книги / Эконометрика. Начальный курс

то мы должны отвергать Но при значении t-статистики меньшем, чем -2.89.

Таким образом, используя стандартную процедуру, мы ча­ сто (ошибочно) отвергаем верную гипотезу наличия единичного корня.

Удивительным фактом является то, что критические значе­ ния, указанные в таблице 11.1, остаются справедливыми, если в правые части регрессий (11.48)—(11.50) добавить слагаемые вида Дуе_1, Дуе_2, — Это позволяет тестировать наличие единично­ го корня в AR моделях порядка больше первого. Тест, соответ­ ствующий уравнению с легированными значениями приращений Дуг_1, Дуе_2, ... в правой части, называется расширенным тестом Дики-Фуллера (augmented DF test, ADF).

Бели, например, в уравнении (11.46) есть один единичный ко­ рень, то Ai = 1 и IA2I < 1, а из 1 + Аг = ф\ и 1 • Аг = —фг следует Ф\ + Фг = 1 и \Фъ\ < 1. Уравнение (11.46) может быть переписано

Поэтому гипотеза наличия единичного корня может быть тести­ рована в духе процедуры Дики-Фуллера, описанной выше.

Бели порядок процесса AR(p) заранее неизвестен, то реко­ мендуется включать возможно большее количество лагов, чтобы устранить возможную автокорреляцию ошибок. Дело в том, что в ADF тесте предполагается, что ошибки являются белым шу­ мом и критические значения, указанные в таблице 11.1, справед­ ливы только при этом условии. Однако включение чрезмерного количества лагов снижает мощность теста. Чтобы определить ко­ личество лагов, которое надо включить в уравнение, можно ис­ пользовать критерии выбора порядка ARMA модели, описанные ниже, или статистическую значимость дополнительной лаговой переменной. Заметим, что тест Дики-Фуллера включен во все со­ временные эконометрические пакеты.

Мнимая регрессия

В предыдущем разделе мы рассматривали проблемы, возникаю­ щие в авторегрессионных процессах с единичными корнями. Рас­ смотрим еще один пример регрессии, в которой участвуют неста­ ционарные временные ряды. Возьмем два независимых случай­ ных блуждания:

Так как £i и независимы, то между х и у нет ничего общего. Предположим, что исследователь не знает механизмов, порожда­ ющих х и у, и оценивает регрессию:

В работе (Granger, Newbold, 1974) методами имитационного мо­ делирования показано, что если тестировать значимость зависи­ мости (11.54) при помощи t-статистики, то очень вероятно, что будет получен ложный вывод о наличии значимой связи.

Причиной этого является то, что ошибка et является нестаци­ онарным процессом и поэтому (11.54) не удовлетворяет условиям классической регрессионной модели (постоянство дисперсии оши­ бок). В работе (Philips, 1986) показано, что асимптотическая тео­ рия для МНК-оценок уравнения (11.54) в этом случае совершенно другая. Например, t-статистика не имеет предельного распределе­ ния и расходится при п —» оо. Поэтому, чем больше выборка, тем больше шансов прийти к ложному заключению. Такая ситуация называется «мнимая регрессия» (spu riou s reg ressio n ). На практи­ ке признаками мнимой регрессии являются высокое значение R 2 и малое значение статистики Дарбина-Уотсона DW.

Пример. Мнимая регрессия.

Сгенерируем два ряда наблюдений в соответствии с (11.53), где Уо = ®о = 0 и о\ = 02 = 1. Ниже приведены результаты регрессии для 300 наблюдений.

В скобках указаны t-статистики. В этом примере мы видим доволь­ но типичное поведение МНК-оцеиок в случае мнимой регрессии.

Коинтеграция

Предыдущий пример показывает опасность, которая может встре­ титься в случае регрессии нестационарных рядов. Однако не все­ гда дело обстоит столь безнадежно. Одними из первых подход к регрессии нестационарных рядов предложили Энгель и Гранжер (Engel and Granger, 1987).

Предположим, у нас есть нестационарный ряд x t. Возьмем его первые разности A x t = xt —xt-i- Бели ряд A x t является стаци­ онарным, то Х( называется интегрируемым порядка 1 (integrated order 1), 7(1). Соответственно, стационарный ряд А х* называет­ ся 7(0). Вообще, ряд называется интегрируемым порядка к, 1(к), если он и его разности до порядка к —1 включительно нестацио­ нарны, а к-я разность стационарна.

Пусть теперь у нас есть два 7(1) ряда, xt и yt- Пусть, кроме того, их линейная комбинация yt — fa t является стационарной, 7(0). В этом случае ряды xt и yt называются коинтегрированными (cointegrated), а вектор (1, -/?)' называется коинтегрирующим вектором. Оказывается, в этом случае можно получить состоя­

Асимптотические свойства оценки будут при этом другие. Ес­ ли обычно y/n(f3—f3) имеет предельное нормальное распределение, то в данном случае п(/3 - (3) имеет некоторое предельное распре­ деление. Такая оценка называется суперсостоятельиой, так как сходится к истинному значению быстрее, чем в случае классиче­ ской регрессии.

Таким образом, чтобы проверить наличие коинтеграции, на­ до рассмотреть остатки et, полученные при МНК-оценивании коинтегрирующего уравнения (11.55). Нулевой гипотезой является отсутствие коинтеграции, т.е. наличие единичного корня в ряде остатков et. Однако, как показано в работе (Philips and Ouliaris,

1990), к проверке ряда et нельзя применять DF или ADF тесты. Дело в том, что МНК «выбирает» остатки так, чтобы они имели наименьшую возможную вариацию, поэтому, даже если перемен­ ные не коинтегрированы, МНК делает остатки «похожими» на стационарные. Поэтому при использовании ADF теста гипотеза нестационарности отвергается слишком часто (и соответственно ошибочно принимается гипотеза наличия коинтеграции). В ра­ ботах (MacKinnon, 1991; Davidson and MacKinnon, 1993) имита­ ционным методом получены уточненные по сравнению с работой (Philips and Ouliaris, 1990) асимптотические критические значе­ ния ^-статистики, подходящие для данного случая. Эти значения приведены в таблице 11.2.

Таблица 11.2

Источник: (Davidson and MacKinnon, 1993 .

В первой графе таблицы приведено количество экзогенных пе­ ременных в уравнении коинтеграции (в случае уравнения (11.55) число переменных равно двум). Во второй графе приведен тип те­ ста: в уравнение, тестирующее наличие единичных корней в остат­ ках, могут быть включены константа и временной тренд (аналог уравнений (11.49) и (11.50)).

Понятие коиитегрируемости связано с концепцией долгосроч­ ного динамического равновесия (long-run equilibrium). Если х* и yt коинтегрированы, то yt и ($xt содержат общую нестационарную

11.4.Модели Бокса-Дженкинса (ARIMA)

Впредыдущих разделах этой главы мы обсуждали применение методов регрессионного анализа к различным моделям, включа­ ющим в себя несколько временных рядов. В данном разделе мы рассмотрим модели временных рядов в узком смысле, т. е. модели, объясняющие поведение временного ряда, исходя исключительно из его значений в предыдущие моменты времени.

Как мы видели выше, статистические свойства стационарных и нестационарных временных рядов существенно отличаются, и для их моделирования должны применяться различные методы.

Вданном разделе мы в основном рассмотрим частный случай мо­ дели Бокса-Дженкинса, ARMA модели для стационарных вре­ менных рядов. Почему большое внимание уделяется именно мо­ делям стационарных временных рядов? Дело в том, что многие временные ряды могут быть приведены к стационарному ряду по­ сле операций выделения тренда, сезонной компоненты или взятия разности.

Тренд, сезонность и взятие разности

Рассмотрим различные примеры нестационарных временных ря­ дов.

Тренд

Рассмотрим следующий временной ряд:

Здесь ряд yt представлен в виде композиции детерминированной составляющей а + (3t (линейный тренд) и случайной составляю­ щей £(, являющейся стационарным временным рядом с нулевым средним. Часто встречаются другие примеры тренда: квадратич­ ный, а + fit + т<2; экспоненциальный ае^1 и т. п.

Для того чтобы выделить тренд в модели (11.56) (и ей подоб­ ных), мы можем применить обычную технику оценивания пара­ метров регрессионных уравнений, считая t независимой перемен­ ной. После этого мы получим ряд остатков, для описания которого можно будет применить модели стационарных временных рядов.

Сезонность

В экономических данных часто встречается сезонная компонента. Например, в квартальных данных может наблюдаться сезонная компонента с периодом 4:

Здесь ряд yt представлен в виде композиции периодической детерминированной составляющей S(t) (сезонная компонента) и случайной составляющей е(, являющейся стационарным времен­ ным рядом с нулевым средним. Сезонную компоненту S(t) можно представить в виде S(t) = fi\du + + fod3t + /М « , где <k — фиктивные (бинарные) переменные для кварталов (п. 4.2). Для выделения сезонной компоненты мы можем применить методы оценивания параметров регрессий к уравнению:

Часто модель (11.58) представляют в виде регрессии с ограниче­ нием, включая в нее константу:

yt = « + + (hd>3t +0id4t + £,,, ^ Д = 0. (11.59)

В (11.59) коэффициенты Д представляют отклонение от среднего за год уровня в квартале г.

Как и в случае выделения тренда, методы моделирования ста­ ционарных временных рядов применяются далее к ряду остатков регрессии (11.58).

Типичные примеры графиков нестационарных временных ря­ дов приведены на рисунках 11.1-11.4.

В случае наличия сезонной компоненты (11.57) устранить по­ следнюю можно при помощи оператора взятия сезонной последо­ вательной разности Д4yt = (1 —L A)y t = yt —j/t—4- (Конечно, если период сезонной компоненты равен 12, что может случиться для месячных данных, то надо применять оператор Д 12)

Заметим, что применение оператора последовательной разно­ сти не обязательно приводит нестационарный ряд к стационарно­ му. Например, процесс

не является стационарным: вычисляя дисперсию от обеих частей (11.61), получаем V(yt) = p2V(yt- 1) + а2, и если бы было вы­ полнено условие стационарности V(yt) = V(t/t_i), то V(yt) = а2/ (1 - 02) < 0. Полученная отрицательная дисперсия приводит нас к выводу, что V(yt) Ф V(yt- 1), т.е. ряд (11.61) не является стационарным. Применив к (11.61) оператор разности, получим

то есть процесс по-прежнему остался нестационарным. Ситуация даже осложнилась наличием в (11.62) корреляции ошибок. По­ вторное применение оператора разности также не приводит к ста­ ционарному ряду.

Таким образом, применяя выделение тренда, сезонности и/или оператор последовательной (и сезонной) разности, часто можно получить из исходного временного ряда стационарный.

Остается вопрос, как по имеющимся наблюдениям определить, является ли ряд стационарным.

Проверка на стационарность

Первое, что следует сделать, — посмотреть на график полученных наблюдений. Возможно, он содержит очевидный на глаз тренд или периодичную компоненту (сезонность). Также возможно, что разброс наблюдений возрастает или убывает со временем. Это может служить указанием на зависимость среднего или соответ-

ственпо дисперсии от времени. В обоих случаях ряд будет, скорее всего, нестационарный.

Второе — построить график выборочной автокорреляционной функции (ACF) (ср. (11.42)), или коррелограмми (correlogram)

E t=\(yt - y r

Коррелограмма стационарного временного ряда «быстро убыва­ ет» с ростом к после нескольких первых значений. Если же гра­ фик убывав!' достаточно медленно, то есть основания предполо­ жить нестационарность ряда. Кроме ACF, можно также постро­ ить график частной автокорреляционной функции, PACF, кото­ рая также должна быстро убывать для стационарного процесса.

Частная автокорреляционная функция (PACF)

В главе 4 (п. 4.3) было введено понятие частного коэффициента корреляции. Содержательно частная автокорреляционная функ­ ция PACF(k) (partial autocorrelation function) есть «чистая корре­ ляция» между yt и yt-k при исключении влияния промежуточных

значений yt- i, Vt-2, • • •, Уе-fc+i-

Если применить процедуру вычисления выборочного частно­ го коэффициента корреляции (см. п. 4.3), то оказывается, что в случае стационарного ряда yt значение выборочной частной авто­ корреляционной функции PACF(fc) вычисляется как МНК-оценка последнего коэффициента fa в AR(fc) регрессионном уравнении:

На рисунках 11.5-11.8 приведены автокорреляционные и част­ ные автокорреляционные функции нестационарных временных рядов, представленных на рисунках 11.1-11.4.