книги / Структурно-аналитическая теория прочности
..pdf
Деформация неупругости может быть найдена суммированием (5,15) и (5.22) с учетом весового вклада от ФА и того факта,
что сг„рм - 0. Это определяет максимальную деформацию на момент завершения реакции:
- ф>- |
(5-8б> |
Теперь рассмотрим мартенситную неупругость. Напряжение начала течения совпадет, очевидно, с (5.40), т. е. при всех температурах МН<Т<МК окажется конечным. Иными словами, сначала в любой ситуации начнет реализовываться реакция аус тенит-»мартенсит и лишь позже начнется превращение мартен сит-»аустенит. Напряжения начала реакции мартенсит-» аустенит могут быть найдены из (5.40), а окончания — из (5.36). Пре вращение возникающего при этом аустенита напряжения в мар тенсит «другой ориентации» определяется напряжениями начала (5.39) или (5.12) и конца (5.53) реакции.
Таким образом, при нагружении сплава, находящегося в двух фазном состоянии в температурном интервале Л/к - Л/н, начало мартенситной неупругости определяется тремя характеристиче
скими напряжениями начала течения |
<°нГ“ “О* < С А в |
(5.40) |
и |
||||
в |
(5.39)) |
и тремя |
напряжениями |
окончания |
реакции |
||
в |
(5.85), |
в |
(5.36) и |
в |
(5.53)). Поскольку |
в |
|
рассматриваемом интервале температур а А^ м s 0 и, кроме того,
А ^Vf |
JL |
о H t |
= i°Kt > то напряжение течения мартенситно-аустенитной |
неупругости определяется лишь четырьмя напряжениями: jo£j*M,
о£*м, о А|*м (первые два возрастают, а вторые уменьша ются с повышением температуры). В зависимости от порядка рас положения значений этих напряжений будут реализованы и ре акции преобразования аустенита в мартенсит или мартенсита в другой мартенсит. Ввиду большого разнообразия подобных схем рассматривать их детально не будем. Фазовую деформацию мож но рассчитать, используя (5.50), (5.54), (5.58), (5.59) и (5.61). Учитывая, что максимальное значение ее всегда совпадает с
(5.56), с учетом парциального вклада сразу находим: |
|
ей = § А н Ф . |
(5.87) |
Общая деформация мартенситной неупругости определяется, оче видно, простой суммой (5.86) и (5.87):
£Ф = £Ф + сФ _ Е п |
|
Б £а + £м |
5 % - |
Таким образом, предельная неупругость оказывается не зави сящей от процентного содержания фаз в исходном материале. В то же время кинетика нарастания ее определяется фазовым составом, поскольку как последний в (5.84), так и характеристи ческие напряжения начала и окончания реакций зависят в ин тервале М н - Мк от температуры деформирования Т.
5.1.5.3. Расчет деформации, возвращающейся при разгрузке
Если при нагружении кристалла в интервале температур МК<Т<МН все фазовые реакции были полностью завершены, т. е. образовалась чисто мартенситная структура, процессы воз врата будут определяться исключительно теми же обстоя тельствами, которые были положены в основу соотношений (5.73)—(5.83). Следовательно, именно эти соотношения и по зволяют рассчитать псевдоупругий возврат.
5.1.6. Расчет псевдоупругости для двухфазного состояния в интервале Ан - Ак
5.1.6.1. Постановка задачи
Примем теперь следующую процедуру создания двухфазной структуры. Вначале охладим материал ниже Мк, затем нагреем его до температуры деформирования Т не ниже Ан и не выше Ак. Количество мартенсита в таком материале можно рассчитать
спомощью соотношения
Ф= J Н ( Т - Л „ ) Н ( А К- Т) + Я ( Л - Т).
Дальнейший расчет псевдоупругости сведется к использова нию уже полученных ранее соотношений с учетом того обсто ятельства, что парциальные доли мартенсита Ф и аустенита Фа = 1 - Ф зависят от температуры деформирования. Поскольку эволюция исходного мартенсита и аустенита осуществляется не зависимо, какие-либо специальные явления учитывать не нужно.
5.1.6.2. Расчет фазовой деформации на этапе нагружения кристалла
Напряжения начала и конца реакции аустенит-*мартенсит напряжения полностью определяются выражениями (5.5) и
(5.12). Если ЛН>М„, напряжение |
в |
(5.5) всегда конечно. |
Иными словами, лишь при ЛН<МН реакция |
преобразования аус |
|
тенита в мартенсит начинается при нулевых напряжениях. Пре дельная деформация, связанная с такой реакцией, рассчитыва ется в соответствии с (5.23):
еА = | Dz \ ( l ~ ф)- |
(5.88) |
Напряжение начала реакции мартенсит-»аустенит, согласно (5.40), всегда равно нулю, так как Т>АН. Конец ее, в со
ответствии с (5.36), характеризуется напряжениями равными
С^к - Г) « (-Дк - Г)-
Напряжения начала и конца реакции образовавшийся аустенит напряжения-»мартенсит, в соответствии с (5.39) или (5.12) и (5.53), составят
§ | ( г - м к) / / ( д , - г » ,
(Г - 2Л/к + М„) Н (Л - T) H (Т - 2М„ + 1W*).
Поскольку всегда 4 К>МК, то напряжения в этих формулах всег да конечны. Стадийность диаграммы деформирования определя ется характером гистерезиса превращения и температурой де формирования, которые однозначно устанавливают последова тельность расположения характеристических напряжений в по рядке их нарастания.
Что касается предельного значения псевдоупругой деформа ции, то, в соответствии с (5.56), она равна
В сумме с (5.88) общая деформация составит
еф = e j + |
= j D31. |
Она, как и следовало ожидать, не зависит от исходного фазового состава.
5.1.6.3. Расчет деформации, возвращающейся при разгрузке
Поскольку как исходный аустенит, так и исходный мартен сит к концу нагружения преобразуются в мартенсит напряже ния, псевдоупругий возврат, связанный с обратным его превра щением, будет полностью определяться соотношениями, анало гичными (5.73)—(5.83). Нужно лишь учесть, что функции Хе висайда Н{Ан - Т ) необходимо всюду заменить на Н(АК - Г ). Из (5.27), (5.64), (5.68) и (5.81) вытекает, что характеристи
ческие напряжения реакции мартенсита в аустенит о^"*А и
crj^"*A всегда конечны, в то время как напряжения |
и |
о£"*м могут быть и нулевыми, если АН<МН.
5.1.7. Расчет псевдоупругой деформации с учетом статистического характера гистерезиса превращения
5.1.7.1.Постановка задачи
Впредыдущих разделах данной главы продемонстрирована техника расчета псевдоупругости для материала, свойства ко торого характеризовались единственной диаграммой фазового со стояния. У реальных же объектов имеют место значительные вариации ширины гистерезиса превращения и расположения центра гистерезисной фигуры на шкале температур. Кроме того,
инаклон характеристических линий гистерезиса может испы тывать статистические отклонения. Особенно значительное вли яние на свойства мартенситной неупругости оказывают флук туации ширины гистерезиса. По этой причине ниже дана тех ника расчета псевдоупругости для объектов, ширина гистерезиса которых не является постоянной.
Пусть в каждом месте ориентационного (и физического)
пространства температуры Мн(х), Мк(х), Лн(х), Лк(х) харак теризуются не только их средними статистическими зна чениями Мн, Мк, Лн, Лк, но и некоторой величиной х та кой, что
Мн (х) = Мн + х, |
Мк(х) = Мк + х, |
^ |
Лн (х ) = Лн —х, |
Лк (х ) = Лк ~ X . |
|
Представление гистерезиса в форме (5.89) означает, что при изменении его ширины Г (Г ■ Лн — Мк * Лк — Мн) центр фи гуры сохраняет свое положение на шкале температур. Из фи зических соображений вытекает естественное ограничение на ве личину х, пределы изменения которой -Д /2 < х < Д/2 должны
удовлетворять требованию А < Г. Условие А > Г означало бы возможность существования противоестественных вариантов пре вращения, когда АН<МК и АК<МН.
Для определенности статистическое распределение по х во всем интервале от - Д/2 до А/2 примем равномерным. Подобное предположение не носит принципиального характера, но сразу позволяет написать для усредненной по всем значениям х микродисторсии очевидное выражение
_ |
1 Д /2 |
f |
l f - i |
/ |
<tx. |
(5.90) |
|
|
- А / 2 |
|
|
Если воспользоваться выражением (5.8) для суммарного ко |
||||
личества мартенсита |
(х), |
относящегося к тем |
областям кри |
|
сталла, где гистерезис отвечает данному значению дс, то сум
марное содержание мартенсита Фм в целом |
следует находить |
по формуле |
|
Ф мя * / Фм(*) àx. |
(5.91) |
- А / 2 |
|
Совершенно ясно, что вместо (5.90) для (ïfa можно сразу на писать и выражение для средней фазовой макроскопической де формации
1 |
а/ it |
|
Чк = -К |
/ *% (x)d x . |
(5.92) |
|
-Д / 2 |
|
Эквивалентность формы записи (5.90) и (5.92) вытекает из не зависимости интегрирования по фазовому и ориентационному пространствам.
Наконец, отметим, сравнив (5.8) и (5.15), что всегда су ществует равенство
Ё Ф = *33“ | ВЭ1ФМ- |
(5.93) |
Ключевым моментом в дальнейших расчетах является выбор критерия окончания прямой мартенситной реакции. Простейшее предположение может состоять в том, что прямое превращение всюду, где оно началось, завершится лишь тогда, когда полностью исчерпается аустенит. По этой логике,, в выражении (1.107) сле дует аргумент функции Хевисайда # (1 - Ф^ находить путем об ращения к (5.91). В другой, альтернативной, модели разумно счи тать, что каждому конкретному гистерезису соответствует свод конец реакции, зависящий лишь от того, сохранился ли еще аус
2к1
п
фм = - S (а - у) dy. (5.96)
9л А (Л/н - МК) а
После интегрирования находим
Ф„= |
1 |
|
4А * |
|
м |
4Д (Мн-М к) |
9л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.97) |
Это выражение |
позволяет рассчитать напряжение а |
кото |
||
рому соответствует окончание реакции аустенит-»мартенсит на пряжения. Учитывая, что к концу реакции аустенит первой и
второй подобластей |
преобразуется в мартенсит напряжения |
||
(см. раздел |
5 .1.3.2), |
находим условие конца реакции в виде |
|
требования |
Фм = 1. |
Отсюда получаем |
|
= А-*м _ Зл |
+ 2 У Д (М „ -М К) |
(5.98) |
|
|
2к |
||
|
|
|
|
При достижении данного напряжения, в соответствии с (5.93),
обеспечивается предельная |
фазовая деформация, равная |
р ф = ~ /> |
|
е |
5 и ъ\ |
Нужно при этом иметь в виду, что уравнение (5.97), а сле
довательно, и (5.98) будут справедливы лишь тогда, |
когда |
|||||
вплоть |
до напряжений <7 ^*м |
еще остаются |
участки кристал |
|||
ла (с |
широким гистерезисом |
превращения), |
в которых |
реак |
||
ция |
перехода аустенита в мартенсит не началась. Критиче |
|||||
ское |
напряжение, |
при котором в реакцию вступят все |
уча |
|||
стки, |
|
равно |
|
|
|
|
|
|
^ Г М= 1 ( Г - А / и + | ) я ( Г - М и + | ) . |
|
|||
Если |
оно меньше, |
нежели |
в (5.98), то в интеграле |
(5.96) |
||
требуется произвести разбиение на соответствующие области ин
тегрирования. После вычисления |
находим: |
|
Фи = |
АкГ 2 4к |
Д\ 2 |
м |
4Д(МН-М К) 9л |
|
2k
Х Я [ t e ° - r |
+ MH+ y j Я ( т - л /н |
+ f - з^а) + |
|
A |
|
1 |
д\ |
4 (Л4Н—Л/к) |
+ 2 |
( ï ?7 " |
Т + М" ~ 2 ) |
X H f ë ° - T + M « - l ) -
Концу реакции, т. е. Фм = 1, соответствует напряжение сГ ^м, равное
°~кГ“ “ Ъ (Т-~ Шк + М.) Я (|о - Г + М„ - f ) х
х Я ( Г - М „ + | ) . |
|
(5.99) |
Оно эквивалентно (5.21), но лишь с другими |
пределами |
при |
менимости (другими функциями Хевисайда). |
|
|
Не составляет труда вывести формулы и для интервала тем |
||
ператур Ми — < T < М» + у . Однако делать |
этого не |
будем |
по следующим соображениям. Ограничение прямой мартенситной
реакции по Фм, а не по Ф^, обеспечивает согласующуюся с опытом начальную кинетику деформирования, вытекающую из (5.96), (5.98), (5.99). Вместе с тем на завершающих стадиях фазового течения наблюдается не. интенсификация деформации, как это следует из вышеприведенных формул, а наоборот, по степенное снижение темпа ее накопления. В то же время если прямую мартенситную реакцию обрывать с соблюдением условия
Ф ^ -1 , отмеченная трудность полностью устраняется, поскольку к концу превращения происходит постепенное «истощение» де формации за счет более раннего прекращения реакции у об ластей с более узким гистерезисом. По данной причине весь дальнейший статистический анализ будет выполнен исключи тельно по второй из названных моделей, т. е. с требованием
окончания |
превращения по условию Ф ^ -1 . Отметим лишь, что |
и модель |
окончания реакции при Фм = 1 может быть удобной, |
когда надлежащим образом подбираются функции распределения по величине х.
5.1.7.2.Расчет псевдоупругости по критерию окончания прямой мартенситной реакции Фм(х)-1
Итак, примем в качестве основного уравнения реакции со отношение типа
= - * * t b s |
" 11 _ ф»(д:) 1н 1Ми+* ~ г |
■ (Мн ■ |
|
- Мх ) * ( х ) ]Я ( - |
Г *) + |
, 1 г И [Ф(х)]Я [Г* - |
Ак + х + |
|
|
-Лк ” л н |
|
+ (Лк - |
л н) Ф (JC)] Я (Г *)J. |
(5.100) |
|
Здесь |
|
|
|
Фм (х) = |
I f ( Q ) 4 x ) d 3Q |
(5.101) |
|
|
|
Q |
|
с условием окончания реакции Фм(дс)-1.
Техника дальнейших вычислений будет базироваться на сле дующих посылках: на основе (5.100) и (5.101) по методике, изло женной в разделах 5.1.2—5.1.6, вычисляются все необходимые ха
рактеристики: количество |
мартенсита |
Ф(х), |
микродеформации |
||
и характеристические |
напряжения |
начала |
о ^ 1 |
||
(х), с%*к (х) |
и |
т. д. и |
конца |
сг£*м (х), |
с%*к (х), |
о £ и (х), с ^ А(х) и т. д. соответствующих реакций для каждого
конкретного значения переменной х. Далее простым усредне нием по всем значениям - Д/2 < х < Д/2 находим средние для данного объекта фазовые микродеформации
|
-ж |
1 |
А/2 ж |
d x . |
<5.102) |
|
|
|
= i |
|
« |
||
|
|
|
- А/2 |
|
|
|
По значениям |
вычисляется |
макроскопическая |
фазовая де |
|||
формация еФ = е^3: |
|
|
|
|
|
|
, |
^ |
1 т |
а |
3р а ^ |
О |
(5.103) |
Кроме того, при необходимости можно найти и суммарное ко личество мартенсита:
t Д /2
фм = д / ' фм(*) dx • |
<5Л04) |
- Д / 2 |
|
Поскольку, в соответствии с (5.101), окончанию реакции в каждой области кристалла с заданным значением х отвечает требование Фм(х) *1, то и для всего физического объема конец фазового превращения произойдет при Фм -1.
Заметим, что подынтегральные функции в (5.102), (5.104) являются кусочно-непрерывными. По этой причине интегрирова ние возможно лишь посредством разбиения определенного интег