книги / Эконометрика. Начальный курс

практической работе, и самые слабые звенья должны быть най­ дены и укреплены. Существует ли тест, указывающий на слабое звено? Нет, такого теста не существует. Конечно, его нет, как нет и теории «снизу вверх». Поэтому и тест «слабых звеньев», как один из аспектов теории «снизу вверх», также не существует. Та­ кой тест был бы более общим, чем поиск спецификации модели, потому что он должен был бы работать в ситуации, когда модель разумна, но в данных слишком много «шума» или же неверно выбран метод оценивания.

16.8.Агрегирование

Спроблемой «слабых звеньев» связана и проблема агрегирова­ ния. Многих исследователей интересуют оценки функций пара­ метров в макроэкономических уравнениях (например, эластич­ ности цен). Очевидно, их можно получить из макромодели. Эти оценки также можно получить усреднением оценок, полученных из микроэкономических соотношений. На первый взгляд, второй подход предпочтительнее, хотя и требует больше данных. Оказы­ вается, микроподход не всегда является более предпочтительным, возможно, потому что микросоотношения могут значительно от­ личаться от макросоотпошеиий. Даже в том случае, когда микро­ подход кажется предпочтительнее, он требует больше усилий и средств. Проблема здесь в следующем: основываясь па макродап- iiM x и неполных микроданных, решить, необходимо ли собрать бо­

лее полные микроданные. Решающее правило (тест) для этой си­ туации в принципе можно построить. Его было бы полезно иметь, но пока оно не существует.

16.9.Как использовать другие работы

Теперь перейдем к весьма фундаментальному вопросу, связан­ ному с агрегированием и иерархическим моделированием в том смысле, что он касается соотношения между различными частями данных. Предположим, вы собираетесь изучать задачу взаимного

замещения между капиталом, трудом и энергией в российской промышленности. Есть три тесно связанные с предметом ваше' го исследования работы: одна с данными по Канаде, другая — по США и третья — по Нидерландам. Чем эти работы могут помочь в вашем исследовании? Как содержащуюся в них информацию можно применить для изучения российских данных? Решением мог бы быть байесовский подход, но он имеет свои трудности. К тому же большинство из нас не являются ярыми приверженцами этого подхода. Итак, что делать? Обычная процедура такова: по­ скольку мы хотим, чтобы в нашей работе было как можно больше нового, мы ие копируем в точности модель или методы оценива­ ния, а пытаемся сделать что-то немного другое. Мы упоминаем имеющиеся работы во введении, но далее мы их игнорируем, по­ ка не доходим до заключения. А тут есть два варианта: или наши результаты близки к предыдущим, или нет. В первом случае мы говорим читателю, что наша работа хорошая и основательная, подтверждающая на примере Российской Федерации то, что уже было найдено для других стран. Во втором случае, если наши ре­ зультаты не совпадают с ранее полученными, мы рады сообщить читателю, что это неудивительно, так как мы используем другой метод, а то, что было сделано другими раньше, безусловно, оши­ бочно!

16.10.Заключение

Вэтой главе мы затронули некоторые аспекты, которые кажутся нам странными или ошибочными в теории и практике экономет­ рики. Можно было бы рассмотреть и другие вопросы, например, роль парадоксов, влияние катастроф и структурных изменений (нам необходима теория, которая могла бы быть использована для объяснения того, как наши оценки и прогнозы изменятся по­ сле структурного изменения); процедура формирования данных (почему мы не предполагаем ответственности за данные, которые используем? Если нам указывают на изъян в данных, мы отвеча­ ем, что это вина не наша, а того, кто предоставил эти данные);

проблема линейности (в чем роль линейных моделей, кроме той очевидной, что они являются приближениями первого порядка к гладким нелинейным моделям?).

Эконометрика имеет великолепные достижения, и экономет­ рическая теория быстро развивается вширь и вглубь. Тем нс ме­ нее, к счастью, еще многое осталось сделать.

7. а(а + b) — аа + ab для всех а € R и а, 6 € L.

8 . Оа = 0 для всех а € L.

9.1а = а для всех а € L.

2.Векторное пространство R n

Элементами (точками, векторами) вещественного векторного про­ странства Я" являются векторы-столбцы, состоящие из п веще­ ственных чисел

«1

<*2

операции сложения и умножения на число определены следую­ щим образом:

Нулевой вектор имеет все координаты, равные 0.

Упразднение. Проверьте, что таким образом определенное мно­ жество в самом деле является векторным пространством, т. е. удо­ влетворяет аксиомам (1)-(9) векторного пространства.

3.Линейная зависимость

Определение. Векторы a j , ..., а*, называются линейно независи­ мыми, если из того, что

следует, что все а« = 0.

Векторы а ь ... ,a/t называются линейно зависимыми, если су­ ществует набор a,, i = 1, ... , к, где хотя бы одно а* отлично от О, удовлетворяющий условию (ЛА.1).

4.Линейное подпространство

Определение. Линейным подпространством линейного про­ странства L называется подмножество К векторов пространства L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т. е. из того, что векторы а,Ь € К , следует, что а + Ь и аа принадлежат К.

Пример. Рассмотрим множество векторов из Я”, состоящее из таких векторов, у которых последние п — к координат равны 0 . Нетрудно проверить, что это множество является линейным под­ пространством пространства Я”, совпадающим с Я*.

Определение. Множество всех линейных комбинаций векторов ai,...,afc € L 0401 + «2^2 + ••• + «fcOfc, «i € Я называется

пространством, порожденным векторами a j , ... , а*.. (Проверь­ те, что оно является линейным подпространством векторного про­ странства L.)

Бели линейное подпространство К векторного пространства L не совпадает с ним, то его часто называют гиперплоскостью.

5.Базис. Размерность

Определение. Набор векторов а*,... , a„ € L называется базисом пространства L, если выполняются два условия:

1. векторы a i , ... , a n линейно независимы,

2.пространство, порожденное векторами a i , . . . , On, совпадает с L.

динаты, кроме г-й, равны 0, а г-я координата равна 1, является базисом в пространстве Я”.

Для записи таких векторов удобно использовать символ Крочекера

если г = 3,

(ЛА.2)

если t Ф j.

Тогда векторы из предыдущего примера можно записать как

e-i =

Предложение. Все базисы векторного пространства L содержат одно и то же число векторов, которое называется размерностью dim(L) векторного пространства L.

Пример. Размерность Я” равна dim (Я” ) = п.

Предложение. Любой вектор а линейного пространства можно

единственным способом разлоокить по базису, т. е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: а = a 1ei+ Q 2^2 +

----1- а пеп, а 4 € R.

6.Линейные операторы

Определение. Линейным оператором называется отображение векторного пространства L в векторное пространство М , A: L —* М, которое инвариантно относительно операций сложения векто­ ров и умножения вектора на число:

1. -4(а + 6 ) = -4(a) + .4(6) для всех а, 6 € L,

2. .Д(аа) = аА(а) для всех а € Я, а € L.

Образом оператора A: L —» М называется множество Im(.4), состоящее из всех векторов -4(х), х € L. Im(-4) являегся линейным подпространством пространства М .

Ядром оператора A: L —* М называется множество Кег(Л), состоящее из всех векторов х € L, таких, что .А(х) = 0. Кег(.Д) является линейным подпространством пространства L.

7.Матрицы

Линейный оператор полностью определяется своими значения­ ми на базисных векторах. В самом деле, любой вектор х, при­ надлежащий п-мерпому векторному пространству X, можно раз­ ложить по базисным векторам х = + « 2^2 + • • • а„еп, oti € R. Тогда, используя определение линейного оператора, полу­ чаем: А{х) = a iA (e 1) + a2A{e2) -I----- 1-а пА (еп)-

Каждый из п векторов «4(e_,), j = 1,... ,п, также можно раз­ ложить по базису li, г = 1, . . . , т (в тп-мериом пространстве М):

■^(ej) = zLi=l atjX-

Таким образом, линейному оператору А и выбранным базисам {cj}, {Ц} в пространствах X, М соответствует таблицатхп чисел

Определение, т х п матрицей называется прямоугольная табли­ ца чисел (ЛА.З), где первый индекс означает номер строки, а вто­ рой — номер столбца.

Очевидно, верно и обратное: каждой т х п матрице соответ­ ствует линейный оператор, отображающий n-мерное векторное пространство в m-мерное векторное пространство (предполагает­ ся, что базисы в обоих пространствах фиксированы).

Матрица п х 1 называется вектором-столбцом; матрица

1 х п — вектором-строкой; 1 x 1 матрица называется скалярной

матрицей. Далее, если не оговорено противное, мы будем везде рассматривать вектор как вектор-столбец.

Квадратная матрица, в которой все элементы, не лежащие на

главной диагонали, равны 0, называется диагональной:

Диагональная матрица / п = (<5ц), у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной (индекс п здесь обозна­ чает размерность матрицы и может быть опущен).

Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из одних нулей.

8. Операции с матрицами

Определение операций с матрицами (сложение, умножение и т. п.) следует из определения операций с линейными операторами.

Определение. Две матрицы А и В равны, если совпадают их раз­ мерности и равны их соответствующие элементы.

Определение. Суммой двух матриц А = (<ц^) и В = (bij) раз­ мерностей т х п называется матрица А + В = С = (с^-) размер­ ности т х п е элементами c,j = atj+bij, т. е. при сложении матриц складываются соответствующие элементы.

Определение. Произведением т х п матрицы А = (ау) на число

а € R называется матрица а А = С = (су) размерности т х п с элементами су = а ау , т.е. при умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.

Предложенья. Операция сложения матриц удовлетворяет следу­ ющим свойствам:

А + В = В + А,

{А + В ) + С = А + (В + С),

(JIA.4)

а(А + В ) = а А + а В ,

А + 0 * А.

Определение. Транспонированной матрицей называется матри­ ца, у которой строки и столбцы поменялись местами, а именно для m x n матрицы А = (оу) транспонированной является n х m матрица А! = (а^), где а'^ = ац. Например,

и В размерности п х fc, т.е. число столбцов у матрицы А рав­ но числу строк у матрицы В . Произведением двух матриц А , В

называется ту. к матрица С = А В , элементы которой определя­ ются следующим образом:

П