книги / Эконометрика. Начальный курс

Упражнения

7.1.Проверьте формулу (7.8).

7.2.Докажите равенство (7.9).

7.3.Имеется у = Х(3 + е — классическая регрессионная модель (у —

п х 1 вектор, X — п х к матрица, е — п х 1 вектор ошибок, /3 — к х 1 вектор коэффициентов, Ее = 0, V(e) = cr2I). Пусть хп+1 =

(zn+i.if ••»zn+i,fc)/ — дополнительное наблюдение независимых пере­ менных и уп + 1 = х'п+10 + еп+ь

Покажите, что если матрица X содержит константу, то ошибка про­ гноза минимальна, если каждое xn+[j равно среднему у-го столбца мат­ рицы X .

7.4. Для модели парной регрессии yt = а + pxt + et, t = 1 ,..., 10 известно, что

= 8* Y l Xt = 40» = 26> = 200>Y l ytXt = 20

(всюду суммирование от 1 до 10). Для некоторого наблюдения s дано ха = 10. Предполагая, что наблюдение s удовлетворяет исходной моде­ ли,

а) вычислите маилучший линейный несмещенный прогноз величи­ ны у,;

б) оцените стандартную ошибку прогноза.

7.5.Стандартная линейная модель у = Х/З+е, где у — п х 1 вектор, X

—п х к матрица, оценивается обычным методом наименьших квадратов.

Имеется дополнительное наблюдение уо, *о —(*ог. • •. ,®оь)- С помощью какой статистики можно ответить на вопрос, удовле­

творяет ли это наблюдение исходной модели?

7.6. Дана регрессионная модель yt = a+/3xt +et, t = 1,... ,п. Предполо­ жим, что параметр (3 известен. Предложите способ прогноза величины Уп+ i (для заданного xn+i) и найдите дисперсию ошибки прогноза.

8.1.Состоятельность оценок, полученных с помощью инструментальных переменных

Пусть исходная модель описывается равенством

где, как и раньше, у — п х 1 вектор зависимых переменных, X — п х к матрица независимых переменных, е — п х 1 вектор оши­ бок, /3 — fcxl вектор параметров. Предположим также, что задана матрица Z размерап х к — матрица инструментальных перемен­ ных, причем к х к матрица Z 'X обратима. Тогда по определению оценкой параметров /3 с помощью инструментальных перемен­ ных (Instrumental Variables, IV ) называется вектор

Нетрудно понять, почему именно в таком виде следует брать оцен­ ку, а не в виде /3jv = (Z 'Z )-1 Z 'y , как могло бы показаться на пер­ вый взгляд. Действительно, подставляя в (8.2) выражение для у из (8.1), получаем

3iv = (Z 'X ) - 'Z '{ X P + е) = /3 + { Z 'X T 'Z 'e

Предположим, что выполнено следующее условие, формально выражающее требование «хорошей корреляции» между X и Z:

В силу отсутствия корреляции между Z и е, член (1/n )Z 'e стре­ мится по вероятности к О.1

'Заметим, что условие некоррелированности Z и с можно заменить более

слабым условием: plim - Z ' e = О.

Таким образом, из (8.3) и (8.4) следует, что оценка /3jv явля­ ется состоятельной. В то же время следует подчеркнуть, что в общем случае /3jy является смещенной и не обладает минималь­ ной матрицей ковариаций, т. е., вообще говоря, не является эф­ фективной (что естественно, поскольку оценка >3IV явно зависит от Z).

Возникает естественный вопрос, как находить нужные инстру­ ментальные переменные. Дать строгий однозначный ответ на пего невозможно. Все зависит от конкретной ситуации. Может так слу­ читься, что инструментальных переменных нельзя найти, а может быть, что существует и несколько таких инструментов.

8.2.Влияние ошибок измерения

Типичной ситуацией, когда требуется использовать инструмен­ тальные переменные, является наличие ошибок в измерениях. Рассмотрим этот случай подробнее.

Ошибки в измерениях зависимой переменной. Предположим, что истинной является модель (8.1), но вектор у измеряется с ошибкой, т. е. наблюдается вектор у* = у + и, где и — ошибки, имеющие нулевое математическое ожидание и не зависящие от е и X . Тогда нетрудно понять, что построение МНК-оценок на основании у* эквивалентно регрессии

у* = Х/3 + (е + и),

откуда видно, что оценка параметра /3 будет несмещенной и со­ стоятельной, так как Е(е + и) = 0 и Cov(X,£ -I- и) = 0. Наличие же ошибки приводит лишь к увеличению дисперсии регрессии: V(* + u) = o* + о\.

Ошибки в измерении независимой переменной. Ситуация ради­ кальным образом меняется в худшую сторону, когда есть ошибки в измерении регрессоров. Пусть, как и раньше, истинной является модель (8.1), но наблюдается матрица X* = X + V , где матрица ошибок V имеет нулевое математическое ожидание и не зависит

от е. Тогда реально будет осуществляться регрессия

у = Х *р + (с - V 0 ) = Х*/3 + •*,

в которой регрессоры и ошибки уже являются коррелированными: Е(Х*'е*) = Е[(Х' + V')(e - V/3)] = -E (V 'V )0 . Это означает, что в общем случае МНК-оценки будут смещенными и несостоятель­ ными. Степень смещения определяется как истинным значением параметра, так и матрицей ковариаций ошибок. Здесь можно при­ менять метод инструментальных переменных.

Понятно, что можно рассматривать общий случай, когда есть ошибки в измерениях независимых и зависимых переменных. Яс­ но, что, как и в предыдущем случае, применение метода наимень­ ших квадратов будет приводить к смещенным и несостоятельным оценкам.

8.3.Двухшаговый метод наименьших квадратов

Нетрудно понять, что метод оценивания с помощью инструмен­ тальных переменных является обобщением обычного метода наи­ меньших квадратов. Подчеркнем еще раз, что нахождение нуж­ ных инструментальных переменных является нелегкой задачей, решение которой зависит от конкретной ситуации.

Совпадение числа инструментальных переменных с числом ис­ ходных регрессоров не является обязательным условием. На са­ мом деле, достаточно требовать, чтобы число инструментов было не меньше^ чем число независимых переменных. Выведем фор­ мулу для /3|V в этом случае. Итак, пусть Z — п х т матрица, столбцы которой линейно независимы (т.е. rank(Z) = m), причем m > к. Если воспользоваться геометрической интерпретацией ме­ тода наименьших квадратов, то достаточно легко понять смысл оценки /3iv и получить требуемую формулу. Рассмотрим каждый столбец Xj, j = 1,..., к, матрицы X как n-мерный вектор и спро­ ектируем его на тп-мерное подпространство, порожденное столб­ цами матрицы Z, получив векторы Xj, j = 1 ,..., fc. Это эквива­

лентно тому, что мы осуществляем регрессию Xj на Z и находим прогнозные значения Щ. Их мы теперьА. будем считать новыми независимыми переменными, и оценка /3jv вектора параметров /3 строится с помощью обычной регрессии у на Xj, j = l,...,fc. Таким образом, метод наименьших квадратов применяется здесь дважды — сначала для построения регрессоров X j , j = 1, ...,fc, а затем для нахождения оценки /3jv Эта процедура носит назва­ ние двухшагового метода наименьших квадратов, о котором мы будем более подробно говорить, изучая системы регрессионных уравнений. Вспоминая, что проекция на пространство, порожден­ ное векторами-столбцами матрицы Z, осуществляется с помощью матрицы Z (Z 'Z )~ 1Z t (см. п. 3.3), имеем

и, следовательно,

X = [ж! ... x k) = Z { Z 'Z )-lZ 'X .

Наконец,

3iv = (X ’x y ' x ' y

При этом мы, конечно, предполагаем, что матрица X имеет пол­ ный ранг к Отсюда следует, что условие т ^ к является необхо­ димым для использования инструментальных переменных.

Как и раньше, нетрудно показать, что если выполнены усло­ вия, аналогичные условию (8.4), а именно:

1) последовательность матриц - Z 'X сходится по вероятно-

сти при п —>оо к некоторой матрице полного ранга к;

2) последовательность матриц —Z 'Z сходится по вероятно- п>

сти при п —>оо к некоторой невырожденной матрице,

то оценка (8.5) будет состоятельной.

8 .4 . Т ест Х а у см а н а

Как определить, следует ли использовать инструментальные пе­ ременные или достаточно применять обычный метод наименьших квадратов? Ответ на него равносилен тестированию гипотезы Но: plim (l/n)X '« = О против альтернативы Hi: p lim (l/n )X 'e ф 0. Довольно очевидно, что при наличии только наблюдений у , Х проверить эту гипотезу нельзя, поэтому предположим, что наря­ ду с обычной МНК-оценкой /31 = /3QLS есть оценка /32 = >3IV, по­ лученная с помощью некоторых инструментальных переменных. При гипотезе Но оценка /Зх является состоятельной и эффектив­ н о й ^ при альтернативной гипотезе Hi — несостоятельной. Оцен­ ка /32 состоятельна как при нулевой, так и при альтернативной гипотезах. Таким образом, при нулевой гипотезе разность /32— стремится к нулю, и естественно ожидать, что при соответству­ ющей нормировке распределение этой разности будет асимптоти­ чески совпадать с каким-нибудь известным распределением.

асимптотически имеет хи-квадрат распределение с к степенями свободы.

Более подробно о тесте Хаусмана можно прочесть, например, в (Johnston and DiNardo, 1997).

Выводы:

1)при наличии корреляции между независимыми переменны­ ми и ошибками МНК-оценки смещены и несостоятельны; для получения состоятельных оценок можно воспользовать­ ся инструментальными переменными;

2)число инструментальных переменных должно быть не мень­ ше числа исходных независимых переменных;

3)инструментальные переменные должны быть некоррелированы с ошибками и коррелированы с исходными независи-

Покажите, что оценка обобщенного метода наименьших квадратов (5.4) для вектора коэффициентов уравнения (*) равна

3 GLS = (X,Z (Z 'Z )-IZ,X )"1X 'Z (Z 'Z )-1Z'y.

Сравните результат с формулой (8.5) для оценки метода инструмен­ тальных переменных.

8.6. Пусть переменные уе*, zt* связаны (точным) уравнением

Уе = Pi +02**.

Однако вместо точных значений мы наблюдаем измеренные (с ошибка­ ми измерений) значения yt = у? + и, и zt = z* + vt, где ut ~ iid(0,<r*), vt ~ nd(0, a^), ошибки щ и va независимы при всех (из. Мы оцениваем методом наименьших квадратов уравнение

Vt — + (h^t + et.

а) Удовлетворяют ли ошибки в данном уравнении условиям стан­ дартной линейной модели?

б) Найти Cov(zt,£■{).

А.

в) Найти plim/?2.