книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Ек=МРс2 —энергию связи протона, равную кинетической энергии составляющих его частиц, для радиуса протона находим:

Г — постоянная ядерной гравитации (422), МР— масса протона, с — скорость света.

Следовательно, Rp<0,84 фм.

Рассмотрим магнитный момент протона в виде простейшего кругового тока с радиусом круга Rp . Поскольку заряд протона равен элементарному электрическому заряду е, то по определению величина тока / есть величина заряда, протекающего по окружности в единицу времени:

/ = е/Т, где Т — период обращения заряда.

Период Г можно связать со скоростью движения заряда v и длиной окружности:

Экспериментальное значение магнитного момента протона составляет величину Рм= 1,41 *10"26 Дж/Тл. Если вместо v в (439) подставить скорость света, то получим нижнюю оценку радиуса протона:

R, > Ши- = 0,59 фм .

ес

Таким образом, экспериментальные и теоретические методы вполне согласуются между собой в определении RP. Как в этом параграфе, так и в §§ 11,43 для величины радиуса протона принято значение Rp= 0,66 *10"15 метра.

Займемся теперь определением характерной скорости и звездной постоянной h's для вырожденных объектов, то есть для нейтронных звезд. Представим соотношение

2М ,сг

где коэффициент^ = 0,78 для того, чтобы радиус протона RPравнялся 0,66 фм. Предположим, что подобное соотношение справедливо и для нейтронных звезд, тогда можно найти характерную скорость частиц звезды Cs :

2Cs

здесь Rs = 14,9 км — принятое нами значение радиуса нейтронной звезды с массой Ms = 1,41 Мс,

Мс — масса Солнца, А = 0,78 , АГ= 0,6 — коэффициенты пропорциональности,

у — гравитационная постоянная.

Согласно (82) для постоянной Планка имеем:

h = 2MPRp с,

где Мр, Rp — масса и радиус протона, с — скорость света. Для нейтронной звезды получаем аналогично:

h's = -^ - = 7,2-Ю41 Дж-с. 2л

Заметим, что для вырожденных объектов величина звездной постоянной (441) оказывается приблизительно в 2,5 раза больше, чем звездная постоянная (98), най­ денная для звезд главной последовательности. Значение (441) согласуется также с ве­ личиной h's по (436). Разделив Cs из (440) на радиус нейтронной звезды, оценим характерную угловую скорость вращения:

о) — Cs /Rs= 3,6 • 103 с -1.

По данным [277] угловая скорость быстрейшего пульсара PSR 1937+214, равная 4,03*103 с"1, действительно близка к предельной угловой скорости вращения ней­ тронных звезд.

Любопытной чертой подобия атомных и звездных систем является их предельно возможная точность выполнения периодических процессов, которая практически совпадает. Так, период следования импульсов от пульсара PSR 1937+214 равен 0,0015578064488724 секунды и известен с точностью до 13 значащих цифр [18], что сравнимо с точностью лучших атомных стандартов частоты.

С учетом параметров нуклонов и нейтронных звезд становится возможным определение коэффициентов подобия, представленных в Таблице 65.

Таблица 65 Параметры и коэффициенты подобия для нейтронных звезд и нуклонов.

При предельно быстром вращении жидкой гравитирующей массы, когда она ста­ новится эллипсоидом, справедлива следующая формула из теории устойчивости для момента импульса:

L = 0,31у1/2АГ5/3р "1/6,

где у — гравитационная постоянная,

М—■масса,

р—плотность вещества.

Подставляя сюда массу и плотность нейтронной звезды из Таблицы 65, находим Ls = 1,8 *1042 Дж* с, что сравнимо с (441).

Коэффициенты подобия по массе и размерам можно связать между собой:

У идеального аналога нуклонов — черной дыры соответствующей массы — совпадают характерные скорости частиц, равные скорости света, и одинаковыми будут плотности вещества. В результате по (442) получается условие:

ф> ~

которое было использовано нами в § 38, пункт б) для определения возможных параметров частиц, составляющих протон. Соотношение (442) в какой-то степени аналогично (235), составленному для звезд главной последовательности:

4 ( W V *

ФР° °

Если в этом выражении сделать предельный переход, увеличив скорость частиц в звезде до скорости света, так что коэффициент подобия по скоростям S0 станет равным единице, и заменив постоянную тонкой структуры а на единицу (по определению, а = V/c, где V— скорость электрона в атоме водорода в модели Бора, но мы увеличиваем скорости всех частиц до скорости света и тогда а = 1), то мы получим:

как для черной дыры.

Данное соотношение можно вывести и с помощью следующих рассуждений. Предположим, что в нейтронной звезде нуклоны упакованы сферическими слоями, а толщина каждого слоя равна диаметру нуклона. Оценка числа нуклонов N i в / слое дает:

здесьRt — радиус /-го сферического слоя,

4л R] —площадь /-го слоя, которая приравнивается к площади квадрата со стороной ^4 nR] ,

2RH— диаметр нуклона (RH— радиус нуклона).

Общее количество нуклонов N равно сумме нуклонов во всех п сферических слоях, с учетом соотношения между радиусами соседних слоев R( = + 2RH имеем:

Учитывая, что N равно коэффициенту подобия по массе Ф, то есть:

Мн

где Ms — масса звезды, Мн — масса нуклона,

а также соотношение для коэффициента подобия по размерам:

Р= — = 2л, илил = Р/2,

Rn

в результате получаем:

• ~тФ ‘ - !'•

Сравнение с (442) показывает, что средняя плотность нейтронной звезды должна быть меньше средней плотности внутри нуклонов за счет пустот между нуклонами в нейтронной звезде.

Для дальнейших расчетов выпишем из [218] формулы для массы и размера вырожденного объекта, которые мы используем для оценки предела Чандрасекхара

— соответствующего ограничения на массу и размер:

М Е М Р с у

здесь h — постоянная Планка, МР— масса протона,

с — скорость света,

у— гравитационная постоянная, М Е— масса электрона.

Выражения (443) можно получить на том же пути, что и соотношения для звезд

главной последовательности в § 26. В (443) отсутствуют некоторые численные коэф­ фициенты, однако правильный порядок величин MSi Rsполучается верно. Посколь­ ку нуклоны являются такими же вырожденными объектами, как белые карлики и нейтронные звезды, то с помощью (443) можно оценить и их массу и размеры. Для этого необходимо взять массу р-преонов, составляющих протон, их характерный момент импульса типа постоянной Планка из § 38, пункт б), а также постоянную ядерной гравитации (422). В результате получим:

МГ

Re ~ - ^ f - ( ^ - ) a5 = 0,9-Ю'15 м = 0,9 фм,

М с 1

здесь М ~ 1,1 • КГ37 кг — масса р-преона,

Lx ~ 1,8 • 10"47 Дж*с — характерный момент импульса преонов, с — скорость света, Г = 1,51-Ю29 м 3-кг_,-с“2 — постоянная ядерной гравитации.

Оценки в (444) достаточно близки к массе и радиусу протона. Подставим теперь в (443) выражение для й, записанное с помощью (438) и (82):

здесь RP — радиус протона,

К — постоянная меньше единицы, Г — постоянная ядерной гравитации (422),

с — скорость света.

Отсюда видно, что отношение масс вырожденных объектов определяется отношением постоянных величин — постоянной ядерной гравитации Г и обычной гравитационной постоянной у. Это дает нам право предположить, что в каждом поле типа гравитационного существует только один инвариант вырожденной массы, зависящий только от свойств самого поля и имеющий наибольшую плотность гравитационной энергии по сравнению с другими объектами.

Как было показано в § 44, вращающиеся магнитные моменты порождают элект­ рические заряды — замагниченные объекты при вращении наэлектризовываются. Предельный электрический заряд и магнитный момент нейтронной звезды можно найти с помощью коэффициентов подобия из Таблицы 65. В системе единиц СГС электрический заряд выражается через единицы длины, массы и времени:

[$]= I 1'5 Л /0,5 Г ’ 1,

где [д]— размерность заряда, 1,М>Т—единицы длины, массы и времени соответственно.

Если взять в качестве характерной длины радиус протона Кр , в качестве едини­ цы массы — массу протона Мр, в качестве единицы времени — некоторое характер­ ное протонное время ТР, то для заряда протона е можно записать:

в = ARj!5M 0T/ p \

гдеА — некоторая константа.

Характерная скорость частиц протона равна скорости света, поэтому отношение Rp/Tp можно заменить на скорость света с :

гдеД —некоторая новая константа.

Для заряда нейтронной звезды соотношение (445) имеет аналогичный вид:

здесь е — элементарный электрический заряд, Р\Ф\ 5 '— коэффициенты подобия из Таблицы 65.

Подобные выкладки для предельного магнитного момента нейтронной звезды

где Рмр — магнитный момент протона.

Для сравнения с (447) оценим эффективный заряд нейтронной звезды по

здесь взято Pus из (448), (о = 4,03 • 103 с”1— угловая скорость вращения одного из самых быстрых пульсаров PSR 1937+214, а характерная скорость частиц в нейтронной звезде Cs из (440). При данных параметрах (447) практически совпадает с (449).

Для элементарных частиц и черных дыр выполняется следующее соотношение между спином / и магнитным моментом Рм (смотри, например [144] ):

(450)

где к — коэффициент порядка единицы; для протона к = 2,79 , для нейтрона к = —1,91,

Q — заряд,

М — масса объекта.

Считая, что это выражение справедливо и для нейтронных звезд как аналогов протона, можно оценить их предельное вращение:

V = wRs , со =

здесь К = 0,4 — коэффициент для однородного шара, V— экваториальная скорость вращения,

а)— угловая скорость вращения,

Rs = 14,9 км для нашей модели нейтронной звезды, ^ MS магнитный момент (448),

Q — электрический заряд (447).

Найденное значение угловой скорости <о довольно близко к предельным скоростям вращения пульсаров.

Измеряемые магнитные моменты радио и рентгеновских пульсаров, как видно по данным § 17, меньше по величине, чем (448). Некоторые звезды — барстеры дают импульсы гамма-излучения разной формы длительностью от нескольких миллисе­ кунд до минуты. То, что барстеры являются нейтронными звездами, следует из на­ блюдений пульсаций излучения у FXP 0520-66, которые имеют период 8,1±0,1 секунд и интерпретируются как следствие вращения звезды. В излучении часто на­ блюдают эмиссионные линии с энергией 400 кэВ, которые считаются линиями двух­ квантовой аннигиляции электрон-позитронных пар, претерпевшими гравитационное красное смещение в потенциале нейтронной звезды величиной около 0,15 с2. Если мы подставим в формулу для гравитационного потенциала ф = ( - yM s)/Rs массу нейтронной звезды М5 — 1,41 Мс = 2,8• Ю30 кг и ее радиус Rs= 14,9 км, то получим ф = 0,14 с (с — скорость света), что близко к результату, изв­ леченному из наблюдений аннигиляционных линий. Косвенную оценку магнитного поля барстеров делают по абсорбционным линиям (наблюдаются в 1/3 всех событий), которые объясняются как циклотронные особенности на первой гармонике гироча­ стоты w — е В/МЕ(здесь е — элементарный электрический заряд, В — индукция маг­ нитного поля, МЕ— масса электрона). Отсюда получается ^ = 6*108Тл, а магнитный момент до 102в Дж/Тл, что также меньше значения (448). Однако некоторые рентгеновские пульсары и так называемые магнетары обладают особо большими магнитными полями. По последним данным (смотри УФН — 1998 — Т. 168 — Вып. 11 — Стр. 1234) напряженность магнитного поля у магнетаров может достигать величины Н = 8• 1016 А/м, что в 100 раз больше, чем у обычных нейтронных звезд. Расчет магнит­ ного момента для поля Я на полюсе дает: Рм = 27tHR\ -1,7 - Ю30Дж/Тл, что практи­ чески совпадает с (448). Обсуждение магнитных свойств нейтронных звезд будет продолжено в § 46. 3.

Используем соотношение (422) для связи магнитного момента, заряда и спина в вырожденных звездных объектах, для чего представим его следующим образом:

Вспомним, что магнитные моменты электрона и протона имеют вид:

причем е — элементарный электрический заряд, МЕ— масса электрона, Мр— масса протона,

в0 — электрическая постоянная, Г—постоянная ядерной гравитации (422), h— постоянная Планка,

IE =Ip =hj2 — характерный спин частиц-фермионов, к которым относятся электрон и протон.

Подставим (451) в (452), одновременно переходя к звездным системам, то есть заменяя постоянную ядерной гравитации Г на гравитационную постоянную у. В результате получим магнитные моменты, соответствующие планете — аналогу электрона (Рмп) и нейтронной звезде (PMS):

планеты Ms /Мп , поскольку это отношение безразмерно. Подставляя в (453) харак­ терный спин нейтронной звезды tis/ 2, где h's из (441), получим:

PM S=2J 9I ~ ^ C Ч =2’1030 д>^гл*

что совпадает со значением магнитного момента (448).

Магнитный момент вырожденной планеты при спине In = h,s/2 в (453) имеет значение 1,3 • 1033 Дж/Тл (звездный магнетон Бора). Обычно планеты не имеют тако­ го большого спина и их магнитный момент соответственно меньше. Отношение за­ ряда к массе (гиромагнитное отношение Кп) для вырожденной планеты с учетом (450) и (453) равно:

*П V

Величина Кп в 24 раза превышает гиромагнитное отношение для ядра Земли (121) в § 16 и оказывается равной величине КРЕ из (127) в § 17. На рисунке 40 видно, что магнитные моменты и спины космических объектов от планет до Галактики по­ падают в область между двумя параллельными прямыми. Верхняя прямая соответст­ вует звездному магнетону Бора, а ее уравнение совпадает с уравнением для магнитного момента вырожденной планеты Рмп из (453) - это следует из равенства наклона прямой КРЕ величине Кп. Нижняя прямая на рисунке 40 соответствует звездному ялерному магнетону, а ее уравнение отличается от уравнения (453) для

магнитного момента нейтронной звезды Лю только коэффициентом 2,79 , возника­ ющим от отклонения магнитного момента протона от ядерного магнетона.

Пропорциональность магнитных моментов Земли и Солнца их спинам и квад­ ратному корню из гравитационной постоянной у известна довольно давно, смотри например [26]. Теперь из (453) и (454) мы видим связь между магнитным моментом, спином и гравитационной постоянной у, причем для вырожденных обьектов можно кратко записать:

Л/л = Кп I п —для звездного магнетона Бора,

D КпМ Ет

Рш = — — - / у —для звездного ядерного магнетона,

Мр

PMS = 2,79Рш — для нейтронной звезды.

Переходя в (452) от протона к нейтронной звезде и используя (453), найдем заряд нейтронной звезды через ее массу Ms и гравитационную постоянную у :

!4яе0 уМ Е

ду нейтронной звезды (449) при предельном вращении и заряду (447), найденному по теории подобия. С помощью заряда Q (455) нейтронной звезды можно оценить долю электромагнитной энергии Еэ по отношению к гравитационной энергии звезды Us :

Такая же доля электромагнитной энергии должна быть заключена и в протоне.

§ 4 6 .2 . Адроны

Мезоны, имеющие нулевое барионное число, и барионы, у которых барионное число равно единице, составляют львиную долю всех элементарных частиц и объеди­ няются в адроны, обычно участвующие в сильном и электромагнитном взаимодейст­ виях. В противоположность этому немногочисленным лептонам, таким как электрон, мюон, т-лептон и различные нейтрино, приписывают участие только в электрослабых взаимодействиях, по крайней мере при не очень больших энергиях частиц. Среди барионов наименьшую массу имеют нуклоны — практически вечный протон с временем жизни более 1032 лет и нейтрон с временем жизни порядка 15 ми­ нут. Бомбардировка нуклонов ускоренными частицами приводит к возникновению короткоживущих барионных состояний — многочисленных резонансов типа N, А; странных барионов или гиперонов типа Л, 2 ,2 , Q и их резонансов; возникают также очарованные нестранные барионы типа Лс и 2 С. В подобных же экспериментах ре­ гистрируются легкие мезоны л, rj и их резонансы; странные мезоны типа К] очаро­ ванные нестранные мезоны типа D; очарованные странные мезоны типа Ds \ прелестные нестранные мезоны типа В. Пион (тг-мезон) имеет наименьшую массу

среди ааронов — он приблизительно в 6,8 раз легче нуклонов, кроме того, пионы бы­ вают заряженные и нейтральные с небольшой разницей в массе. Приписывая эту разницу масс вкладу от электростатической энергии шара с размером пиона, можно оценить радиус пиона так же, как это было сделано для нуклонов в § 11:

здесь Мл — масса заряженного пиона, Мл — масса нейтрального пиона,

с— скорость света,

К= 0,6 для однородно заряженного шара, е — элементарный электрический заряд, е0 — электрическая постоянная,

R„ — радиус пиона.

Заметим, что из-за малости пиона характерная скорость частиц Сх в пионе должна быть меньше скорости света, мала и доля электромагнитного излучения в энергетическом балансе. Поэтому полная энергия пиона (равная по модулю кинетической энергии его частиц Ек) меньше энергии покоя пиона Е0 = Мл с2. Заменяя в (457) скорость Сх на скорость света, находим:

RP= 0,66 фм, следует и из сечений взаимодействия протон-протон и пион-пион в Таблице 64. Для сравнения, размеры барионных резонансов Е~ и Е° порядка 1 фм согласно [33].

Поскольку мы считаем нейтронную звезду массой Ms = 1,41 Мс (где Мс — масса Солнца) аналогом протона, то естественно полагать нейтронную звезду массой М = 0,2 Мс аналогом пиона (так как отношение Ms/M =6,8 как для отношения масс протона и пиона). Известно, что вещество нейтронных звезд малых масс (0,1—0,2 Мс) нестабильно [244] и звезда через некоторое время превращается, по-видимому, в легкий белый карлик. Предел Чандрасекхара для массы легчайших гелиевых белых карликов также лежит в близком диапазоне — около 0,16 Мс по [373], при более низких массах белые карлики неустойчивы. Предположим, что с течением времени происходит последовательный распад нейтронной звезды массой 0,2 Мс с образованием вначале белого карлика, а затем и еще менее плотного объекта. Этот процесс был бы аналогичен распаду пиона на мюон и мюонное нейтрино в реакции:

3 1 - ^ + V p i V f , ) ,

а затем распаду мюона на электрон (позитрон) и электронное и мюонное нейтрино:

ft* -* е- + ve(ve) + v„(vA).

Масса мюона в 8,89 раз меньше массы нуклонов, поэтому мюону соответствует белый карлик массой 0,16 Мс (в качестве примера можно привести Т Leo с массой 0 ,1 6 - 0,2 Мс по [346]).

Для оценки времени жизни нейтронных звезд — аналогов пионов умножим время жизни заряженных пионов тл = 2,6 • 1(Г8 секунды на коэффициент подобия по времени Я ' = F / S ' —1,25 ■Ю20 (согласно значений Р\ S' из Таблицы 65):

земным меркам являются долгожителями. Время жизни нейтрального пиона не пре­ вышает 8,4 • 10“'7 секунды, после чего он распадается на два фотона. Для соответству­ ющей нейтронной звезды это давало бы период всего 2,9 часа, за которые она должна полностью растратить свою электромагнитную энергию.

В описанной выше картине пионы уподобляются легким нейтронным звездам, а все остальные адроны соответствуют более массивным нейтронным звездам в стаби­ льных или возбужденных состояниях. Наиболее тяжелыми адронами являются мезонные резонансы типа Y с массой порядка 10 — 11 протонных масс и временем жизни около 7*1(Г24 секунды. Для нейтронных звезд это соответствует массам (10— 11) Ms = (14,1 — 15,5) Мс и времени жизни Гг = 9 -10~4 сек. Могут ли сущест­ вовать такие звезды? Оказывается, что горячие нейтронные звезды с температурой 10м — 1012 К имеют предельные массы значительно более высокие, чем холодные звезды. Согласно расчетам в [21], максимум массы горячей нейтронной звезды дос­ тигает 68,7 Мс при радиусе порядка 4600 км, плотности в центре звезды 1,5 • 1013 кг/м3 и температуре 7,2 • Ю10 К. Горячие нейтронные звезды, если они возникли в столкно­ вениях с большой энергией, непрозрачны для возникающих в большом числе энер­ гичных нейтрино и поэтому могут быть нестабильными, подобно всем адронам — резонансам. В экспериментах при тесном взаимодействии ядер и энергичных частиц иногда возникают файерболы, порождающие струи адронов. Горячие нейтронные звезды как раз могут выступить в роли файерболов при столкновении звезд благода­ ря своим большим размерам, быстрому выделению энергии и последующему распа­ ду. Можно даже оценить минимальную скорость сближения звезд, разделив радиус звезды Rs на время TY: Rs /TY ~ 2 • 107 м/с, что уже недалеко от характерной скорости нейтронных звезд Cs (440).

В заключение отметим, что как нуклоны образуют атомные ядра, так и в случае звезд можно предположить существование связанных состояний нейтронных звезд.

ствительно весьма массивны (смотри Таблицу 59 в § 35) — вплоть до 17 Мс. Возмож­ но, что здесь мы встречаемся с целыми комплексами из нейтронных звезд.

§ 46.3. Лептоны

Электрон является легчайшим из лептонов (если не считать нейтрино) и имеет экспериментально определенное время жизни более 2* 1022 лет. Более тяжелому лептону, мюону, как предполагается в предыдущем разделе, среди звезд соответствует белый карлик с массой 0,16 Мс. Радиус такого белого карлика должен быть около 1,5* 107 метра, а центральная плотность вещества достигает 108 кг/м3. Так как время жизни мюона = 2,2* 10~6 секунды, то первую оценку времени жизни соответству­ ющего белого карлика можно получить при умножении на коэффициент подобия по времени Я ' = F / S ':