книги / Эконометрика. Начальный курс

Сделаем еще одно важное замечание. Тест Дарбина-Уотсона построен в предположении, что регрессоры X и ошибки е не коррелированы. Поэтому его нельзя применять, в частности, когда среди регрессоров содержатся датированные значения зависимой переменной у.

Выводы:

1)при анализе временных рядов следует учитывать, что, как правило, ошибки коррелированы во времени, что требует коррекции обычного метода наименьших квадратов;

2)во многих случаях можно считать, что ошибки образуют стационарный авторегрессионный процесс первого порядка (6.7);

3)МНК-оценки в случае авторегрессии первого порядка несмещены, состоятельны, но неэффективны;

4)оценка дисперсии при использовании МНК является зани­ женной;

5)если коэффициент авторегрессии известен, то обобщенный метод наименьших квадратов сводится к преобразованию (6.11) , (6.12) исходной системы и дальнейшему применению МНК;

6)при неизвестном коэффициенте авторегрессии существует несколько процедур доступного обобщенного метода наи­ меньших квадратов, суть которых состоит в оценивании

этого коэффициента, а затем в применении преобразования

(6.11) , (6.12);

Предложите обобщениеитеративной процедуры Кохрейна-Оркаттадля Оценивания параметров этой модели.

в.4. Рассмотрим модель у* = 0xt + £t, где

Предлагается оценивать параметр 0 с помощью регрессии первой раз­ ности Ayt = ш ~ Vt-i на Дх*.

а) Покажите, что эта оценка является линейной и несмещенной.

б) Вычислите дисперсию оценки и покажите, что стандартная оцен­ ка этой дисперсии смещена.

6.5. Предположим, что для системы yt = а + 0xt + et, t = 1 ,..., п, вы­ полнены все предположения классической нормальной модели за одним исключением: дисперсии ошибок удовлетворяют соотношениям

с f = n + Sxt .

Предложите двухшаговую процедуру оценивания параметров аи.0.

6.6. Рассмотрим модель, связывающую количество вакансий wt и уро­ вень безработицы и<:

lnitft = 01 + 02\пщ + £t.

Ошибки £t независимы и нормально распределены ЛГ(0,<т|).

а) Используя (искусственные) данпые из таблицы 6.6, найдите МНК-оценки параметров 0\ и 02, а также 95%-ный доверитель­ ный интервал для 02-

б) Вычислите статистику Дарбииа-Уотсона. Что ее значение гово­ рит об исходном предположении об ошибках с(? Что можно скат зать о доверительном интервале, найденном в а)?

в) Оцените модель заново, используя модель автокорреляции перво­ го порядка для ошибок регрессии. Найдите 95%-ный доверитель­ ный интервал для 02- Сравните результат с интервалом, получен­ ным в а).

в.7. В таблице 6.7 представлены данные о потребительских расходах С и располагаемом доходе % тридцати семей (долл.).

а) Проведите регрессию С на Yd и проверьте наличие или отсутствие гетероскедастичности.

б) Если и а) выявлена гетероскедастичностъ, осуществите коррек­ цию на гетероскедастичность.

6.8. Таблица 6.8 содержит данные об уровнях запасов I, объемов про­ даж 5 (млн. долл.) и процентные ставки по кредитам Л в 35 фирмах некоторой отрасли. Экономическая интуиция подсказывает, что / долж­ но быть положительно связано с 5 и отрицательно с R.

а) Проведите регрессию I на S и R и тест на гетероскедастичность.

б) Если в а) выявлена гетероскедастичность, осуществите коррек­ цию на гетероскедастичность, предполагая, что дисперсия ошиб­ ки пропорциональна S2.

6.9. В таблице 6.9 приведены данные об объеме импорта М и ВНП США (млрд, долл.) за период с 1960 по 1979 г.

Источник: D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982.

а) Проведите регрессию M на ВНП и на 5%-ном уровне значимости протестируйте гипотезу об отсутствии автокорреляции ошибок.

б) Бели в а) гипотеза отвергается, проведите коррекцию на автокор­ реляцию.

limfl_ 00(l/n) EiU +i xtxt-a - <*’<?%, где |а| < 1 и E(et) = 0, E(ete,_e) = pso\ при всех з, где \р\ < 1.

а) Вычислите асимптотическую дисперсию МНК-оценки параметра 0, т.е. limn_.00 7iV(/30Ls)-

б) Вычислите асимптотическую дисперсию оценки параметра 0 , по­ лученной с помощьюобобщенного метода наименьших квадратов, и покажите что при а = р асимптотическая эффективность МНКоценки равна (1 - р2)/(1 + р2).

6.11. Рассмотрим модель yt = 0 x t + et, t = 1...... n, где E(ce) = 0, E(e?) = ai?, E(etes) = 0 при t ф s и £ " =I x \ = n.

а) Покажите, что МНК-оцспка 0 параметра 0 является несмещен­ ной, но неэффективной.

б) Покажите, что стандартная оценка дисперсии 0 смещена вниз по отношению к истинной дисперсии 0.

6.12. Уравнение yt = 0 i+ 02Xt + et оценивается no следующим наблю­ дениям (см. таблицу 6.10):

Известна функциональная форма гетероскедастичности: V(et) = а2 = <т2х2. Вычислить оценки обобщенного метода наименьших квад­ ратов параметров 0\, 02 и их стандартные отклонения.

6.13.В модели yt = 0xt + et (0, xt —скаляры и it > 0) ошибки et образуют авторегрессию первого порядка: £t = pet-1 + щ, 0 < р < 1. Покажите, что стандартная оценка дисперсии et, полученная с помо­ щью обычного метода наименьших квадратов, смещена вниз.

6.14.Расходы домашних хозяйств в Нидерландах (см. продолжение в упражнении 12.15).

Введение. Традиционной задачей эмпирических исследований в микро­ экономике является оценивание кривых Энгеля. Эрнст Энгель устано­ вил, что при увеличении дохода семьи доля расходов на питание умень­ шается (закон Энгеля). В современных микроэкономических терминах это означает, что эластичность расходов на питание по доходу мень­ ше единицы. (При этом говорят также, что еда является необходимым

товаром, а не предметом роскоши.) Зависимость расходов на приобре­ тение некоторого вида товара от доходов называется кривой Энгеля. В настоящее время принято, как правило, вместо дохода рассматривать полные расходы.

В этой серии упражнений мы будем изучать ежегодные расходы до­ машних хозяйств (household) на питание в зависимости от полных еже­ годных расходов и некоторых других переменных на основании данных по расходам семей в Нидерландах.

Данные. Используются данные, полученные из архива журнала Jour­ nal of Applied Econometrics (expend.xls). Для наших целей мы взяли данные о годовых расходах на питание, отдых и другие товары за пе­ риод с октября 1986 г. по сентябрь 1987 г. (427 наблюдений). Список переменных содержится в таблице 6.11.

6.14.1. а) Вычислите суммарные статистики всех переменных. Проверь­ те, имеют ли смысл ваши результаты.

б) Вычислите корреляционную матрицу переменных /3, v3, totZ и nahm. Проинтерпретируйте результат. Соответствует ли он ваг шим ожиданиям?

Расходы на питание. Здесь мы изучим линейную модель для объяс­ нения логарифма расходов на питание: I f3 = 1п(/3). Мы рассмотрим также некоторую модель для объяснения доли расходов на питание.

6.14.2. а) Проведите парную регрессию 1/3 на ItotZ = ln(ioi3). С ее по­ мощью постройте 95%-ный двусторонний доверительный интер­ вал для эластичности по доходу.

б) В регрессии и. а) не принимается во внимание размер семьи. Объ­ ясните, почему это может привести к смещенности оценки. Объ­ ясните, почему таким образом вы, возможно, переоцениваете эла­ стичность по доходу.

6.14.3. а) Проведите регрессию f/З на ItotZ, пакт, пскОб, пск711 и кон­ станту.

б) С ее помощью постройте 95%-ный двусторонний доверительный интервал для эластичности по доходу. Сравните ваш результат с результатом упражнения 6.14.2 а).

в) Проинтерпретируйте эффект включения в регрессию состава се­ мьи.

г) Проверьте, отличается ли влияние детей в возрасте до 6 лет от влияния детей в возрасте от 7 до 11 лет.

д) Проверьте, зависит ли каким-нибудь образом влияние наличия детей от их возраста.

6.14.4. а) Добавьте переменную ItotZs = ItotZ • ItotZ в правую часть ре­ грессионного уравнения упражнения 6.14.3 и проведите новую ре­ грессию. Является ли переменная ItotZs значимой? Что она озна­ чает?

б) Воспользуйтесь полученными результатами для оценивания эла­ стичности при различных уровнях дохода totZ.

в) Воспользуйтесь полученными результатами и/или дополнитель­ ными вычислениями для построения доверительного интервала для эластичности при totZ = 36000.

6.14.5. а) Постройте фиктивные переменные для каждой из 13 про­ винций. Проведите регрессию If3 на переменные, включенные в упражнении 6.14.2, и на двенадцать из тринадцати фиктивных переменных. Почему не следует включать все 13 фиктивных пе­ ременных? Проверьте (на 95%-ном доверительном уровне) сов­ местную значимость эффекта провинции.

б) Проведите аналогичную процедуру с заменой провинций на соци­ альные классы.

6.14.6. а) Воспользуйтесь стратегией «от общего к частному» для по­ строения наиболее подходящей модели, объясняющей величину 1/3. Проинтерпретируйте ваш результат. Используйте выбранную вами модель в последующих упражнениях.

б) Оцените эластичность подоходу для различных уровней перемен­ ной ШЗ. Является ли еда необходимым товаром или предметом роскоши?

в) Постройте доверительный интервал для эластичности но доходу при ШЗ = 36000.

г) Постройте двусторонний 95%-ный доверительный интервал для прогнозного значения расходов на питание бездетной семьи из двух человек, принадлежащей среднему классу и проживающей в Амстердаме, если ее общие расходы составляют 50000 гульденов.

д) Нарисуйте график зависимости остатков регрессии от 1ШЗ. Ка­ кой вывод вы можете сделать относительно предположения о независимости ошибок и регрессора ltot3?

6.14.7. а) Постройте переменную s f 3 = 100 • /З /totZ (доля расходов на питание в общем бюджете, в %). Следуя процедуре упражне­ ния 6.14.6, постройте наиболее подходящую модель для объясне­ ния а/3.

б) Используя результаты п. а), оцените эластичность по доходу для различных значений tot3. Сравните с результатами, полученными в упражнении 6.14.6.

в) Нарисуйте график зависимости остатков регрессии от ltot3. Ка­ кой вывод вы можете сделать?

6.14.8. Долю расходов на питание в общем бюджете можно рассмат­ ривать как отрицательный показатель благосостояния: более высокое значение этой доли соответствует более низкому благосостоянию семьи. Тогда «стоимость детей» можно измерить, ответив иа следующий во­ прос: какой дополнительный доход требуется семье с каждым новым ребенком, чтобы остаться на том же уровне благосостояния, т. е. чтобы иметь ту же долю расходов на питание в общем бюджете?

а) Воспользуйтесь результатами, полученными в упражнении 6.14.7, чтобы оценить стоимость одного ребенка в возрасте 12 лет, беря в качестве отправной точки бездетную семью из двух человек.

б) Вычислите стоимость (первого) ребенка в каждой возрастной группе. Сравните с п. а). Проинтерпретируйте результаты.

Расходы на питание и гетероскедастичность. В предыдущих упраж­ нениях мы предполагали, что ошибки гомоскедастичны. Сейчас мы по­ пытаемся ответить на вопрос, является ли эта гипотеза приемлемой. В тех случаях, когда ее целесообразно отвергнуть, мы будем исследовать модель с учетом гетероскедастичности.

6.14.9. В качестве отправной точки используется модель упражне­ ния 6.14.6.

а) Вычислите остатки е вэтой модели и постройте переменную 1п(е).

б) Проведите регрессию 1п(е) на все независимые переменные моде­ ли упражнения 6.14.6.

в) Проверьте совместную значимость всех переменных в б).

г) Объясните, почемуэтот тест можно рассматривать как тест на на­ личие экспоненциальной гетероскедастичности (о2 = ехр(ф'а)), и проинтерпретируйте результат.

6.14.10. В качестве отправной точки используется модель упражне­ ния 6.14.7.

а) С помощью теста Бреуша-Пагана проверьте гипотезу о гетеро­ скедастичности вида о = f(x 'a ) с неизвестной функцией /.

б) С помощью теста Голдфилда-Квандта проверьте гипотезу о на­ личии гетероскедастичности типа «о возрастает с ростом ItotZ*.

в) Проверьте гипотезу о наличии экспоненциальной гетероскеда­ стичности, следуя той же схеме, что и в упражнении 6.14.9.

6.14.11. В качестве отправной точки используется модель упражне­ ния 6.14.7, но теперь допускается наличие экспоненциальной гетеро­ скедастичности (<т = ехр(я'а))

а) Основываясь на результатах упражнения 6.14.10 в), выберите в качестве г подходящий подвектор вектора х.

б) Оцените а.

в) Примените метод взвешенных наименьших квадратов с весом ехр(-я'а).

г) Сравните результаты с результатами упражнения 6.14.7.

6.15. Рассматриваются следующиеданные из газеты «Из рук в руки» за период с декабря 1996 г. по сентябрь 1997 г., касающиеся стоимости од­ нокомнатных квартир в юго-западной части Москвы. Данные содержат­ ся в файле rooml.xls. В таблице 6.12 приведено описание переменных.