из (15.53) видно, что инвестор, минимизирующий риск, предпо чтет1выплату 0о + /9хЕ(Х*) выплате X.
Рассмотрим всех инвесторов j = 1 ,..., J . Пусть X* = 0Q + 0\Х* — выбор инвестора j. Сложив эти уравнения для всех ин весторов, получим уравнение для рыночного портфеля (market portfolio)
J
J
J
M =
= E #
1
+ £ $
X * = & +
<1554)
j=i
j=i
J=I
Выразим Л-* из (15.54):
* - = _§» + ± м = - £ + ^ ( . ^ - я Л + ^ я '
0i
0i
0i
0i
\p (Щ
)
0\
= a + b{RM - Rf ).
(15.55)
Таким образом, мы получили однофакторную модель вида (15.51), которая называется САРМ (Capitol Asset Pricing Model).
Выведем ее так называемое /^-представление. Пусть т — сто хастический дисконтирующий множитель. Тогда для «доходно сти» R имеем
1 = р(Я) = Е (тД ) = Cov(m, R) + Е(тп)Е(Я).
(15.56)
Поскольку по определению
л / = —— —
1
_ *
р(1)
Е ( т • 1)
Е ( т ) ’
то из (15.56) получаем
Е(Я) - Я ' =
Cov(m,Я) ш
С о » ( Я Я ) . (15.57)
15.6 Модели оценки финаисопых активов
467
Подставив в (15.57) Я"* в качестве Я, получим
Е(Ят
- R f) = - ^ i l v ( R ' n).
(15.58)
Е (т)
И, наконец, сравнивая (15.57) и (15.58), получаем
Е(Я - R f) = С- ^ ^
Д )Е(Ят - Я ') = /3Е(Я,П - Rf ).
(15.59)
Поскольку, в силу (15.54), М и стохастический дисконтирую щий множитель X* связаны линейным соотношением, мы полу чаем /^-представление САРМ-моделн
Е ( Я - Я ' ) = /ЗЕ(ЯМ - Я / ),
(15.60)
где
Cov(RM, Я)
Cov(RM - R f , R - R f )
Р ~ V{RM)
(15.61)
V(Ям - Rf)
Возвращаясь к вопросу о «нормальной» доходности при об суждении гипотезы эффективности рынка, мы видим, что в рамках САРМ «нормальной» доходностью является Е(Я) = Rf + 0E(RM - Rf). Все, что выше этой величины, считается «сверхнормальной» доходностью.
Коэффициент /3 в (15.61) совпадает с коэффициентом /3 в ре грессии
R - Rf = а + /3(Ят —Rf) + е,
(15.62)
поэтому можно тестировать САРМ, проверяя ограничение а = О
врегрессии (15.62).
Вкачестве аппроксимации рыночного портфеля (который нс наблюдаем) при тестировании обычно используют какой-нибудь индекс, включающий в себя большое количество акций, например, S&P500.
468
Гл. 15. Эконометрика финансовых рынков
Многофакторная модель оценки финансовых активов
Многофакторная модель отличается от САРМ тем, что мы посту лируем зависимость стохастического дисконтирующего множите ля не от одного, а от К факторов (15.51).
Для многофакторной модели справедливы многие выводы, полученные для одиофакторной. Например, аналог равенства
(15.59):
к
Е(Я - Rf) = Х > Е ( Я * - Rf). (15.63) fc=i
Интерпретация уравнения (15.63) такая же, как и (15.59). Запи шем (15.63) в виде
к
(15.64)
R - R f = Y , W Rb - R f ) + £ >
k=l
где слагаемое е ортогонально факторам и Е(е) = 0. Как и ранее,
V(Я - Я/ ) = V
к
+ V(e),
(15.65)
а
р(е) в Е (тг) = Е((а + b'f)e) = 0.
(15.66)
Таким образом, fa(Rk - Rf) является систематической ча стью доходности, единственным риском, который оценивается рынком. Несистематическая часть е увеличивает дисперсию до ходности, оставляя цену портфеля неизменной. Поэтому эффек тивный инвестор предпочтет е = 0.
Коэффициенты fa можно оценивать из регрессионного урав
нения
к
R - R f = а + Y^0k(Rk - Rf) + г.
(15.67)
k=l
Если модель вериа, то должно выполняться равенство а = 0.
15.6. Модели оценки финансовых активов
469
Бели применить (15.67) к активу R, цена которого еще, воз можно, не пришла к равновесной, то получим
(15.68)
Таким образом, а равно превышению действительно наблюдае мой средней доходностью актива над «нормальной» доходностью, определенной в рамках данной модели.
Можно получить оценку а, оценивая коэффициент регрессии (15.67) по предыстории. Эта оценка называется «а-коэффициепт Йенсена» (Jensen’s alpha) и служит для оценки успеха дан ного актива R на рынке. Бели а > 0, то актив показыва ет лучшую доходность по сравнению с «нормальной» доход ностью (overperformance) (и его стоит включить в свой порт фель). Значение а « 0 соответствует «нормальной» доходности, а а < 0 соответствует доходности, меньшей, чем «нормальная»
(underperfonnance).
Другой показатель, часто используемый для оценки финансо вого актива, — коэффициент Шарпа (Sharpe ratio)
(15.69)
(ср. с выражением (15.34)). Содержательный смысл его — до ля ожидаемой доходности актива, приходящейся на единицу риска. Чем выше эта величина, тем лучше. В частности, ис ходя из этого критерия, и выбирался выше тангенциальный портфель.
Приведем теперь эмпирический пример. Часто менеджеры взаимных фондов (mutual funds) утверждают, что благодаря их опыту и искусству управления портфелем фонд (и его вкладчи ки) получает доход выше, чем рыночный. Это утверждение мож но тестировать в рамках однофакторной (15.62) или многофак торной (15.67) моделей, оценивая a -коэффициент Йенсена. Ни же приведены две оценки такого рода для фонда Bull & Bear U.S. & Overseas, в качестве безрискового актива взяты 5-летние
470
Гл. 15. Эконометрика финансовых ринков
государственные облигации США, в качестве рыночных портфе лей MSCI индексы (США, Европа, Япония, мировой)9. В таблице
15.12приведен результат оценивания модели (15.62), а в таблице
15.13— результат оценивания модели (15.67). Оценивание произ водилось на интервале январь 1996 г.-декабрь 1998 г. для месяч ных доходностей.
Dependent Variable: BBUO - RFUSM
Таблица 15.12
Variable
Coefficient
Std Error
t-Statistic
Probability
const
-1.998535
0.C10759
-3.272213
0.0025
USA - RFUSM
1.135910
0.123267
9.215072
0.0000
R-squared
0.714088
DurbinWatson stat
1.811360
Dependent Variable: BBUO - RFUSM
Таблица 15.13
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Probability
coast
-2.010744
0.746870
-2.692230
0.0113
USA - RFUSM
0.034784
0.984426
0.035335
0.9720
EUROPE - RFUSM
-0.172594
0.710937
-0.242769
0.8098
JAPAN - RFUSM
-0.360471
0.337891
-1.066825
0.2943
WORLD - RFUSM
1.749027
1.939281
0.901895
0.3741
R-squared
0.761283
Durbin-Watson stat
1.805166
Как видно из таблиц, а-коэффнциент Йенсеиа отрицательный
изначимо отличается от 0. Аналогичный результат получается
идля других взаимных фондов из данного набора. Коэффици ент а получается либо отрицательный, либо незначимо отлича ющийся от 0. Таким образом, на этих данных, моделях и перио де времени утверждение менеджеров не подтверждается данны ми. Аналогичный результат дает и вычисление коэффициентов Шарпа — для фондов они оказываются ниже, чем для фондовых индексов.
0Данные содержатся и файлах data_deacription.doc, m utual_fund.xls, index.xla, in te re st.ra te s .x la .
