книги / Эконометрика. Начальный курс

для оценивания моделей с авторегрессионными членами и авто­ корреляцией ошибок. Рассмотрим, например, модель

Переменная х является экзогенной, yt- i коррелирована с xt_ i, по­ этому x t-i можно взять в качестве инструмента для yt-i- Оценка, полученная по методу инструментальных переменных, будет со­ стоятельной. Однако вследствие автокорреляции ошибок оценки дисперсий оценок коэффициентов не будут состоятельными.

Оцениваний. Метод максимального правдоподобия

Используя обычное преобразование, приведем модель (11.19) к виду

Vt = А(1 ~ p ) + f o x t - f o p x t - i + { P 3 + P ) y t - i - P 3 № - 2 + £ t - (11.20)

Коэффициенты уравнения (11.20) можно оценить при помощи ме­ тода максимального правдоподобия (п. 10.5), который легко при­ меняется здесь, так капе ошибки некоррелированы.

Замечаний. Нелинейный метод наименьших квадратов состоит в данном случае в минимизации функции

5 ^ ( y t - P i ( l - p ) - P 2 X t + 0 2 P x t - i - ( / h + p ) y t - i + 0 3 m - 2 ) 2 (1121)

по параметрам P i,p2 ,fh и р. Отметим, что нелинейный метод наи­ меньших квадратов является аппроксимацией метода максималь­ ного правдоподобия и отличается от него только отсутствием оп­ тимизации по начальным значениям у.

Из предыдущего следует, что, перед тем как оценивать модель с авторегрессионными членами, необходимо проверить наличие автокорреляции ошибок.

Тест на автокорреляцию ошибок

Заметим прежде всего, что тест Дарбина-Уотсона (DW) (п. 6.2) в данном случае неприменим, так как не выполнены условия, лежа­ щие в его обосновании. При наличии лагировапных эндогенных

272 Гл. 11. Временные ряды

переменных результаты теста DW смещены в сторону принятия гипотезы отсутствия автокорреляции ошибок.

Тест множителей Лагранжа (Lagrange Multiplier, LM) (п. 10.6) тем не менее применим и в данной ситуации. Можно использовать также h тест Дарбина, который реализован во многих компью­ терных пакетах. Этот тест, в отличие от LM теста, предназначен только для проверки на присутствие автокорреляции первого по­ рядка. Например, для уравнения (11.19) критическая статистика

где DW — значение статистики Дарбина-Уотсоиа, (h — оценка ко­ эффициента при j/t-i. полученная применением МНК непосред­ ственно к исходному уравнению (11.19). Если верна нулевая гипо­ теза Но отсутствия автокорреляции ошибок первого порядка, то статистика h имеет асимптотически стандартное нормальное рас­ пределение. Гипотеза Но отвергается на 5%-ном уровне значимо­ сти в пользу гипотезы наличия положительной автокорреляции, если h > 1.645.

Тест Дарбина не работает, если пУ(/?з) > 1. Дарбин пока­ зал, что следующая процедура асимптотически эквивалентна h- тесту. 1) Вычислим остатки МНК-регрессии уравнения (11.19) е*. 2) Оценим вспомогательную регрессию et на e t-1, y t-i, aJt- 3) Про­ верим гипотезу Но с помощью обычного t-теста на значимость коэффициента при et_t во вспомогательной регрессии.

Некоторые примеры моделей с датированными переменными

В этом разделе мы рассмотрим частные случаи модели ADL(1,1)

Модель настинного приспособления

В модели частичного приспособления (partial adjustment) пред­ полагается, что желаемое (или оптимальное, целевое) значение

Наблюдаемое значение переменной у , однако, не выходит мгновен­ но на желаемое значение, изменяясь только на долю 6 в нужном направлении:

Пусть, например, (11.24) определяет оптимальный размер за­ пасов yl в зависимости от уровня продаж x t. Уравнение (11.25) можно переписать в виде:

yt = Syl + ( 1 - 6)yt-u

т.е. размер запасов равен взвешенному среднему оптимального размера запасов и размера запасов в предыдущем периоде.

Подставив (11.25) в (11.24), получаем:

Поскольку ошибки не коррелированы, состоятельные оценки па­ раметров можно получить, применяя МНК к оцениванию состав­ ных параметров 6а, 6(3 и (1 —б) в уравнении (11.26).

Модель (11.26) получается из модели (11.23) путем введения в последнюю ограничения /?3 = 0.

Модель адаптивных ожиданий

Обозначим через х£+1 ожидаемое (в момент t) будущее значение переменной х*. Предположим, что значение величины yt опреде­ ляется этим ожидаемым значением:

Гипотеза адаптивных ожиданий (adaptive expectations) предпо­ лагает, что ожидания пересматриваются в некоторой пропорции

На языке этой модели гипотеза «х не влияет на у» формули­ руется как Но: Pi = ... = Рт = 0. Для ее тестирования приме­ няется обычный F -тест (3.44)-(3.45). Гипотеза «у не влияет на х* тестируется аналогично, надо только поменять местами х и у в уравнении (11.32). Для того чтобы прийти к заключению, что «х влияет на у», надо, чтобы гипотеза tx не влияет на у» была отвергнута, а гипотеза «у не влияет на х» была принята.

Подчеркнем, что «х влияет на у» не означает наличие причин­ но-следственной связи между х и у, а означает то, что предше­ ствующие значения х объясняют последующие значения у, т.е. означает возможность наличия причинно-следственной связи. Если же гипотеза «х не влияет на у» не отвергается, то это озна­ чает, что х не является причиной у.

Описанный выше тест называется тестом Гранжера на при­ чинно-следственную зависимость (Granger causality test). Заме­ тим, что выбор т , вообще говоря, может повлиять на результат теста. Как правило, лучше проделать тест для нескольких разных значений ш и выяснить, насколько результат теста чувствителен к выбору т. В том случае, если имеются основания предполагать наличие автокорреляции ошибок в модели (11.32), для тестирова­ ния гипотезы Но рекомендуется применять тест множителей Ла­ гранжа (п. 10.6).

11.3.Единичные корни и коинтеграция

До сих пор мы говорили об устойчивости (стабильности) времен­ ного ряда. Дадим теперь более точное понятие стационарности.

Стационарность

Ряд yt называется строго стационарным (strictly stationary) или

стационарным в узком смысле, если совместное распределение т наблюдений yt,,yt2,...,ytm не зависит от сдвига по времени, то есть совпадает с распределением yt,+t,l/t2+t) • • • ,ytm+t для лю­ бых т, t, t i , . . . , t m. Обычно нас интересуют средние значения и ковариации, а не все распределение. Поэтому часто используется

понятие слабой стационарности {weak stationarity) или стацио­ нарности в широком смысле, которое состоит в том, что среднее, дисперсия и ковариации yt не зависят от момента времени t:

Конечно, из строгой стационарности следует слабая стацио­ нарность (при условии конечности первого и второго моментов распределения). В дальнейшем мы будем везде под «стационар­ ностью» понимать слабую стационарность.

Введем понятие автокорреляционной функции (autocorrelation function), ACF:

Заметим, что po = 1, а. |рь| < 1. ACF играет важную роль в задаче идентификации моделей временных рядов.

Рассмотрим примеры временных рядов. Самым простым яв­ ляется ряд с независимыми одинаково распределенными наблю­ дениями:

yt = £t, et ~ гъ<Цр,(г2), t = l , . . . , n . (11.35)

Этот процесс называется «белым шумом» (white noise), у него Д = 0, то = a2, Tt = 0, к > 0.

ранее в главе 6 (п. 6.2). Используя оператор сдвига (11.4), запишем (11.36) в виде:

или

yt = (1 —<f>L) 1( т + et) = (1 + фЬ + фЧ2 + • • • ) ( т + £j)

278 Гл. 11. Временные ряды

Поскольку мы предполагаем, что \ф\ < 1, то из (11.38) получаем

1~Ф

т.е. среднее не зависит от времени. При таком же условии на ф получаем

Аналогично (см.п. (6.2)) можно показать, что

Таким образом, AR(1) процесс является стационарным при усло­ вии |$| < 1 и его автокорреляционная функция равна

называемый случайным блужданием (random walk). Этот процесс по виду похож на AR(1) (11.36) с ф = 1, однако существенно от­ личается от стационарного процесса AR(1) (с \ф\ < 1) по своим свойствам. Из (11.43), учитывая, что ошибка et некоррелирована с yt- i , можно получить:

Отсюда ясно, что случайное блуждание нестационарно, так как V(yt) ф V(yt_i). Если положить, что процесс начинается с момен­ та t = 1 и Е(ух) = /х, V(yi) = а2, то E(yt) = Ц, V(yt) = a2t, при t = 1,2,..., т. е. дисперсия неограниченно возрастает со временем.

Процесс случайного блуждания отличается от стационарно­ го AR(1) процесса тем, что в (11.43) влияние возмущений £t не затухает: yt = £t + £t-i + ... , в то время как в (11.36) влияние возмущений затухает со временем: yt = et + </>£t_i + ф2£ь-2 + ...

(при тп = 0).

Легко показать, что процесс вида (11.36) с \ф\ > 1 тем более не является стационарным (и не встречается в реальных экономиче­ ских примерах).

Единичные корни

Рассмотрим AR(l) процесс (11.36) в форме (11.37) с нулевым сред­ ним

В предыдущем параграфе мы видели, что для того чтобы про­ цесс (11.45) был стационарным, необходимо условие |$| < 1, т.е. существование обратного оператора A(L)~l = (1 —фЬ)~*.

Возьмем другой пример — АЩ2) процесс:

Как и всякий многочлен, А(Ь) может быть разложен на множи­ тели над полем комплексных чисел:

Нетрудно понять, что для существования обратного оператора A(L)~Xнеобходима обратимость каждого сомножителя в (11.47), а это означает, что все А* по модулю меньше единицы. Часто это условие формулируется следующим образом: все корни щ = 1/А* многочлена А(х) должны лежать вне единичного круга.

В предыдущем разделе мы видели, что наличие единичного корня в (11.45) существенно влияет на свойства процесса. Как определить по имеющимся наблюдениям верно ли, что в (11.45) ф = 1? Из п. 3.5 мы знаем, как тестировать гипотезу подобного ро­ да с помощью t-статистики t = (ф—ф)/з^, которая имеет распреде­ ление Стьюдента и асимптотически стандартное нормальное рас­ пределение. Однако, как показали Дики и Фуллер (D. A. Dickey, W. A. Fuller) (см. Fuller, 1976), в случае, если истинное значение ф = 1, то t-статистика не распределена по закону Стьюдента и ее распределение не стремится к стандартному нормальному при увеличении количества наблюдений.

Распределение t-статистики при условии ф = 1 в (истинной) модели (11.45), описано Дики и Фуллером для уравнения (11.45) и двух его модификаций:

Уравнение (11.49) соответствует (ошибочно) включенному свобод­ ному члену, в уравнение (11.50) кроме свободного члена включен также и временной тренд. В таблице 11.1 приведены односторон­ ние критические значения статистики Дики-Фуллера (DF).

Источник: (Fuller, 1976).

Предположим, мы тестируем гипотезу Но: ф = 1 против аль­ тернативной гипотезы Hi: ф < 1 для уравнения (11.49) при 100 наблюдениях и 5%-ном уровне значимости. В том случае, если мы используем стандартную процедуру тестирования гипотезы (п. 3.5), мы должны отвергнуть Но при значении f-статистики меньшем, чем -1.66. Однако, если мы используем таблицу 11.1,