книги / Эконометрика. Начальный курс

...,£„ — независимые стандартные нормальные случайные вели­ чины. Распределение случайной величины

t(n) =

называется распределением Стыодента или t-распределением с п степенями свободы. Плотность распределения величины i(n) задается формулой

щ , ... ,t]n — совокупность независимых стандартных нормальных случайных величин. Распределение случайной величины

называется распределением Фишера или F -распределением с

(т,п ) степенями свободы. Плотность распределения величины F(m, п) задается формулой

Распределения х2, Стьюдента и Фишера примеияются в ста­ тистике при построении доверительных интервалов для оценива­ емых параметров и при проверке гипотез.

В некоторых областях математической и прикладной стати­ стики используются нецентральные аналоги распределений х2» Стьюдента и Фишера.

10. Нецентральное х2-распределение. Пусть Х \ , . . . , Х п — неза­ висимые нормальные случайные величины: Xi ~ N(mi, 1). Тогда говорят, что случайная величина У = X2 4-... + X 2 имеет нецен­ тральное ^-распределение. Это распределение зависит только от двух параметров- п — число степеней свободы и А = тн2 — параметр сдвига (параметр нецептральности). Это распределение обозначается х2(я>А).

Покажем, что распределение х2(п>^) действительно зависит только от двух параметров. Обозначим через m = (mi, . . . , m,,)' — вектор средних значений и через ||тп|| — его длину. Пусть Q — ор­ тогональная матрица, у которой первая строчка является векто­ ром т'/ЦтпЦ, а остальные дополняют вектор тп'/ЦтЦ до оргонормированного базиса. Обозначим вектор, состоящий из случайных величин Xi, через х = (Х \ , . .. , Х п)', и пусть z = Q x его линейное преобразование; z — {Zi , . .. , Zn)'. В силу ортогональности матри­ цы Q имеем У = X *+.. .+Х 2 = ||*||2 = ||*||2 = Z$+.. .+Z2. В силу (приложение МС, н.4, N5) получаем, что Z \, ... ,Zn — независи­ мые нормальные случайные величины, такие что Z\ ~ N (||m ||,l) и Zi ~ N(0,1), г = 2,...,п . Отсюда следует, что распределение зависит только от ||т ||.

Нетрудно видеть, что при А = 0 нецентральное распределение Х 2( п , А) совпадает с распределением х2(п)-

Распределение х2(п >А) обладает следующими свойствами:

1)Пусть У ,Уг — две независимых случайных величины с рас­ пределениями У ~ Х2(га»,Aj), г = 1,2, тогда случайная вели­ чина У = У + Уг имеет тоже нецентральное х2-распределение:

У~ Х2(п>^)» где А = Ai + А2 и п = пх + «2-

2)Пусть У ~ х2(п»А), тогда Е(У) = п + Аи У(У) = 2n + 4А.

распределением Стыодента с п степенями свободы и параметром сдвига т называется распределение случайной величины

ч/ f W

где случайные величины X и У независимы и имеют распределе­ ния соответственно N(m, 1) и х2(п)-

Плотность нецентрального распределения Стыодента задается

пределением Фишера ^(пьПз.АьАз) со степенями свободы щ и П2 и параметрами сдвига Ai и А2 называется распределение слу­ чайной величины

У2/п 2'

где Yi и Y2 — независимые случайные величины с распределени­ ями соответственно x2(ni,Ai) и x2(n2iА2).

Обычно в приложениях используется распределение с А2 = 0. При «1 > 4 математическое ожидание и дисперсия распределения jP(nj, «2, Aj,0) равны:

E(Z) = та2(щ + AQ

N4) Если z — х — нормальный вектор и его компоненты х и

У

у некоррелированы, то они независимы.

N5) Пусть В: Rn —>Rk — линейное преобразование простран­ ства Д* в Rk, В — его матрица и I — произвольный вектор в Rk. Тогда если х ~ N (m , Е), то случайный вектор у — Вх+1 является нормальным с параметрами Вт + 1 и B S B '. (Преобразование пространства Д” в R k вида у — В х +l, яв­ ляющееся композицией линейного преобразования В и па­ раллельного переноса на вектор I, называется аффинным преобразованием.)

В частности,

а) линейная комбинация компонент гауссовского вектора есть гауссовская случайная величина;

б) ортогональное линейное преобразование стандартного нормального вектора есть стандартный нормальный вектор.

Пусть х ~ ^ (m , Е). Поскольку матрица Е симметрична и неотрицательно определена, то, как известно (приложение ЛА, п. 15), все ее собственные значения А», г = 1 ,..., п, неотрицатель­ ны и существует ортогональная матрица Р , такая что Л = Р 'Е Р , где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят числа А*, ъ = 1,..., п. Тогда вектор з = Р 'х —Р 'т в си­ лу N5) является гауссовским, а из (МС.7) следует, что Es = 0 и V(s) = Л. Это означает, что компоненты вектора s некоррелиро­ ваны, а в силу N4) и независимы. Таким образом,

х = P s + m ,

где матрица Р ортогональна, а вектор s имеет1пулевое среднее и независимые компоненты. Обозначим через Л 1/2 диагональную матрицу, полученную из Л извлечением квадратных корней из ее элементов, и пусть е — стандартный нормальный вектор. Тогда, вновь используя (МС.7), получаем, что вектор у = Р А 1/2е + т имеет среднее т и матрицу ковариаций Е, т. е. совпадает по рас­ пределению с вектором х. Итак,

N6) Любой гауссовский вектор может быть получен аффинным преобразованием из стандартного гауссовского вектора и ор­ тогональным аффинным преобразованием из вектора с неза­ висимыми компонентами.

Из (МС.9) и N4) вытекает следующее свойство:

N7) Пусть е — стандартный n-мерный нормальный вектор и

х = А е + а , у = B e + Ь, где А: Л” —►ДО, В : Rn —* R? —

некоторые линейные преобразования и а € ДО, Ь € ДО — про­ извольные (неслучайные) векторы. Тогда Cov(x, у) = А В ', в частности, векторы х и у независимы тогда и только тогда, когда А В ' = О.

Пусть М — идемпотентная п х п матрица, rank(M ) = г (см. приложение ЛА, п. 16), a s - стандартный n-мерный гауссовский вектор. Как известно (см. приложение ЛА, п. 13, п. 16), матрицу М можно представить в виде М = (УАО, где О — ортогональная матрица, а А — диагональная матрица, на главной диагонали ко­ торой расположены единицы и нули, причем число единиц равно рангу М . Рассмотрим случайную величину х2 = s'M e . Имеем

X2 = е'М е — е'О'АОе = (Ое)'АОе = s'As,

где в силу N5) вектор s является стандартным гауссовским векто­ ром. Отсюда следует, что х2 представляет сумму квадратов неза­ висимых стандартных нормальных случайных величии в количе­ стве, равном рангу матрицы М . Таким образом,

N8) Случайная величина х2 = е'М е имеет распределение х2(г)> где г = rank(M).

Аналогичным образом устанавливается следующий резуль­ тат.

N9) Пусть х ~ N (m , Е) и п х п матрица Е невырождена. Тогда случайная величина (х —т ) /Е -1(х —т ) имеет распределе­ ние х2{п).

N12) Случайная величина

(X —т)у/п

/ •' A £ T - i № - X ) 2

имеет распределение Стьюдента с п —1 степенями свободы. Свойства N10)-N12) широко используются в статистике при

построении интервальных оценок неизвестных параметров и про­ верке статистических гипотез.

Пусть я — «С — нормальный вектор, Бх = т х , Еу = т у , и

пусть матрица V(y) невырождена.

N13) Условное распределение х при условии у = у является нор­ мальным. При этом

Е(х | у = у) = Cov(x,y)[V(y)]-‘(y - т у) + т х .

Иными словами, функция регрессии х на у является линей­ ной.

5.Закон больших чисел. Центральная предельная теорема

Результаты, касающиеся асимптотического поведения последова­ тельностей случайных величин, в теории вероятностей принято называть предельными теоремами. Простейшими из них являют­ ся закон больших чисел (ЗБЧ) и центральная предельная теорема (ЦПТ). Введем необходимые понятия.

и числовая последовательность Xi(w),X2(w),••• сходится к чис­ лу Л(ы).‘

‘В общепринятом определении требуется, чтобы сходимость имели место ие для каждой случайной реализации и, а для всех и» из множества полной вероятности. Однако определение этого понятия потребовало бы изложения более общей математической теории меры.

Действительно, полагая в (МС.11) X = (У — Е(У))2, с = е2 имеем:

Р(|У - ЕУ| > е) = Р((У - ЕУ)2 > £2) ^

Пусть X i, Х 2 , . . . — последовательность независимых одинако­ во распределенных случайных величин, E (X i) = m, V (X ,) = о 2. Обозначим

t=i

Закон больш их чисел в форме Чебышева. Имеет место равенство

У— ~ ^ п1получаем:

п

при любом е > 0.

С помощью более сложных рассуждений можно установить

следующий фундаментальный результат.

Ц ент ральная предельная теорема. Последовательность Г,,Т2>... сходится по распределению к стандартной нормальной