книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

РМБ— магнетон Бора.

Вцелом получается, что магнитный момент п-планеты при ее предельном спине

(460)имеет тот же порядок величины, что и предельный магнитный момент ней­ тронной звезды PMS в (448). В то же время известно, что магнитный момент электро­ на в 658 раз больше, чем магнитный момент протона. Чтобы избежать противоречия, необходимо вспомнить, что магнитный момент электрона (магнетон Бора) опреде­ ляется по формуле:

так что величина Ь/2 считается спином электрона. Если вместо спина 1П п-планеты (460) подставить в (461) величину Tis/ 2 = 3,6 • 1041 Дж • с из (441), то магнит­ ный момент п-планеты увеличится как раз настолько, чтобы быть приблизительно в 658 раз больше, чем магнитный момент нейтронной звезды (448).

Из вышеизложенного вытекает, что нет необходимости считать спин электрона равным й/2 в том случае, когда электрон рассматривается в виде классического ша­ рообразного обьекта. Проводя аналогию между электроном и п-планетой, можно для отношений спинов записать:

где Ь — постоянная Планка, 1Е— предельный спин шарообразного электрона, h's — звездная постоянная (441),

1П — предельный спин п-планеты (460).

Зная спин шарообразного электрона / £ , можно аналочично (460) определить характерную скорость его частиц С£, радиус ЯЕ и плотность вещества р £:

4л Яе

здесь 1Е — предельный спин электрона (463), МЕ— масса электрона,

К= 0,6 для однородного шара,

Г— постоянная ядерной гравитации (422).

Плотность вещества электрона оказывается в 3,2-1013 раз меньше, чем плотность протона. Вероятно это и послужило одним из оснований для распространенного мнения о «бесструктурности» и «нелокализуемости» электрона, наблюдаемых при рассеянии электронов на ядрах. Спиновый магнитный момент электрона с учетом спина (463) получается таким:

здесь е — элементарный электрический заряд.

В § 43 было показано, что стоячая волна, возбужденная в протоне, имеет максимальную длину волны ХР= 2 RP, где RP— радиус протона. Предположим, что аналогичное возбуждение происходит и с электроном, например, при разрушении электрона и позитрона во время их аннигиляции, и Я£ = 2 RE, где RE — радиус электрона (464). Обычная волна в твердом теле распространяется со скоростью звука, которая для электрона близка к характерной скорости частиц СЕ из (464). Тогда собственная частота колебаний электрона близка к величине v£ ~ СЕ/Х Е = СЕ/(2 Re) = 4,5 • 1016 Гц. С другой стороны, при аннигиляции следует ожидать значительных индуцированных магнитными полями электрических токов в веществе электрона и позитрона, перезамыкания силовых магнитных линий с выделением энергии и других электромагнитных явлений, которые распространяются со скоростью света. Характерная частота стоячих электромагнитных волн может также определяться размером электрона:

сс

где с — скорость света.

Частота гамма-излучения при двухквантовой аннигиляции электрона и позитро­ на хорошо известна и находится из равенства энергии покоя электрона и энергии кванта:

MEc2=h v=511 кэВ.

Приравнивая частоты v3 и v, можно оценить радиус электрона RE:

Полученное значение RE того же порядка, что и (464), а сама формула (466) аналогична (82) для радиуса протона.

Поскольку гиромагнитное отношение е/МЕ для шарообразного электрона неиз­ менно, то постоянной величиной является и его гиромагнитный электрический за­ ряд е = 1,6‘10-19 Кл (данный заряд определяется только структурой вещества электрона). Для сравнения оценим эффективный заряд электрона при его предель­ ном вращении с помощью соотношения (415):

где Л/£ — магнитный момент электрона (465), со— предельная угловая скорость вращения, с — скорость света,

RE ,Ce— радиус и характерная скорость частиц электрона (464).

Максимальный эффективный заряд электрона qEоказывается в 4,7 • 10б раз мень­ ше его гиромагнитного заряда е. Для п-планеты, являющейся аналогом электрона, также получается похожая разница в зарядах. Заменяя в (467) скорость света на ха­ рактерную скорость частиц в нейтронной звезде Cs (440), для п-планеты находим:

где РШ1— магнитный момент п-планеты (461), Rn — радиус п-планеты (459),

Сп — характерная скорость (460), и величина эффективного заряда п-планеты (468) получается меньше, чем гиромагнитный заряд Q = 5,6* 1018 Кл согласно (447).

Чтобы понять расхождение между зарядами электрона е и qE, а также зарядами п-планеты Q и @пэ* рассмотрим нашу Землю. Ее гиромагнитный заряд можно най­ ти из общего выражения (450):

здесь о)3= 7,29 • 10”5 с“‘ — угловая скорость вращения Земли, с — скорость света.

Эффективный заряд Земли оказывается весьма незначительным по отношению к ее гиромагнитному заряду (469). Соотношение (470) можно подтвердить следующим расчетом, зная напряженность магнитного поля Н = 24,5 А/м на экваторе Земли. Предположим, что наблюдатель находится на орбите возле экватора Земли, а Земля вращается около него со своей обычной угловой скоростью (о3. Магнитное поле Земли вращается вместе с ней, поэтому в системе отсчета наблюдателя появляется радиальное электрическое поле

где v — экваториальная скорость, R3— радиус Земли,

В — магнитная индукция, fi0 — магнитная постоянная.

Если есть электрическое поле, то можно определить соответствующий ему эффективный заряд Земли:

Вспоминая, что ц0 е0 с2 = 1, учитывая выражение (117), связывающее магнитный момент и напряженность магнитного поля, и пренебрегая лоренцевским факто­ ром, получаем:

что с точностью до множителя, равного 2, совпадает с (470).

Каким же зарядом, гиромагнитным или эффективным, будет определяться движение Земли, п-планеты и электрона во внешнем электромагнитном поле? Считая, что выполняется условие спиральности (поляризации) и скорость движения этих объектов зафиксирована по отношению к их спину и магнитному моменту, то, как показано в § 44, необходимо учитывать наибольший гиромагнитный заряд. Если для планет и электронов условие спиральности достаточно важно, то для протонов и нейтронных звезд это не так существенно, поскольку при предельном вращении их гиромагнитные и эффективные заряды сравниваются по величине. Тем не менее вращение большинства пульсаров далеко от предельного значения. По выборке из 100 пульсаров среднее значение периода их вращения Т = 0,83 секунды [218].

386 §46.3. Лептоны

Оценим магнитный момент нейтронной звезды для такого вращения, считая справедливой формулу (450):

здесь Q— гиромагнитный заряд нейтронной звезды (447), Му— масса нейтронной звезды,

Iss — спин звезды, соответствующий вращению с периодом Г, V— экваториальная скорость,

Ws— угловая скорость вращения,

Rs= 14,9 км — радиус нейтронной звезды.

Магнитный момент нейтронных звезд PhiSS из (471) неплохо согласуется с наблюдаемыми магнитными моментами у радиопульсаров, рентгеновских пульсаров и барстеров (смотри § 17).

Приравняем согласно [18] энергию покоя электрона и энергию спинового маг­ нитного момента электрона в магнитном поле нейтронной звезды с тем, чтобы найти критическое магнитное поле на поверхности и соответствующий магнитный момент нейтронной звезды:

^Е С РMER ’ В= ц0Н, Н = PMS

здесь МЕ—масса электрона, с — скорость света,

РМЕ— магнитный момент электрона, В — индукция магнитного поля, ц0 — магнитная постоянная,

Н —напряженность магнитного поля,

^MS магнитный момент нейтронной звезды, Rs —радиус нейтронной звезды.

Подставим вначале в (472) вместо магнитного момента электрона РМЕзначение (465) и оценим критический магнитный момент нейтронной звезды для этого случая:

Если же в качестве РМЕиспользовать магнетон Бора (462), то (472) будет равно:

Еще один способ определения теоретически максимального магнитного момента нейтронной звезды заключается в суммировании магнитных моментов нейтронов, составляющих большинство нуклонов звезды. Согласно Таблицы 65 в нейтронной звезде находится приблизительно Ф' = 1,68-1057 нейтронов, а магнитный момент каждого из них ,64-10 27 Дж/Тл. Для суммарного магнитного момента звезды получим:

Найденный по теории подобия предельный магнитный момент нейтронной звез­ ды (448) оказывается меньше критических значений (473) и (475), но больше, чем (474).

Итак, нейтронные звезды в целом можно охарактеризовать по крайней мере дву­ мя магнитными моментами: предельным моментом (448), соответствующим быстро­ му вращению со спином %rs/2 (смотри (453) и далее), и характерным для наблюдаемых пульсаров магнитным моментом (471) при достаточно медленном вра­ щении. Можно предположить, что такая же картина складывается и для протонов. Например, в методе ядерного магнитного резонанса измеряется частота прецессии протона Q в известном магнитном поле с индукцией В и вычисляется вначале гиромагнитное отношение КР также, как в (410):

а

КР в‘

После этого по значению спина протона 1Р можно найти магнитный момент:

?мр Кр1р.

Поскольку максимальный спин протона является вполне определенной величи­ ной, равной 1РШКС= /3/2, где h — постоянная Планка, то именно для этого значения спина определяется стандартный магнитный момент протона.

Что касается электрона, то как было показано выше, спиновый магнитный мо­ мент шарообразного электрона (465) меньше магнетона Бора (462), а предельный спиновый момент импульса меньше Ь/2. Магнетон Бора получается лишь в том слу­ чае, если приписывать электрону спин Ь/2 и использовать электронное гиромагнит­ ное отношение КЕ = е/МЕ, определяемое, например, из электронного парамагнитного резонанса.

Построим с помощью теории Бора водородную систему для нейтронной звезды и п-планеты, для чего будем считать орбитальный момент п-планеты пропорциональ­ ным звездной постоянной h‘s из (441), а силы гравитации равными центростремите­ льной силе на круговой орбите:

Поскольку радиус п-планеты Rn по (459) достигает размера большой планеты типа Урана, а орбитальный радиус К0РБ при n = 1 меньше радиуса орбиты Меркурия, целесообразно оценить наименьший орбитальный радиус R, при достиже­ нии которого п-планета разорвется на части в сильном гравитационном поле ней­ тронной звезды. В простейшем случае для этого достаточно приравнять разность

ускорений, действующих на пробное тело на поверхности планеты со стороны звезды, и притягивающее ускорение самой планеты:

Здесь мы не учитывали орбитального и спинового вращения п-планеты и вклада от центростремительных сил. В [193] можно найти формулу для радиуса предела Роша R вокруг звезды, внутри которого планеты разрушаются, а вещество не сможет собраться обратно в компактный спутник. Вычисления по этой формуле дают:

R = 2,46(— )|/3Л5 = 1.14-109 метра,

Рп

здесьps — плотность вещества нейтронной звезды, рп— плотность вещества п-планеты,

Rs = 14,9 км — принятый нами радиус нейтронной звезды.

Так как радиус R того же порядка, что и орбитальный радиус (476) при n = 1, то п-планета на первой орбите будет неустойчива и распадется на части, а вокруг ней­ тронной звезды возникнет облако, диск, кольца или другие подобные им фигуры. Допустим теперь, что все вышесказанное справедливо и для атомов. Тогда боровский радиус оказывается уникальным в том смысле, что на нем электрон ведет себя как рассеянное облако, а не как отдельная частица. Таким образом можно в какой-то степени примирить классическую теорию Бора для атома водорода и квантовую ме­ ханику. По Бору, атом в основном состоянии не излучает, электрон энергию не теря­ ет и потому не падает на ядро. В квантовой механике считается, что орбитальный момент электрона в основном состоянии атома водорода равен нулю. Обоим услови­ ям можно удовлетворить в модели атомного электрона в виде облака, находящегося в равновесии под действием электромагнитных сил и сил ядерной гравитации. Внут­ ренние электроны более тяжелых атомов находятся еще ближе к ядру, чем в атоме водорода, так что они также неустойчивы в поле ядерной гравитации и образуют электронное облако.

Возбуждение атома можно рассматривать как возбуждение его электронного облака. Время жизни состояния, дающего На — линию в спектре атома водорода, равно t = 1,5-10~9 секунды, после чего излучение из атома прекращается. Для того, чтобы представить себе процесс снятия возбуждения атома, пересчитаем время / в соответствующее звездное время путем умножения на коэффициент подобия по времени#':

ts= г # ' -1 0 4лет.

По истечении времени ts в системе из нейтронной звезды и находящегося вокруг нее рассеянного планетного облака также должно возникнуть равновесное состоя­ ние. Свяжем подобный переход к равновесию с финальной стадией формирования протопланетного диска вокруг Солнца (полное время его формирования по [43] равно 10*лет). За это время вещество околосолнечного облака (диска) в виде пыли и газа претерпело множество столкновений, так что значительная часть кинетической энергии вещества превратилось в электромагнитное излучение. Перенесем подобный механизм релаксации на электронное облако в атоме. Допустим, что вначале атом был возбужден фотоном с подходящей длиной волны, при которой наступил резонанс и энергия фотона перешла в энергию электронного облака. Затем вследствие хаотиче­ ских движений частиц облака происходит релаксация и возврат в исходное состояние

электрических токов в плазме, создающих в совокупности орбитальный магнитный момент атомного электрона.

Для внешнего магнитного поля плазма планетного облака вокруг нейтронной звезды должна иметь диамагнитные свойства, как сверхпроводник. Предположим, что две такие нейтронные звезды взаимодействуют, как два атома в молекуле водоро­ да, и их планетные облака частично перекрываются. В § 45 было рассмотрено взаи­ модействие двух нуклонов в дейтроне, которые считались сверхпроводниками и отталкивались магнитными силами. По аналогии примем, что в плазме планетных облаков между нейтронными звездами генерируются электрические токи таким образом, чтобы скомпенсировать в ней все внешние магнитные поля, и за счет этих токов и возникают силы отталкивания, необходимые для компенсации гравитацион­ ных сил притяжения между нейтронными звездами. Если данная картина правильна, то устойчивость молекул обязана балансу между ядерными гравитационными сила­ ми, действующими на атомы, и электромагнитными силами отталкивания от токов, протекающих в электронных облаках.

Затронем теперь вопрос о долговременной эволюции планет. В планетной систе­ ме с достаточно массивной центральной звездой за счет диссипации энергии и поте­ ри вращательного момента планеты медленно приближаются к звезде и одновременно увеличивают скорость вращения. Через определенное время происхо­ дит вспышка сверхновой с образованием нейтронной звезды, а планеты, если они уцелеют, в конце концов сливаются друг с другом в одно облако вокруг нейтронной звезды с общей массой Мп порядка 0,8 массы Юпитера. Таким образом на одну ней­ тронную звезду приходится в среднем одна вырожденная п-планета в виде планетно­ го облака. Это соответствует наблюдаемой электронейтральности вещества, когда на один положительно заряженный протон приходится один отрицательно заряженный электрон.

Неодинаковая эволюция планет и звезд приводит к тому, что одно и то же исход­ ное вещество ведет себя по разному — в нейтронной звезде оно распадается на ней­ троны и имеет большую плотность, а в планетах находится в совокупности химических элементов, в основном до железного пика, элементы которого имеют максимальную энергию связи атомного ядра. Единую основу своего вещества демон­ стрируют также и элементарные частицы, включая адроны и лептоны. Например, при столкновениях электрон-позитронных пучков могут рождаться адроны, поведе­ ние которых такое же, как если бы они возникли в адрон-адронных столкновениях. Поскольку материя лептонов и адронов одна и та же, ядерная гравитация должна действовать на эти частицы одинаково.

Отметим любопытную связь между массами и радиусами нейтронной звезды и п-планеты как у вырожденных объектов с большим временем жизни (подобно протону и электрону). Найдем отношение магнитной энергии Емлгн к полной энергии (энергии связи) Е вначале для нейтронной звезды. Магнитная энергия пропорциональна произведению плотности магнитной энергии на объем звезды, а напряженность магнитного поля Я определяется через магнитный момент PMS согласно (117):

Используя (450) и определение спина (104), для предельного вращения можно записать:

Л» = НмГsГ ^ =2,79 KQCSRS.