книги / Эконометрика. Начальный курс

Как видно из примера, вектор ЛЬ является линейной комби­ нацией столбцов матрицы А с коэффициентами Ь,.

Аналогично при умножении матрицы А на вектор-строку (сле­ ва) Ь'А мы получаем вектор-строку, являющийся линейной ком­ бинацией строк матрицы А с коэффициентами Ь*.

Предложение. Свойства операции умножения матриц:

A I = A , I A — А (I — единичная матрица подходящей раз­ мерности),

А {В + С) = А В + А С , (А + В )С = А С + В С , А (В С ) = (А В )С ,

(АВУ = В ’А ’, (А В С )' = С В 'А ', АО = 0.

9. И н вари ан ты м атриц: с л е д , о п р ед ел и т ел ь

В дальнейшем часто используются две числовые функции, опре­ деленные только для квадратных матриц: след матрицы и опре­ делитель (детерминант) матрицы.

Определение. След (trace) матрицы равен сумме ее диагональ­ ных элементов

(ЛА.5)

Предложение. Свойства следа матриц:

tr(^ B ) = Сг(ВЛ),

tr (1п) = п,

tr(A') = tr (A),

tr(A + B) = tr(.A) + tr(B).

Если а — вектор-столбец, то tr(aa') = tr(a'a) = а'а (а'а — скалярный квадрат вектора а).

10.Ранг матрицы

Пусть А — т х п матрица (не обязательно квадратная).

Определение. Рангом по строкам матрицы А называется раз­ мерность линейного подпространства в Rn, порожденного т век­ торами-строками матрицы А.

Определение. Рангом по столбцам матрицы А называется раз­ мерность линейного подпространства в Rm, порожденного п век­ торами-столбцами матрицы А.

Определение. Рангом по минорам матрицы А называется наи­ больший порядок ненулевого минора матрицы А . (Минор порядка к матрицы — определитель квадратной к х к матрицы, получа­ ющейся из исходной матрицы вычеркиванием некоторого количе­ ства строк и столбцов.)

Предложение. Все три приведенных выше определения дают од­ но и то же число, называемое рангом матрицы: rank(A).

Предложение. Свойства ранга матрицы: гапк(Д) < min(m,n),

rank(AB) < min(rank(i4),rank(£)),

если В — п х п квадратная матрица ранга п, то гапк(Д £) = гапк(.А),

если В — т х т квадратная матрица ранга т, то rank(В А ) = гапк(.А),

гапк(Д) = гапк(АА') = гапк(Д/Д), причем А А ' —т х т мат­ рица, а А ' А — п х п матрица.

Замечание. Пусть А — линейный оператор A: Rn —> Rm, со­ ответствующий т х п матрице А. Образом 1т(Д) оператора А называется множество всех векторов из Rm, которые являются образами векторов из Rn при отображении А. Тогда размерность образа оператора равна рангу матрицы: dim(Im(.4)) = rank(А).

11.Обратная матрица

Пусть А — квадратная п х п матрица.

Определение. Матрица А называется невырожденной, если она имеет максимальный возможный ранг: rank(A) = п.

Определение. Матрицей, обратной к матрице А , называется матрица, обозначаемая А -1, такая, что А А -1 = A -1 A = I.

Предложение. Для всякой невырожденной квадратной п х п

матрицы А существует (единственная) обратная матрица А-1 .

Предложение. Обозначим через a,J элементы обратной матрицы А~1. Тогда

■И (-1)**|М л|

И '

где M ij — матрица, получающаяся из А вычеркиванием г-й стро­ ки и j-го столбца.

Примеры.

(Отметим, что в последней формуле все матрицы квадратные и невырожденные.)

Выберем базис в R n и перейдем от операторов к матрицам. Од­ нородная система уравнений имеет нетривиальное решение, если определитель системы равен 0: \А —А/| = 0.

Заметим, что определитель |А — А/| является многочленом степени п от А.

Определение. Уравнение |А —А/| = 0 называется характери­ стическим уравнением матрицы. Корнями этого многочлена яв­ ляются характеристические числа матрицы (или соответствую­ щего оператора — ниже будет показано, что при другом выборе базиса характеристический многочлен тот же).

Предложение. Пусть есть два базиса в Rn: {е*} и {lj}. Обозна­ чим через С = {ctj} матрицу перехода от базиса {lj} к базису {е*}: lj = c3je 3. Пусть линейному оператору А соответствуют матрицы А и В в базисах {ej} и {lj} соответственно. Тогда

Определение. Матрицы А я В , для которых существует' матрица С , такая что выполняется (ЛА.9), называются подобными.

Вычислим характеристический многочлен оператора А в ба­ зисе {lj}.

det(B -A J) = det{C~lA C - XI) = det{C~lA C - XC~lIC )

= det{C~l (A - XI)C) = det(C -1)det(.A - AJ)det(C)

= det(.A - XI) det(C) det(C )-1 = det(A - XI).

Таким образом, характеристический многочлен зависит толь­ ко от линейного оператора и не зависит от выбора базиса. Сфор­ мулируем этот результат иначе: характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Характ» ристический многочлен — многочлен с вещественны­ ми коэффициентами — имеет не более п вещественных корней (часть корней могут быть комплексными).

Предложение. Разным собственным числам соответствуют ли­ нейно независимые собственные векторы.

Предложение. Пусть характеристический многочлен матрицы

А имеет п различных вещественных корней. Тогда матрица А может быть представлена и виде

где матрица Л — диагональная, а матрица С — невырожденная. В самом деле, так как все п собственных чисел разные, то им соответствуют п линейно независимых собственных векторов, об­ разующих базис. Теперь воспользуемся (JIA.9), где С — матрица перехода к базису, состоящему из собственных векторов, в кото­

ром матрица оператора, очевидно, имеет диагональный вид.

14.Симметричные матрицы

Предложение. Для любой матрицы А матрица А 'А — симмет­ ричная.

В самом деле, {А!А)' - А (А ')' = А 'А .

Предложение. Симметричная п х п матрица А имеет п собствен­ ных чисел (некоторые из них могут совпадать), которым соответ­ ствуют п собственных векторов ci,...,Cn, которые могут быть выбраны попарно ортогональными. (Собственные векторы, соот­ ветствующие разным собственным значениям симметричной мат­ рицы, всегда ортогональны.)

Более того, поскольку собственный вектор определяется с точ­ ностью до коэффициента пропорциональности, то можно норми­ ровать собственные векторы {с*} так, что они будут ортонормированной системой, т. е. попарно ортогональны и единичной длины:

Act = AjCj, ejej = 0 , с-с, = 1, i ф j.

Тогда (ЛА. 10) матрица А приводится к диагональному виду при помощи матрицы О, столбцы которой являются векторами с,.

где на диагонали матрицы Л стоят собственные числа матрицы А .

Определение. Матрица, столбцы которой составляют ортонормированную систему векторов, называется ортогональной.

Предложение. Ортогональная матрица удовлетворяет соотно­ шению:

О'О = I.

Предложение. Если О — ортогональная матрица, то О ' = О -1 .

Предложение. Ортогональная матрица имеет определитель, равный +1 или -1 .

Предложение. В ортогональной матрице строки также образуют ортонормированную систему векторов.

Предложение. Симметричная матрица А может быть приведена к диагональному виду при помощи ортогонального преобразова­ ния О

Предложение. Соотношение (ЛА.12) можно записать в виде раз­ ложения симметричной матрицы А на ортогональную и диаго­ нальную:

В разложении (ЛА.13) диагональная матрица А состоит из собственных значений матрицы А.

15.Положительно определенные матрицы

Определение. Симметричная п х п матрица А называется поло­ жительно определенной, если для каждого ненулевого вектора х выполняется неравенство

Определение. Симметричная п х п матрица А называется неотрицательно определенной, если для каждого вектора х вы­ полняется неравенство

Пример. Матрица А 'А неотрицательно определена для любой матрицы А . В самом деле, для любого вектора х

х \А 'А ) х = (Ах)'(Ах) = у 'у > 0.

Здесь вектор у = А х , а скалярный квадрат любого вектора, ко­ нечно, неотрицателен.

Для симметричных матриц можно ввести отношение порядка.

Определение. Будем говорить, что А ^ 0, если А — неотрица­ тельно определена, и А > 0, если А положительно определена. Будем говорить, что А ^ В (А > В ), если матрица А —В неотри­ цательно определена (положительно определена).