книги / Эконометрика. Начальный курс

Рис. 11.20. ARMA(1,1). Yt = 0.4У»_1 + et + 0.5et-i- Корни цац = 2ф м а = -2

Рис. 11.21. ARMA(1,1). Yt = -0.4У»_1 + et - 0.5et_i Корни мая = -2, ммA = 2

II. Оценивание модели и проверка адекватности модели

II.1. Для каждой из выбранных на первом этапе моделей оцени­ ваются их параметры и вычисляются остатки.

II.2. Каждая из моделей проверяется, насколько она соответству­ ет данным. Из моделей, адекватных данным, выбирается самая простая модель, т. е. модель с наименьшим количеством парамет­ ров.

III. Прогнозирование

После того как на втором этапе выбрана модель, можно строить прогноз на один или несколько шагов по времени и оценивать доверительные границы прогнозных значений.

Остановимся подробнее на втором и третьем этапах методики Бокса-Дженкинса.

Оценивание ARMA моделей

В современные компьютерные пакеты включены различные ме­ тоды оценивания ARMA моделей, такие, как линейный или нели­ нейный МНК, полный или условный метод максимального прав­ доподобия.

Рассмотрим пример ARMA(1,1) модели (11.86). Запишем ее в виде:

где 0(L) = 1 —9iL и 0(L)_1 = 1 + 0I L + ^ L 2+ . .. В (11.89) надо каким-то образом интерпретировать переменную у* = 0(L )-1yt, которая является бесконечной взвешенной суммой предыдущих значений ytОдним из возможных решений является следующее. Приравняем нулю все значения, предшествующие началу наблю­ дений: уо = у - 1 = ... = 0. При этом получим:

В том случае, если вх известно, это уравнение является линейным по 6*, ф\, однако в общем случае оно нелинейно по параметрам.

Для оценивания уравнения (11.89) применим условный метод максимального правдоподобия (conditional ML)t когда у\ предпо­ лагается заданным, считая, что ошибки £f ~ iidN(0,<r2). Условная

306 Гл. 11. Временные ряды

Во-первых, оценки коэффициентов модели должны статисти­ чески достоверно отличаться от нуля, т. е. соответствующие Р- значения t-статистик должны быть меньше выбранного порого­ вого значения.

Во-вторых, согласно модели ошибки et являются белым шу­ мом. Соответственно их оценки, т.е. остатки регрессии et, долж­ ны быть также похожи на белый шум. Поэтому остатки должны иметь нулевую автокорреляцию.

В модели, включающей константу, среднее остатков равно 0. Поэтому выборочная автокорреляционная функция остатков вы­

Если модель адекватна данным, ошибки являются белым шумом, и при больших значениях п и к величина г*. имеет распределе­ ние, близкое к нормальному N (0, ^). Причем на практике хоро­ шая аппроксимация начинается с к = 5 ч- 6. Поэтому значение г* вне интервала 0 ± позволяет на 5%-ном уровне значимости от­ вергнуть гипотезу равенства нулю коэффициента корреляции рк-

Другие тесты проверяют гипотезу равенства нулю сразу К первых значений автокорреляционной функции остатков.

Q-статистика Бокса-Пирса (Box, Pierce, 1970) определяется

как

При нулевой гипотезе отсутствия автокорреляции Q имеет рас­ пределение х 2(К — р - q), где p,q — параметры ARMА модели. Нулевая гипотеза отвергается, если полученное значение Q боль­ ше соответствующего критического значения.

Тест Лъюнга-Бокса (Ljung, Box, 1978) является модификаци­ ей теста Бокса-Пирса. Соответствующая статистика

имеет такое же асимптотическое распределение, как и Q, однако ее распределение ближе к х 2 Для конечных выборок.

Бели тесты показывают наличие автокорреляции остатков, это означает, что рассматриваемая ARMA модель не подходит, и ее надо модифицировать. Например, если в автокорреляцион­ ной функции отличны от нуля значения с номерами, кратными 4, то стоит попробовать ввести сезонную авторегрессию четвертого порядка. Если единственное отличающееся от нуля значение со­ ответствует лагу, равному 4, можно попробовать ввестн сезонный МА-член порядка 4.

Если мы имеем ситуацию, когда несколько ARMA моделей оказываются адекватными данным, то, руководствуясь принци­ пом «экономии мышления», следует выбрать модель с наимень­ шим количеством параметров.

В компьютерных пакетах среди результатов оценивания при­ водится информационный критерий Акаике AIC (Akaike informa­ tion criterion) (Akaike, 1973), определяемый формулой

(11.97)

Критерий Акаике является эвристической попыткой свести в одни показатель два требования: уменьшение числа параметров модели и качество подгонки модели. Согласно этому критерию, из двух моделей следует выбрать модель с меньшим значением AIC.

Обычно также приводится значение критерия Шварца (Schwarz criterion) (Schwarz, 1978)

(11.98)

отличие которого от AIC состоит в большем штрафе за количество параметров.

Заметим, что по своей идеологии критерии Акаике и Шварца близки к скорректированному R2 (3.28).

Прогнозирование с ARIMA моделями

Главная цель использования ARIMA моделей — построение про­ гноза за пределы выборки. Есть два источника неточности про­ гноза: первый — игнорирование будущих ошибок et>второй — от­ клонение оценок коэффициентов модели от их истинных значе­ ний. В данном разделе мы будем рассматривать только первый источник ошибок прогноза или, другими словами, прогнозирова­ ние в рамках теоретических моделей.

Рассмотрим проблему прогнозирования на примере ARMA(1,1) и АШМА( 1,1,0) моделей (несколько более простых примеров вы­ несено в упражнения).

ARMA(1,1) модель. Прогнозирование

Из (11.86) получаем значение у в момент п + 1:

Уп+1 = 6 + ф\уп + £п+1 - #1 £»»•

Используя обозначение /х = E(yt) = 6 / ( 1 - фi), получаем:

Прогноз на один шаг, минимизирующий среднеквадратичное от­ клонение, равен Уп+i = Е(уп+х|/п) (см. МС, п.2), где 1п — инфор­ мация, доступная в момент п. Из (11.99) получаем:

Ошибка прогноза и ее дисперсия равны

Используя две итерации уравнения (11.99), получаем

(Уп+2 —р) = ф\(Уп — р) + еп+2 + (Ф\ —0l)£n+l —Ф1@1£п- (11.102)

Отсюда аналогично (11.100) вычисляется прогноз на два шага:

(Уп+2 - м) = Ф\{Уп - /*) - Ф\0\£п>

(11.103)

V(en+2)=<72 (l + ( ^ i - 0 1)2).

Продолжая итерации, можно получить

откуда видно, что прогноз стремится к среднему д, когда горизонт прогноза возрастает. Можно показать, что

Заметим, что это выражение совпадает с дисперсией ряда у, по­ лученной в (11.876).

АШМА(1,1,0) модель. Прогнозирование

Прогноз нестационарного временного ряда несколько отличается от выше разобранного случая. Рассмотрим временной ряд yt, пер­ вые разности которого zt являются AR(1) процессом (см. (11.67)):

Многократное применение (11.106) дает

Уп+8 — Уп + «п+1 + Zn+2 + •••+ Zn+s

Подставляя zt —д из (11.106) в (11.107), получаем:

Очевидно, что прогноз, минимизирующий среднеквадратичное отклонение, решен сумме первых трех слагаемых в (11.108). За­ метим, что второе и третье слагаемые растут с ростом s. Ошибка прогноза на з шагов равна e„+s. В силу формулы (11.109) диспер­ сия ошибки равна

Мы видим, что в случае нестационарного временного ряда дис­ персия ошибки прогноза монотонно растет с ростом горизонта прогноза з.

Еще раз отметим, что все вычисления в этом разделе бы­ ли проведены для теоретической модели, т.е. в предположении, что коэффициенты модели известны точно. Обычно на практи­ ке мы имеем дело с оценками коэффициентов, что добавляет до­ полнительную неопределенность в прогноз. Поэтому полученные оценки точности прогноза являются излишне «оптимистически­ ми». Заметим, что некоторые компьютерные пакеты (например, EViews) корректно рассчитывают дисперсии ошибок прогноза, учитывая и неопределенность в коэффициентах.

Сезонность в ARIMA моделях

В этом разделе мы лишь кратко упомянем обобщение АШМА моделей на случай наличия сезонной компоненты. Рассмотрим следующий пример. Пусть ряд yt имеет сезонную (квартальную) компоненту. Тогда можно написать простейшую модель, связыва­ ющую значение переменной в текущем квартале с ее значением в том же квартале предыдущего года:

Vt = 4>[a)yt-A + «t-

Так как временные ряды обладают статистической связью сосед­ них значений, то можно предположить, что ошибки щ удовлетво­ ряют AR(1) процессу

Из двух последних уравнений получаем:

(1 - фгЩ 1 - ^ s)L4)y{ = £t,

или

Такая модель обозначается AR(l)xSAR(l). Она похожа на AR(5) модель с тремя (нелинейными) ограничениями на коэффициенты.

Подробнее о свойствах подобных моделей можно прочитать, например, в (Johnston and DiNardo, 1997), (Box and Jenkins, 1976).