11.5.GARCH модели
Вданном разделе мы дадим лишь краткое описание ARCH и GARCH моделей, ставших весьма популярными, особенно в лите ратуре по финансовым рынкам, во второй половине 80-х и в 90-х годах.
Суть модели состоит в следующем. Предположим, мм имеем регрессию временного ряда у* на другие временные ряды (все ря ды предполагаются стационарными):
Из эмпирических наблюдений за поведением таких рядов, как процентные ставки, обменные курсы и т. п., было замечено, что наблюдения с большими и малыми отклонениями от средних име ют тенденцию к образованию кластеров (см. рисунок 11.22). То есть периоды «спокойного» и «возмущенного» состояний рынка чередуются.
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10 -0.15
-0.20
Рис. 11.22. Однодневные приращения индекса РТС
В работе (Engle, 1982) был предложен следующий способ мо делирования этого явления. Пусть — V(ut|itt_ i , ... ,ut- p) = Е(«*|и*_1, •.., Щ-р) — условная дисперсия ошибок щ (как обычно, E(«t|wt-i,•• • ,Щ -Р) = 0). Эффект «кластеризации» возмущений
312 |
Гл. 11. Временные ряды |
можно объяснить следующей моделью зависимости условной дис персии ошибок щ от предыстории:
= «о + а-1u?_i + • • • + orpti?_p. |
(11.112) |
Процесс (11.111)—(11.112) называется авторегрессионной условно гетероскедастичной моделью порядка р (AutoRegressive, Condi tional Heteroscedastic), ARCH(p).
Простейшая модель такого рода, ARCH(l), имеет вид:
2/t = х[(3 + щ. |
(11.113) |
1/2 |
ut = et (о-о + |
~ OdN(0,1). |
В этой модели условная дисперсия ошибок зависит от времени: V(ut|ut_i) = Е(«(|«t_i) = «о + в т0 время как безуслов ная дисперсия ошибок не зависит от времени: V(ut) = V (ut-i) = о-о/ (1 - он). Таким образом, модель (11.113) удовлетворяет всем условиям классической линейной регрессионной модели и МНКоценки являются наиболее эффективными линейными оценками.
Замечание. Существуют более эффективные нелинейные оцен ки, получающиеся из метода максимального правдоподобия (п. 10.5). Можно показать, что логарифм функции правдоподобия для (11.113) с точностью до константы равен
l„L = - i | > ( c , „ + «.«*_,) - \ £ a c+ “l u; i . <»•»<>
где ut = y t - P'xt.
Еще раз отметим, что ошибки щ в ARCH(p) модели (11.111)- (11.112) являются стационарным процессом.
Как же определить, являются ли ошибки в уравнении (11.111) условно гетероскедастичными? Естественная процедура тестиро вания состоит из трех шагов:
1.Применяем МНК к уравнению (11.111) и вычисляем остат ки е«.
2.Оцениваем по МНК регрессию е* = ao + S ie^H -----Ьаре?_р+
остаток.
3.Тестируем гипотезу Но: o-i = ... = ар = 0. Для тестирования можно применить F -тест или тест множителей Лагранжа LM (п. 10.6).
Вработе (Bollerslev, 1986) была предложена более общая спе
цификация модели для уравнения условной дисперсии ошибок
( 11.112):
= « о + |
+ • • • + a Pu ? - p + 7 i <Tt - i + • • • + 7 q ^ -q- ( 1 1 . 1 1 5 ) |
Такая модель (11.111)—(11.115) называется обобщенной авторе грессионной условно гетероскедастичной порядка р, q (Generalized Auto-Regressive, Conditional Heteroscedastic), GARCH(p,g). В этой модели ряд и* удовлетворяет ARMA(max(p, q), q) модели (11.56).
На практике наиболее часто применяется GARCH(1,1) модель. Существуют различные варианты и обобщения GARCH моде лей, например, ARCH-M, EGARCH. Подробнее о моделях типа GARCH можно прочитать, например, в (Greene, 1997), (Hamilton, 1994).
Пример. GARCH модель. Рассмотрим связь рынка государ ственных облигаций (ГКО) и рынка корпоративных ценных бу маг (Российская торговая система, PTC) (Peresetsky, Ivanter, 2000). BLCPt и GKOt — ежедневные значения индексов «голубых фи шек» (наиболее ликвидных акций) и государственных облигаций. Обозначим через Xt разность однодневных доходностей двух рын ков:
v |
, BLCPt , GKOt |
Xt |
n BLCPt-i ~ П GKOt-x |
Рассмотрим модель1выравнивания доходностей двух рынков:
AXt = const + pXt-i + £f
Здесь AXt = Xt —Xt-i- Параметр p имеет смысл скорости вы равнивания доходностей и показывает степень интеграции рынков. Оценивание GARCH(1,1) модели на интервале 10.01.96-10.10.97да ет следующие результаты (использовалась программа EViews)
'Аналогичная модель рассматривалась в (Peresetsky, Turmuhambetova and Urga, 2001) для анализа рынка фьючерсов на ГКО.
314 |
|
|
Гл. 11. Временные ряды |
Variable |
Coefficient |
Std.Error |
t-Statistic |
Prob |
С |
0.000735 |
0.001554 |
0.4728 |
0.6368 |
X t- 1 |
-0.768658 |
0.067768 |
-11.34244 |
0.0000 |
Variance Equation |
|
|
|
С |
5.14 10-5 |
2.14-10~5 |
2.401 |
0.0171 |
ARCH(1) |
0.1851 |
0.0792 |
2.336 |
0.0203 |
GARCH(1) |
0.7296 |
0.0875 |
8.337 |
0.0000 |
R-squared |
0.379 |
Mean Dependent var |
-0.000341 |
Adjusted R-squared |
0.369 |
S.D. dependent var |
0.0288 |
S.E. of regression |
0.0228 Akaike info criterion |
—7.538 |
Sum squared resid |
0.128 |
Schwarz criterion |
—7.538 |
Log likelihood |
603.5 |
F-statistic |
37.57 |
Durbin-Watson stat |
1.916 |
Prob(F-statistic) |
0.0000 |
Рис. 11.23. График условного стандартного отклонения
Условное стандартное отклонение в этой модели можно интер претировать как волатильность2 рынка. На графике видны пи ки волатильности, соответствующие 30 мая 1996 года и 9 июля 1996 года, связанные с президентскими выборами. Видна стаби лизация соотношения двух рынков после президентских выборов летом 1996 года.
2В литературе по финансовым рынкам волатильностью ( v o l a t i l i t y ) назы вают меру нестабильности рынка.
Упражнения
11.1. Покажите, что выражение для суммарного влияния в модели (11.2) может быть получено как изменение (отклик) эндогенной пере менной при единичном приращении экзогенной переменной в стацио нарном состоянии (т. е. когда yt = j/t+i - • • • = у и xt —xt+i *»•■• = Я).
11.2.Покажите, что суммарное влияние х на у в модели (11.3) равно
В(1)/Л(1).
11.3.Покажите, что уравнение (11.3) устойчиво, если выполнено усло вие: все корни многочлена А(х) = 1 —ацх - • • • - архр лежат вне еди
ничной окружности.
11.4.Выведите формулы, выражающие переменные хоt, -.. ,xrt в урав нении (11.7), через переменные xt,xt-i,... ,xf_, из уравнения (11.5).
11.5.Выведите формулу для дисперсии (11.12).
11.6.Покажите, что для случайных величин, удовлетворяющих урав нению (11.11), при условии существовании момента Е(е*) выполнено:
а) p lim (l/n )£ y t_iet = 0 .
б) plim (l/n)£ 2/t2_i = а 2/(1 - 0 2).
11.7.Докажите формулы (11.16) и (11.17).
11.8.Докажите, что многочлен
A(L) = (1 - ф\Ь - faL2) ш (1 - AiL)(l - A2L)
обратим, тогда и только тогда, когда |Ai| < 1 и JA2| < 1.
11.9.Покажите, что тестирование наличия одного единичного корня в процессе AR(p) можно свести к тесту ADF, приведя уравнение к виду, аналогичному (11.52) для AR(2) модели.
11.10.Вычислите частную автокорреляционную функцию PACF(fc) для AR(1) процесса.
11.11.Покажите, что автокорреляционная функция стационарного процесса AR(2) убывает экспоненциально в случае, когда характери стические корни Ф(L) —1 —ф\L —фгЬ2действительны, или изменяется по синусоиде с экспоненциально убывающей амплитудой, когда корни комплексные.
316 |
Гл. 11. Временные ряды |
11.12.Покажите, что условия (11.76) стационарности процесса AR(2) эквивалентны тому, что оба корня характеристического уравнения Ф(L) = 1 - фхЬ —<faL2 = 0 лежат вне единичной окружности.
11.13.Вычислите частную автокорреляционную функцию PACF(fc) для AR(2) процесса.
11.14.Примените процедуру вычисления выборочного частного коэф фициента корреляции (см. п. 4.3) для стационарного ряда Yt. Покажи те, что к-е значение выборочной частной автокорреляционной функции
PACF(fc) вычисляется как МНК-оценка последнего коэффициента /?* в AR(к) регрессионном уравнении:
Vt —А) + (3iyt-i + lhyt- 2 + ----Н0kVt-k + £»•
11.15.Покажите, что для МА(д) процесса ACF(fc)=0 при к > q.
11.16.Сформулируйте условия обратимости МА(2) процесса.
11.17.Покажите, что для AR(1) процесса (11.67) в виде yt —/х =
Фх(у*—г - ц) + £t прогноз на s шагов вперед вычисляется по форму ле уп+, = Ц+Ф\(уп - ц), а дисперсия ошибки прогноза равна V(en+a) = (1 + + Ф\ Н----- Ь Ф?*-2) о1•
11.18.Покажите, что для МА(1) процесса (11.78) прогноз на s шагов вперед вычисляется по формулам yn+i = 6 —0i£n, уп+» = 5, s > 2, a дисперсия ошибки прогноза равна V(en+») = (l + в2) <т2 —V(yt).
11.19.Выведите формулы (11.104), (11.105).
11.20.Вычислите автокорреляционную функцию ACF(fc) и частную автокорреляционную функцию PACF(fc) для МА(2) процесса.
11.21.Покажите, что остатки при оценивании методом наименьших квадратов уравнений
Vt — Oryt_ l + 0Xt + £(,
Ayt = 7yt_i + 0xt + £t>
совпадают. (Здесь Ayt =-yt — Vt-i )
11.22. Пусть yt = 1 + 0.4yt_! + 0.3yt_2 + —AR(2) процесс, где ut — независимые N(0,1) случайные величины. Вычислите прогнозные зна чения
Е ( y t | y t —i ) , |
E ( y t | y t - i , y t —2)1 E ( y t I y t - i , y t - 2 , y t - 3 ) . |
11.23. Даша линейная модель
З/t ** /3i*t + (h u t-i + tit. ut = put- i + £t,
где 0 < p < 1 и е - гауссовский белый шум. Проводятся две регрессии: для исходных величин и их разностей, т. е.
Vt - 0iXt + 02Vt-l + щ, |
(*) |
&yt —A Ax* + ftAj/t-i + |
(**) |
где vt - (р - l)«t-i + £t-
а) Покажите, что в обеих регрессиях (*) и (**) МНК-оценки вектора /3 = \0\ 02]' будут смещенными и несостоятельными.
б) Покажите, что смещение в регрессии (*) не снижается до нуля, когда р —►1.
в) Предложите оценку вектора 0 с помощью инструментальных пе ременных и покажите, что она состоятельна.
Глава 12
Дискретные зависимые переменные и цензурированные выборки
Ранее мы рассмотрели модели, в которых какие-либо независимые переменные принимают дискретные значения, например, 0 или 1, выражая некоторые качественные признаки (фиктивные пере менные). Относительно зависимой переменной явно или неявно предполагалось, что она выражает количественный признак, при нимая «непрерывное» множество значений. В частности, в нор мальной линейной регрессионной модели (п. 2.3) предполагается, что ошибка имеет гауссовское распределение, откуда следует, что зависимая переменная у может принимать любые значения. В то же время довольно часто интересующая нас величина по своей природе является дискретной. Выделим несколько типичных си туаций.
1.Выбор из двух или нескольких альтернатив. Примеры:
-голосование;
-решение работать или не работать;
-решение покупать или не покупать какой-либо товар дли-
Гл. 12. Дискретные зависимые переменные и цензурированные выборки 319
тельного пользования (автомобиль, дом и т. п.);
-форма собственности (государственная, смешанная, част ная);
-выбор профессии (научный работник, преподаватель, кон сультант, менеджер);
-способ попадания из дома на работу (пешком, автобус, мет ро, метро и автобус, автомобиль); и т.д.
Если есть только две возможности (бинарный выбор), то ре зультат наблюдения обычно описывается переменной, принимаю щей значения 0 или 1, называемой бинарной. В общем случае при наличии к альтернатив результат выбора можно представить пе ременной, принимающей, например, значения l,...,fc. Если аль тернативы нельзя естественным образом упорядочить (как в двух последних примерах), то их нумерация может быть произвольной. В этих случаях соответствующую переменную называют номи нальной (qualitative).
2. Ранжированный выбор. Как и в первом случае, есть несколько альтернатив, но они некоторым образом упорядочены. Примеры:
-доход семьи (низкий, средний, высокий, очень высокий);
-уровень образования (незаконченное среднее, среднее, сред нее техническое, высшее);
-состояние больного (плохое, удовлетворительное, хорошее); и т.д.
Соответствующая переменная называется порядковой, ординаль ной или ранговой (ranking).
3.Количественная целочисленная характеристика. Примеры:
-количество прибыльных предприятий;
-количество частных университетов;
-число патентов, зарегистрированных в течение года; и т. д. Для моделей с дискретными зависимыми переменными ко
нечно же возможно формальное применение метода наимень ших квадратов, однако достаточно удовлетворительные с содер жательной точки зрения результаты можно при этом получить,
320 Гл. 12. Дискретные зависимые переменные и цензурированные выборки
как правило, лишь для моделей третьей группы с количествен ными целочисленными переменными. В случае порядковых пе ременных интерпретация оценок коэффициентов при объясняю щих переменных значительно затруднена: увеличение на единицу порядковой переменной означает переход к следующей по рангу альтернативе, однако далеко не всегда переход от первой альтер нативы ко второй численно эквивалентен переходу от второй к третьей. Бели же зависимая переменная является номинальной и количество альтернатив больше двух, то результаты оценивания вообще теряют смысл в силу произвольности нумерации альтер натив. Таким образом, стандартная регрессионная схема, которую мы использовали ранее для анализа зависимости интересующей нас переменной от экзогенных факторов, в случае номинальных эндогенных переменных нуждается в существенной коррекции.
Сначала мы рассмотрим модели бинарного выбора, затем бу дет показало, что модели с несколькими альтернативами могут быть либо непосредственно сведены к моделям бинарного выбо ра, либо могут быть исследованы аналогичными методами.
Другой класс моделей, рассматриваемых в данной главе, свя зан с цензурированными (censored) и урезанными (truncated) вы борками. Классический пример цензурирования дает изучение расходов семей на покупку товаров длительного пользования (ав томобиля, дома и т. п.). Ясно, что эти расходы не могут быть от рицательными и в то же время при проведении обследования бу дут встречаться наблюдения с пулевым значением этих расходов, что просто означает отказ от покупки соответствующего товара. Здесь осуществляется цензурирование выборки на уровне 0 зна чения зависимой переменной. Другой пример дает определение «времени жизни» технического изделия с помощью испытания в одинаковых условиях в течение определенного периода несколь ких экземпляров изделия. Для тех образцов, которые в процессе испытаний вышли из строя, время жизни будет зафиксировано точно, для остальных временем жизни будет считаться длитель ность испытаний, а истинное его значение останется неизвестным. В этом случае уровнем цензурирования является период испыта-
